2018北京初三一模数学汇编圆一、单选题1．（2018·北京海淀·一模）在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（
）A．3B．4C．5D．62．（2018·北京顺义·一模）有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆
是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（ ）A．1种B．2种C．3种D．4种二、填空题3．（2018·北京西城·一模）如图，
边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π）_____．4．（2018·北京西城·一模）如图，△ABC内接于
⊙O，DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∠ABC=114°，则∠ADC的度数为_______°．5．（2018·北京东城·一模）已
知：正方形 ABCD．求作：正方形 ABCD 的外接圆． 作法：如图，（1）分别连接 AC，BD，交于点 O；（2）以点 O 为圆
心，OA 长为半径作⊙O，⊙O 即为所求作的圆．请回答：该作图的依据是______________________________
____．6．（2018·北京石景山·一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，若⊙O的半径是5，CD＝8，则AE
＝______．7．（2018·北京门头沟·一模）如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，AO交⊙O于点B；连接BC，若，则__
____.8．（2018·北京门头沟·一模）如图是“已知一条直角边和斜边作直角三角形”的尺规作图过程已知：线段a、b，求作：.使得
斜边AB＝b，AC＝a作法：如图.（1）作射线AP，截取线段AB＝b；（2）以AB为直径，作⊙O；（3）以点A为圆心，a的长为半径
作弧交⊙O于点C；（4）连接AC、CB.即为所求作的直角三角形.请回答：该尺规作图的依据是______.三、解答题9．（2018·
北京石景山·一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或P
M的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量
x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/c
m11.522.533.54y/cm03.7______3.83.32.5______（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中
各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ与直径AB所夹的锐角为60°时，PM的长度约为_
_____cm．10．（2018·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中有不重合的两个点与.若Q、P为某个直角三角形的两个锐角顶
点，当该直角三角形的两条直角边分别与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“直距
”记做，特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即为点Q与点P之间的“直距”．例如下图中，点，点，此时点Q与点P之
间的“直距”. （1）①已知O为坐标原点，点，，则_________，_________； ②点C在直线上，求出的最小值；（2）点
E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线上一动点.直接写出点E与点F之间“直距”的最小值．11．（2018·北京门
头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，，我们规定：如果存在点P，使是以线段MN为直角边的等腰直角三
角形，那么称点P为点M、N的“和谐点”. （1）已知点A的坐标为，①若点B的坐标为，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，
直接写出点C的坐标；②点C在直线x＝5上，且点C为点A，B的“和谐点”，求直线AC的表达式.（2）⊙O的半径为r，点为点、的“和谐
点”，且DE＝2，若使得与⊙O有交点，画出示意图直接写出半径r的取值范围.12．（2018·北京东城·一模）给出如下定义：对于⊙O
的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且点P，O在直线MN的异侧），当∠MPN+∠MON＝180°时，则称点P是线段MN关
于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．（1）如图2，已知M（，）
，N（，﹣），在A（1，0），B（1，1），C（，0）三点中，是线段MN关于点O的关联点的是 ；（2）如图3，M（0，1），N（，
﹣），点D是线段MN关于点O的关联点．①∠MDN的大小为 ；②在第一象限内有一点E（m，m），点E是线段MN关于点O的关联点，判断
△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线y＝﹣x+2上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标x的取值范围．13．（20
18·北京房山·一模）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中
阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，S4= ，S5= ，S6= + ，S阴影=S1+S6=S1+S2+S3
= ．14．（2018·北京丰台·一模）如图，AB是⊙O的直径，PO⊥AB，PE是⊙O的切线，交AB的延长线于点C，切点为E，AE
