乘法分配律是小学最重要的计算方法，和初中关系最为紧密。所以，理解好乘法分配律对初中代数乃至几何的学习意义重大。胡老师用一篇长文来解读，带着大家一起以两个经典题目为引子，系统地讲解小学初中怎样打通，以及各个领域乘法分配律的应用。同行或者很多家长说：胡老师的文章应该开通付费功能。实话说我也是纠结的，因为一篇文章写了一天或者几个小时，也是一种劳动输出，也是有价值的，而且有些文章我的确觉得对家长，孩子还是有用的，前提是看进去。但是，我又想让家长看到我的文章，对孩子来说也是有意义的。尤其是对于自己教的学生以及家长，我更希望能打印出来看看，因为有些东西课堂上并不能去全部呈现，也就是说好几年的乘法分配律我不可能一股脑给孩子们，孩子们理解能力不同，接受度不同，所以没办法在有限时间淋漓尽致给孩子互动。甚至有些是我个人写文章临时思考的，并不能传达给孩子们，所以写出来希望有心的家长，用心的家长孩子能有所收获！
还好我本身喜欢写作，喜欢总结反思，单纯因为兴趣写文章。而且我几乎只写数学，其他杂七杂八不写。知识付费其实是应该的，尤其是还不错的产品。好比，你来找我上一对一，假设我有时间上，一个小时也得好几百，而且讲的东西肯定没有这篇文章多或者体系！还好，我写文章多本心不是收费，不过人都是会被诱惑或者想知道自己的价值，这个价值体现一是荣誉，二是金钱，当然我的理念想法很多人还是认可的。我也不想像“董先生”一样成名，也没那个本事与运气，安安生生一辈子，教书，看书，写作，遛娃，陪伴家人！金钱对我而言，不是太热衷，多了可以，少一点也没关系，但是太多我就受不了，因为金钱与名气往往会打乱原本的节奏，影响原本的生活甚至自由！这些做法，首先存在很大可能的“想当然”，孩子们做题有时候就喜欢“脑补”一些题目中没有的，但是对自己有利的条件。做起来无障碍，是挺爽。其实，错了，甚至错的离谱，究其原因，还是不理解题意或者理解错了。首先要看的是运算符号，参与运算的数，以及数与符号产生的关系，明白数的身份。其次，要看有没有通过运算律，运算性质尽可能简便的地方。最后，计算尽可能不要跳步，写清楚每一步骤，而且心里得明白有理有据，当然回头检验也是必须的！我把题目发给四年级几个学生，他们给出的做法，四说明群众的合力是巨大的，孩子们只要愿意思考，也能玩出花来。运算顺序，运算法则，运算律，运算性质以及数的分解，拆分，凑整。只不过对乘法以及乘法分配律理解的层次还是有区别的。8×（125+25）×4，这个式子你看到之后的第一思考很重要，有可能决定你走哪条路线？第1种，按顺序算：先算125+25=150，再算150×8=1200。第2种，用乘法分配律8×125+8×25=1200。先交换，后结合：8×（125+25）×4，先算8×4=32，然后再算：32×（125+25），接下来怎么算也有不同选择。举例两个思路，想告诉孩子们，你们先把思路构思一下，再去动笔计算，才能做到清晰明了，正确率也高。看到这些图形，是不是发现，孩子们写的方法都在这些图形里。每一个图形都可以不同的组合得出不同的策略。8×（125+25）×4，可以等价于很多式子，他们结果是相等的。比如，从图形中我们可以看到可以等于：300×16，600×8，150×32，150×8×4，150×16×2，150×8×4，300×8×2，125×8×4+25×8×4，125×32+25×32等。 问题2：2.5×2.3+1.9×7.5这个问题，无论是四年级还是五年级，问的还是不少的？课堂上，刚接触乘法分配律的孩子，还是没思路的，我之前一直强调：接触乘法之前，一定要孩子计算大量的相同加数的和，比如15+15+15+15+15+15甚至数量更多，可以让他用不同的组合感受相同加数太多的复杂性。一旦学了乘法，也不忘初心，不断回头想7×8就是7个8相加，8个7相加，如果7×8口诀忘了，也不要批评，让他思考7个8相加就是5个8+2个8等，这样孩子乘法，加法随时打通，互相转化，分开或者打包转化，既解决了问题，又提升了计算推理，不要小瞧计算推理。孩子未来的计算好不好，一定和会不会计算或者代数推理有底层关系。三年级：接触了两位数乘一位数，两位数乘两位数，学了列竖式，也要打通加法，乘法，竖式，横式之间的关系。甚至学了两位数乘一位数，两位数乘两位数，自己会猜想，类比，归纳出三位数或者更多位数乘一位数，三位数乘两位数，三位数乘三位数或者更多位数乘更多位数，道理相通。