2018北京初三一模数学汇编平行四边形一、填空题1．（2018·北京丰台·一模）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线
上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等”这一推论，如图所示，若SEBMF=1，则SFGDN=_____．2．
（2018·北京顺义·一模）下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．求作：
矩形ABCD．小明的作法如下：如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；（2）作直线EF，直
线EF交AC于点O；（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；（4）连接AD，CD．∴四边形ABCD就是所求作的矩形．老
师说，“小明的作法正确．”请回答，小明作图的依据是：_______________________________________
___________.3．（2018·北京西城·一模）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的
边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为___．二、解答题4．（2
018·北京海淀·一模）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点
M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△A
DE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面
内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．5．（2018·北京丰台·一模）如图，已知菱形ABCD，AB=
AC，E、F分别是BC，AD的中点，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若AB=2，求菱形的面积．6．（201
8·北京·北师大实验中学一模）在数学课上，老师提出如下问题：小楠同学的作法如下：老师说：“小楠的作法正确．”请回答：小楠的作图依据
是______________________________________________．7．（2018·北京门头沟·一模）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF. （1）求证：四边形AEC
F为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长.8．（2018·北京石景山·一模）问题：将菱形的面积五等分．小红发现只
要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O是菱形ABCD的对角线交点，AB＝5，下面是小红将菱形
ABCD面积五等分的操作与证明思路，请补充完整．（1）在AB边上取点E，使AE＝4，连接OA，OE；（2）在BC边上取点F，使BF
＝______，连接OF；（3）在CD边上取点G，使CG＝______，连接OG；（4）在DA边上取点H，使DH＝______，连
接OH．由于AE＝______＋______＝______＋______＝______＋______＝______．可证S△AOE
＝S四边形EOFB＝S四边形FOGC＝S四边形GOHD＝S△HOA．9．（2018·北京石景山·一模）如图，在四边形ABCD中，∠
A＝∠BCD＝90°，，CE⊥AD于点E．（1）求证：AE＝CE；（2）若tanD＝3，求AB的长．10．（2018·北京·北师大
实验中学一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB．求证：∠B=30°．请填空完成下列证明．证明：如图，作Rt△ABC
的斜边上的中线CD，则 CD=AB=AD （ ）．∵AC=AB，∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形．∴∠A= °．∴∠B=
90°﹣∠A=30°．参考答案1．1【分析】根据从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等得SEB
MF=SFGDN，得SFGDN.【详解】∵SEBMF=SFGDN，SEBMF=1，∴SFGDN=1.【点睛】本题考查面积的求解，解
题的关键是读懂题意.2．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的
平行四边形为矩形【分析】先利用作法判定OA=OC，OD=OB，则根据平行四边形的判定方法判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩
形的判定方法判断四边形ABCD为矩形．【详解】解：由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，而OD=OB，所以四边形ABCD为平行四
边形，而∠ABC=90°，所以四边形ABCD为矩形．故答案为到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四
边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图
，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本
作图，逐步操作．3．（2，）【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根据勾股定理得到OD′，再通过图形的性质得到结
论．【详解】∵AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，∴OD′＝，∵C′D′＝2，C′D′∥AB，∴C′（2，），故填：（2，）．【点睛
】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．4．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN
是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位线得出，，即可得出数量关系，再利用
三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得
出结论；（3）方法1：先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出最大时，的
面积最大，而最大是，即可得出结论．【详解】解：（1）点，是，的中点，，，点，是，的中点，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．由旋转知，，，，，，，利用三角形的中位线得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，
，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大时，的面积最大，且在顶点上面，最大，连
接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大时，面积最大，点在的延长线上，，，．【点睛】此题属于几
何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1
）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大．5．（1）见解析；（2）【分析】（1）首先证
明△ABC是等边三角形，进而得出∠AEC=90°，四边形AECF是平行四边形，即可得出答案；（2）利用勾股定理得出AE的长，进而求
出菱形的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠AEC=90°，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=AD，EC=BC，∵四边形ABCD
是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∴AF∥EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
，又∵∠AEC=90°，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）在Rt△ABE中，AE=，所以，S菱形A
BCD=2×=2．【点睛】本题考查平行四边形的性质和矩形的判断，解题的关键是获取题中的信息.6．两组对边分别相等的四边形是平行四边
形；平行四边形的对角线互相平分；两点确定一条直线．【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形ABCP为平行四边形，
再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可得到BD=CD，由此可得到小楠的作图依据．【详解】解：由作图的步骤可知平行四边形可判断四
边形ABCP为平行四边形，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可得到BD=CD，所以小楠的作图依据是：两组对边分别相等的四边形
是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；两点确定一条直线.故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平
分；两点确定一条直线．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本
作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形
的判定和性质．7．（1）见解析；（2）20【分析】（1）根据ASA推出：△AEO≌△CFO；根据全等得出OE=OF，推出四边形是平
行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形；（2）根据线段垂直平分线性质得出AF=CF，设AF=x，推出AF=CF=x，BF=
8－x．在Rt△ABF中，由勾股定理求出x的值，即可得到结论．【详解】（1）∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=OC，∠AOE=∠C
OF=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．在△AEO和△CFO中，∵，∴△AEO≌△CFO（ASA
）；∴OE=OF．又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）设AF=x．∵E
F是AC的垂直平分线，∴AF=CF=x，BF=8﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，∴42+（8﹣x）2
=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周长为20．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，
全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．8．(1)见解析；（2）3；（3）2；（4）1，EB、BF；
FC、CG；GD、DH；HA【分析】利用菱形四条边相等，分别在四边上进行截取和连接，得出AE=EB+BF=FC+CG+GD+DH=
HA，进一步求得S△AOE＝S四边形EOFB＝S四边形FOGC＝S四边形GOHD＝S△HOA．即可．【详解】（1）在AB边上取点E
，使AE＝4，连接OA，OE；（2）在BC边上取点F，使BF＝3，连接OF；（3）在CD边上取点G，使CG＝2，连接OG；（4）在
DA边上取点H，使DH＝1，连接OH．由于AE＝EB＋BF＝FC＋CG＝GD＋DH＝HA．可证S△AOE＝S四边形EOFB＝S四边
形FOGC＝S四边形GOHD＝S△HOA．故答案为3，2，1；EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA．【点睛】此题考查菱形的性质
，熟练掌握菱形的四条边相等，对角线互相垂直是解题的关键.9．（1）见解析；（2）AB＝4【分析】(1)过点B作BF⊥CE于F，根据
同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形
AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证；(2)由(1)可知：CF=DE，四边形AEFB是矩形，从而求得AB=E
F，利用锐角三角函数的定义得出DE和CE的长，即可求得AB的长．【详解】（1）证明：过点B作BH⊥CE于H，如图1．∵CE⊥AD，
∴∠BHC＝∠CED＝90°，∠1＋∠D＝90°．∵∠BCD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠D．又BC＝CD∴△BHC≌
△CED（AAS）．∴BH＝CE．∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴AE＝BH．∴AE＝CE．（2
）∵四边形ABHE是矩形，∴AB＝HE．∵在Rt△CED中，，设DE＝x，CE＝3x，∴．∴x＝2．∴DE＝2，CE＝6．∵CH＝
DE＝2．∴AB＝HE＝6－2＝4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．10．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；60．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的判定与性质填空即可．【详解】证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=AB=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵AC=AB，∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°﹣∠A=30°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，重点在于逻辑思维能力的训练． 1 / 1 |
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