交PO于点F．（1）求证：PEF是等腰三角形；（2）在图中，作EH⊥AB，垂足为H，作弦BD∥PC，交EH于点G．若EG=5，si
nC=，求直径AB的长．15．（2018·北京通州·一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点，过点D作⊙
O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E和点F，连接CD、BD．（1）求证：∠A＝2∠BDF；（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的
长．16．（2018·北京房山·一模）如图，在中，，是边上的高线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，为的直径．（1）求证：是
的切线；（2）当，时，求的半径．17．（2018·北京石景山·一模）如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD
并延长交⊙O于点C，连接BC，过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F．（1）求证：∠CBE＝∠F；（2）若⊙O的半径是2，点D是
OC中点，∠CBE＝15°，求线段EF的长．参考答案1．A【详解】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图．∵OC⊥AB，∴AC=BC
=AB=×8=4．在Rt△AOC中，OA=5，∴OC=，即圆心O到AB的距离为3．故选A．2．B【分析】根据弦的定义、弧的定义、以
及确定圆的条件即可解决．【详解】解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，
故此说法正确；弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把
圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正
确．其中错误说法的是①③两个．故选B．【点睛】本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆
．3．（4π﹣3）cm2【分析】连接OB、OC，作OH⊥BC于H，根据圆周角定理可知∠BOC的度数，根据等边三角形的性质可求出OB
、OH的长度，利用阴影面积=S扇形OBC-S△OBC即可得答案【详解】：连接OB、OC，作OH⊥BC于H，则BH=HC= BC=
3，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=30°，∴OB=
=2?，OH=，∴阴影部分的面积= ﹣×6×=4π﹣3 ，故答案为（4π﹣3）cm2．【点睛】本题主要考查圆周角定理及等边三角形的
性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；熟练掌握圆周角定理是解题关键.4．48°【分析】如图，在⊙O上取一点
K，连接AK、KC、OA、OC，由圆的内接四边形的性质可求出∠AKC的度数，利用圆周角定理可求出∠AOC的度数，由切线性质可知∠O
AD=∠OCB=90°，可知∠ADC+∠AOC=180°，即可得答案.【详解】如图，在⊙O上取一点K，连接AK、KC、OA、OC．
∵四边形AKCB内接于圆，∴∠AKC+∠ABC=180°，∵∠ABC=114°，∴∠AKC=66°，∴∠AOC=2∠AKC=132
°，∵DA、DC分别切⊙O于A、C两点，∴∠OAD=∠OCB=90°，∴∠ADC+∠AOC=180°，∴∠ADC=48°故答案为4
8°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、周角定理及切线性质，圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆
心角的一半；圆的切线垂直于过切点的直径；熟练掌握相关知识是解题关键.5．正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半
径的点在这个圆上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆．【分析】利用正方形的性质得到 OA=OB=OC=OD，则以
点O为圆心，OA长为半径作⊙O，点B、C、D都在⊙O 上，从而得到⊙O 为正方形的外接圆．【详解】∵四边形 ABCD 为正方形，∴
OA=OB=OC=OD，∴⊙O 为正方形的外接圆．故答案为正方形的对角线相等且互相垂直平分；点到圆心的距离等于圆的半径的点在这个圆
上；四边形的四个顶点在同一个圆上，这个圆叫四边形的外接圆．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作
图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基
本作图，逐步操作．6．2【分析】连接OC,由垂径定理知,点E是CD的中点,在直角△OCE中,利用勾股定理即可得到关于半径的方程,求
得圆半径即可【详解】设AE为x，连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝8，∴∠CEO＝90°，CE＝DE＝4，由
勾股定理得：OC2＝CE2＋OE2，52＝42＋（5－x）2，解得：x＝2，则AE是2，故答案为2【点睛】此题考查垂径定理和勾股定
理，,解题的关键是利用勾股定理求关于半径的方程.7．26°【分析】根据圆周角定理得到∠AOP=2∠C=64°，根据切线的性质定理得
到∠APO=90°，根据直角三角形两锐角互余计算即可．【详解】由圆周角定理得：∠AOP=2∠C=64°．∵PC是⊙O的直径，PA切
⊙O于点P，∴∠APO=90°，∴∠A=90°﹣∠AOP=90°﹣64°=26°．故答案为26°．【点睛】本题考查了切线的性质、圆
周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义【分析】根据圆周角定
理可判断△ABC为直角三角形．【详解】根据作图得AB为直径，则利用圆周角定理可判断∠ACB=90°，从而得到△ABC满足条件．故答