这其实是四年级学的，但是三年级就需要给四年级建立底层逻辑，到了四年级才能自然而然理解乘法分配律。四年级：从多位数乘法到乘法分配律，也就是当问题复杂到一定程度，一定会有一个工具去解决。比如，遇到25×345+75× 345，你可以选择25×345，75×345分别计算然后相加。但是大多数人会选择转化为：25个345+75个345等于100个345，也就是34500。刚才我再用乘法分配律吗？是也不是。这个问题我哪怕给二三年级小朋友说，他们也理解。但是我说这是乘法分配律，他们肯定不知道，反而会迷糊。所以，孩子不知道乘法分配律，就需要理解为：几个🐟+几个🐟的问题，比如刚才理解为25个345+75个345。这有什么不一样吗？不一样，前者利用乘法与加法关系计算，后者利用运算律计算。前者是理解后者的算理，后者是概括优化前者的程序。所以，四年级小朋友，不要只会用乘法分配律公式去计算，还要会翻译计算背后的意义与原理。甚至还要从数与形的角度理解更复杂的乘法分配律，更多可以拓展到和初中衔接的部分，这个等会会谈到。题目本身很多学生都会，有的学生看到第一眼就能看出来并不符合乘法分配律形式。a×b+a×c这个形式，或者b个a+c个a的形式。怎么办？选择最容易的变形手段：等积变形，如果能把1.9×7.5变成？×2.5，问题就解决了。1.9×7.5=（1.9×3）×（7.5÷3）=5.7×2.5这样就转化为，2.5×2.3+2.5×5.7，也就是2.3个2.5+5.7个2.5。这个对四年级小朋友来说，理解起来还是容易的，但是如果条件变一下。很多孩子一般会选择列竖式直接算，当然针对这个题目没问题。假设遇到思维比较高的孩子，这个问题我一定会讨论，就是除了刚才用“等积变形”来解决乘法分配律。遇到上面这个问题怎么用乘法分配律呢？a×b+a×c，我们刚才关注的是怎么找到a这个公因数，我们大多数题目都是关注公因数，想办法找到它。但是，我们如果换个角度，关注如果b和c能凑整，是不是也是一个好的简便思路呢？是不是也是一个好的突破口呢？当然最终还是要有公因数，有可能公因数自然而然的就有了。2.4×2.3+1.9×7.6，我们要找直接公因数难？不像刚才7.5与2.5明显倍数关系，2.4×2.3，1.9×7.6，很难直接找公因数。但是，很明显发现，前面的2.4与后面的7.6的和刚好是10。这给我们一个提醒，我们要把2.4与7.6放在括号里，括号外面那个数是谁呢？也就是我们找到了b和c，谁是公因数a呢？只能从2.3与1.9里面选择一个了？接下来，我用两种方式帮助孩子理解这个原理，理解能力比较强的孩子估计已经明白了。对于理解能力不够好的孩子只能把这个问题可视化或者情境化。假设我们把2.4和7.6放在一起，（2.4+7.6）×？+？2.4有2.3个，7.6才有1.9个，2.4和7.6想要合并，那就需要把2.3个2.4拆成1.9个2.4+0.4个2.4。这样就有：（2.4+7.6）×1.9+0.4×2.4，乘法分配律就出现了。2.4想要和7.6在一起（不要瞎想，只是剧情需要），就告诉他旁边的2.3说：你得变成1.9+0.4，要不7.6×1.9凑不过来，咱家房子太宽了。（等会结合图形就理解这句话的意思了）就这样2.4拉着1.9的手和7.6×1.9结合一起了，剩下孤单的2.4×0.4，站在旁边。
类似这样的方式，拟人，比喻也可以（虽然不太恰当，权宜之计），总之孩子理解起来不困难就好，不过我经常说抽象是数学的目标，不好理解的钥匙形象化，哪怕不太严谨理解也行，但是最终目的依旧是抽象。这个大家是不是一目了然，不用过多解释。标准乘法分配律，两个长方形一定存在公共边，这个题需要切割一下，好比你要把两个木板变成一个，但是多出来一块，肯定切割一下。以上，就是我们理解乘法分配律，可以用不同的方式来理解，当然孩子能直接列式计算，肯定不用所谓的讲故事，编情境，画图之类的辅助方法。1.乘法是相同加数的和：这个说了很多次，也就是说见到乘法想到加法。比如25×12，可以理解为12个25，也可以理解为25个12，这两个方式你要选择一条路线走下去。a×b+a×c=（a+b）×c，理解乘法分配律要明白从左到右是“合并”，也就是合在一起计算。从右到左，是“分拆”，也就是拆开算，这里面都是涉及到乘法与加法的联合运算。