案为等圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角，三角形定义．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图
，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本
作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．9．（1）4，0；（2）见解析；（3）1.1或3.7【分析】（1）当x=2时，PM⊥AB，此时
Q与M重合，BQ=BM=4，当x=4时，点P与B重合，此时BQ=0．（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）根据直角三角形30度角
的性质，求出y=2，观察图象写出对应的x的值即可；【详解】（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，当x＝4时
，点P与B重合，此时BQ＝0．故答案为4，0．（2）函数图象如图所示：（3）如图，在Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60
°，∴∠BMQ＝30°，∴BQ＝BM＝2，观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.7．故答案为1.1或3.7．【点睛】本题
考查圆的综合题，垂径定理，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题.10．（
1）①3，2；②最小值为3；（2）【分析】（1）①根据点Q与点P之间的“直距”的定义计算即可；②如图3中，由题意，当DCO为定值时
，点C的轨迹是以点O为中心的正方形（如左边图），当DCO＝3时，该正方形的一边与直线y＝－x＋3重合（如右边图），此时DCO定值最
小，最小值为3；（2）如图4中，平移直线y＝2x＋4，当平移后的直线与⊙O在左边相切时，设切点为E，作EF∥x轴交直线y＝2x＋4
于F，此时DEF定值最小；【详解】解：（1）①如图2中，观察图象可知DAO＝2＋1＝3，DBO＝2，故答案为3，2．②（i）当点C
在第一象限时（），根据题意可知，为定值，设点C坐标为，则，即此时为3；（ii）当点C在坐标轴上时（，），易得为3；（ⅲ）当点C在第
二象限时（），可得； （ⅳ）当点C在第四象限时（），可得；综上所述，当时，取得最小值为3；（2）如解图②，可知点F有两种情形，即过
点E分别作y轴、x轴的垂线与直线分别交于、；如解图③，平移直线使平移后的直线与相切，平移后的直线与x轴交于点G，设直线与x轴交于点
M，与y轴交于点N，观察图象，此时即为点E与点F之间“直距”的最小值.连接OE，易证，∴，在中由勾股定理得，∴，解得，∴.【点睛】
本题考查一次函数的综合题，点Q与点P之间的“直距”的定义，圆的有关知识，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义
，解决问题，属于中考压轴题．失分原因第（1）问???????（1）不能根据定义找出AO、BO的“直距”分属哪种情形；（2）不能找出
点C在不同位置时， 的取值情况，并找到 的最小值第（2）问???????（1）不能根据定义正确找出点E与点F之间“直距” 取最小值
时点E、F???????????????的位置；（2）不能想到由相似求出GO的值11．（1）①点C坐标为或；②y＝x＋2或y＝－x
＋4；（2）或【分析】（1）①根据“和谐点”的定义即可解决问题；②首先求出点C坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）分两种情形
画出图形即可解决问题．【详解】（1）①如图1．观察图象可知满足条件的点C坐标为C（1，5）或C''（3，5）；②如图2．由图可知，B
（5，3）．∵A（1，3），∴AB=4．∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC=4，∴C1（5，7）或C2（5，﹣1）．设直线AC的表
达式为y=kx+b（k≠0），当C1（5，7）时，，∴，∴y=x+2，当C2（5，﹣1）时，，∴，∴y=﹣x+4．综上所述：直线A
C的表达式是y=x+2或y=﹣x+4．（2）分两种情况讨论：①当点F在点E左侧时：连接OD．则OD=，∴．②当点F在点E右侧时：连
接OE，OD．∵E（1，2），D（1，4），∴OE=，OD=，∴．综上所述：或．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、等
腰直角三角形的判定和性质、“和谐点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属
于中考压轴题．12．（1）C；（2）①60；②E（，1）；③点F的横坐标x的取值范围≤xF≤．【分析】（1）由题意线段MN关于点O
的关联点的是以线段MN的中点为圆心，为半径的圆上，所以点C满足条件；（2）①如图3-1中，作NH⊥x轴于H．求出∠MON的大小即可
解决问题；②如图3-2中，结论：△MNE是等边三角形．由∠MON+∠MEN=180°，推出M、O、N、E四点共圆，可得∠MNE=∠
MOE=60°，由此即可解决问题；③如图3-3中，由②可知，△MNE是等边三角形，作△MNE的外接圆⊙O′，首先证明点E在直线y=
-x+2上，设直线交⊙O′于E、F，可得F（，），观察图形即可解决问题；【详解】（1）由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN
的中点为圆心，为半径的圆上，所以点C满足条件，故答案为C．（2）①如图3-1中，作NH⊥x轴于H．∵N（，-），∴tan∠NOH=
，∴∠NOH=30°，∠MON=90°+30°=120°，∵点D是线段MN关于点O的关联点，∴∠MDN+∠MON=180°，∴∠M
DN=60°．故答案为60°．②如图3-2中，结论：△MNE是等边三角形．理由：作EK⊥x轴于K．∵E（，1），∴tan∠EOK=
，∴∠EOK=30°，∴∠MOE=60°，∵∠MON+∠MEN=180°，∴M、O、N、E四点共圆，∴∠MNE=∠MOE=60°，
∵∠MEN=60°，∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°，∴△MNE是等边三角形．③如图3-3中，由②可知，△MNE是等边三角形
，作△MNE的外接圆⊙O′，易知E（，1），∴点E在直线y=-x+2上，设直线交⊙O′于E、F，可得F（，），观察图象可知满足条件
的点F的横坐标x的取值范围≤xF≤．【点睛】此题考查一次函数综合题，直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．13．S2，S3，S4，S5，2【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，
寻找等面积的图形，即可解决问题.【详解】由题意：S矩形ABCD=S1+S2+S3=2，S4=S2，S5=S3，S6=S4+S5，S
阴影面积=S1+S6=S1+S2+S3=2．故答案为S2，S3，S4，S5，2．【点睛】考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等
知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.14．(1)见解析；（2）直径AB的长为20m【分析】（1）由切线性质得：OE⊥PC，
根据垂直定义和三角形定理可得：∠AEP=∠PFE，根据等角对等边可得结论；（2）先根据sinC==，设OH=3x，OE=5x，则E
H=4x，OA=OB=5x，由平行线性质得：∠GBH=∠C，列式为：=，解方程可得结论．【详解】（1）证明：∵PE为⊙O的切线，∴
OE⊥PC，∴∠OEP=90°，∴∠OEA+∠AEP=90°，∵OP⊥AC，∴∠AOF=90°，∴∠A+∠AFO=90°，∵∠AF
O=∠PFE，∴∠PFE+∠A=90°，∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∴∠AEP=∠PFE，∴PE=PF；∴△PEF是等腰三角形
；（2）解：∵∠C+∠COE=90°，∠COE+∠OEH=90°，∴∠C=∠OEH，∵sin∠C==sin∠OEH=，设OH=3x
，OE=5x，则EH=4x，OA=OB=5x，∴BH=OB﹣OH=2x，GH=4x﹣5，∵BG∥PC，∴∠GBH=∠C，∵sin∠
C=，∴tan∠C==tan∠GBH，∴，x=2，∴AB=10x=20，答：直径AB的长为20m．【点睛】本题考查等腰三角形的判定
与性质，垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论，切线的性质，解题的关键是认真分析图形.15．（1）见解析；（2）1【分析】（1）连接
AD，如图，利用圆周角定理得∠ADB=90°，利用切线的性质得OD⊥DF，则根据等角的余角相等得到∠BDF=∠ODA，所以∠OAD
=∠BDF，然后证明∠COD=∠OAD得到∠CAB=2∠BDF；（2）连接BC交OD于H，如图，利用垂径定理得到OD⊥BC，则CH
=BH，于是可判断OH为△ABC的中位线，所以OH=1.5，则HD=1，然后证明四边形DHCE为矩形得到CE=DH=1．【详解】（
1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵EF为切线，∴OD⊥DF，∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠OD
A＋∠ODB＝90°，∴∠BDF＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠BDF，∵D是弧BC的中点，∴∠CO
D＝∠OAD，∴∠CAB＝2∠BDF；（2）解：连接BC交OD于H，如图，∵D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴CH＝BH，∴OH为
△ABC的中位线，∴，∴HD＝2.5－1.5＝1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形DHCE为矩形，∴CE＝DH＝1
．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：
见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理．16．（1）见解析；（2）的半径是.【分析】（1）连结，易证，由于是边上的高线，从而可
知，所以是的切线．（2）由于，从而可知，由，可知：，易证，所以，再证明，所以，从而可求出.【详解】解：（1）连结．∵平分，∴，又，
∴，∴，∵是边上的高线，∴，∴，∴是的切线.（2）∵，∴，，∴是中点，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴，，而，∴，∴，∴的半径是.【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．17．（1）详见解析；（2）【分析】(1)连接OE交DF于点H，由切线的性质得出∠F+∠EHF =90°，由FD⊥OC得出∠DOH+∠DHO =90°，依据对顶角的定义得出∠EHF＝∠DHO，从而求得∠F=∠DOH，依据∠CBE=∠DOH，从而即可得证；(2)依据圆周角定理及其推论得出∠F=∠COE＝2∠CBE =30°，求出OD的值，利用锐角三角函数的定义求出OH的值，进一步求得HE的值，利用锐角三角函数的定义进一步求得EF的值．【详解】（1）证明：连接OE交DF于点H，∵EF是⊙O的切线，OE是⊙O的半径，∴OE⊥EF．∴∠F+∠EHF＝90°．∵FD⊥OC，∴∠DOH+∠DHO＝90°．∵∠EHF＝∠DHO，∴∠F＝∠DOH．∵∠CBE＝∠DOH，∴ （2）解：∵∠CBE＝15°，∴∠F＝∠COE＝2∠CBE＝30°．∵⊙O的半径是，点D是OC中点，∴．在Rt△ODH中，cos∠DOH＝，∴OH＝2． ∴．在Rt△FEH中， ∴ 【点睛】本题主要考查切线的性质及直角三角形的性质、圆周角定理及三角函数的应用，掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键． 19 / 20 |
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