横式比竖式重要，竖式是算法，是计算程序。横式是算理，是解释计算的原理。123×12=123×（2+10）=123×2+123×10所以，重视横式，也就是重视理解的过程，计算的推理过程，多一些推理，少一些机械。理解乘法就是面积，一个数代表长，一个数代表宽，可以根据情况进行切割，组合，解释更复杂的乘法甚至多项式相乘问题。我给出一种拆分方式，当然任何一个数都可以拆成几个数的和，差，积，商，或者平方等形式，这样组合起来就会更多可能。比如，25拆成20+5，和18拆成的10+8，20-2，2×9，90÷5，还有18本身，这几个运算通过比较我们会发现最优解。这样的理解与训练，会把孩子所学，所要学的概念，思想结合起来，对训练思维肯定有帮助，只不过这样对孩子挑战挺大，可以适当选择。从数字到字母，从数的运算到式子的运算，借助于图形，是比较容易衔接初中的，所以初中很多孩子压根不知道原来小学已经渗透过整式乘法的基础了，所以学习的时候只能记公式。三，思考小学数学中各个领域，比如计算，图形，数论，组合计数，应用题，乘法分配律在哪里？1.计算：四五年级 12.5×17 999×999+999 78×5+78×22-78×8 26×12+26×17+29×74 3.51×7300+351×27 13×8+26×31+39×10 0.7777×0.7+0.1111×2.1 55×667+45×666-155 2222×17+3333×4+6666×9 648×427-649×427 2.图形：举例子 想一想，小学有哪些图形可以用到乘法分配律？ 比如，长方形面积，三角形面积，梯形面积，平行四边形面积，圆形面积？ 这样更能深刻体会乘法分配律是乘法对加法的计算，一个图形既可以分开计算，也可以合起来计算，乘法与加法模型。3.数论：
想一想，整除特征需要用到乘法分配律证明吗？ 以3的整除特征为例子： 证明3的整除特征是一个数的各个数位上的数字之和能被3整除？ 四位数abcd，按照数位拆开，就是1000个a，100个b，10个c，1个d。 把这一堆数拆成两堆： 第一堆，能被3整除的（999a+99b+9c）。 第二堆，不确定能被3整除的a+b+c+d，也就是数字之和。 如果四位数abcd能被3整除，第一堆也能被3整除，则第二堆数字和a+b+c+d也一定能被3整除。 用代数形式表达： 简单一点写一下，明白吗？ 4.组合计数： 小学三四年级我们学过服装搭配？或者荤素搭配？或者数线段等计数问题？ 以服装搭配为例子：有上衣3件，裤子4件，每次取一件上衣，一条裤子搭配，有几种搭配方式？ 理解方式：从加法到乘法，其实也是从分到合的过程。 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 4+4+4 4×3 理解了这个，接下来我们计算一个因数的个数？或者一个自然数所有因数之和就简单了。 问题：72的所有因数之和是多少？ 能看懂吗？思考一下！ 5.应用题： 应用题里有很多“分”与“合”的问题。 比如，行程问题：两人路程和，在时间相等情况下，既可以分开计算，也可以合在一起计算。 甲乙路程和=甲速度×时间+乙速度×时间 甲乙路程和=（甲速度+乙速度）×时间 比如，买东西问题：买两个数量相同的东西，怎么付钱？
甲乙总价=甲单价×数量+乙单价×数量 甲乙总价=（甲单价+乙单价）×数量 你还能举例说明其他问题吗？ 想到了很多，不写了，手又酸了，洋洋洒洒6000字随手写来，写着写着感觉总也写不完，我写着，脑子里像电影一样在播放新的内容，我又不得不写下来，又来新的内容，反反复复，实在恼人，不过我忍住，不写了。 读书，是安静的输入，与作者一起思考，筛选融合。 写作，是安静的输出，与自己内心对话，消化优化！ 教学，是有声音的输出，同时也是输入。学生启发了我，于我而言是输入，于学生而言是输出。我启发了学生，于我而言是输出，于学生而言是输入。输入，输出，输入，输出，双向奔赴，这多么美好！ 乘法分配律的问题肯定不会一股脑呈现给孩子，不同年级，不同阶段，不同思维水平，分段理解。 乘法分配律相关： 胡说数学：孩子们，从小学到初中，从乘法分配律到多项式相乘，从数字到字母，从数到形！567年级！ 胡说数学：一道三位数乘两位数的开放题的反思！四五年级！
胡说数学：关于大数乘法的进阶之路！（3-6年级必读）
|
