2018北京四中初三（上）第二次月考数 学一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. 抛物线的对称轴是 （ ）A. 直线＝－1B.
直线＝1C. 直线＝－2D. 直线＝22. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB＝，则tanA的值为( )A. B.
C. D. 23. 如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图
形，则P点的坐标是（ ）A （﹣4，﹣3）B. （﹣3，﹣3）C. （﹣4，﹣4）D. （﹣3，﹣4）4. 如图，AB是⊙O的直
径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）A. 55°B. 45°C. 35
°D. 25°5. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是（ ）A. 1B. 2C. 2.5D. 36. 如图，每个小正方形的
边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）A. B. C. D. 7. 加工爆米花时，爆开且不糊粒数占加工总粒
数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数
），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A. 425分钟B. 4.00分钟C. 3.
75分钟D. 3.50分钟8. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐
标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）A. ﹣1B. ﹣3C. ﹣5D.
﹣7二、填空题（每题2分，共16分）9. 已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=_____．10. 如图，∠DCE是圆内接四边形
ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是_____．11. 请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，
﹣1）的二次函数表达式_____．12. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角
形，则放大前后的两个三角形的面积比为_____．13. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为_______
_．14. 已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐
标是_____． x…﹣1012…y…0343…15. 如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果
MN＝2.5，那么BC＝_____．16. 如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．
如果OB⊥OP，那么OB的长为_____．三、解答题17. 计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°．18
. 如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，求tanC的值．19. 已知二次函数的解析式是y
＝x2﹣2x﹣3．（1）与y轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ．（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合
图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是 ．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6
），B（4，2），C（6，2）．（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF，请画出△DEF．（2
）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为 ，点B的对应点E的坐标为 ．21. 如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《
九章算术》中的问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为：CD为圆O的直径
,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.22. 如图，在中，点在边上，．点在边上，．（1）求证：；（2）若，
求长．23. 奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中
最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行9
0米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，
cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）24. 一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB＝8m，隧道的最高点
C到公路的距离为6m．（1）建立适当平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保
证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．25. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径
．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE＝∠PEC；（2）若AB＝10，ED＝，sinA
＝，求PC的长．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、
C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）若抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）与线段AB
恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．27. 在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线B
C上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．（1）当α＝90°，且点P在线段B
C上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的是哪个三角形，∠ACQ的度数．（2）当点P在BC延长线上，A
B：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写
出线段CQ的长．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之
和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点． (1)已知点A的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，
T(2，﹣3)中，为点A的同族点的是 ；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为 ；(2)直线l：y=x﹣3，与
x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l
上的一个动点，若以(m，0)为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小
题，每小题2分，满分16分）1. 抛物线的对称轴是 （ ）A. 直线＝－1B. 直线＝1C. 直线＝－2D. 直线＝2【答案】B【
解析】【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．【详解】解：∵解析式为，∴对称轴是直线．故选：B．【点睛】本
题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB
＝，则tanA的值为( )A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
1，AB=，所以AC= ,所以tanA=，故选C．考点：锐角三角函数．3. 如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C
1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）A. （﹣4，﹣3）B. （﹣3，﹣3）C. （﹣
4，﹣4）D. （﹣3，﹣4）【答案】A【解析】【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．【详解】由图中可知，点
P的坐标为（﹣4，﹣3）．故选A．【点睛】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆
上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADC的度数为（ ）A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°
【答案】C【解析】【分析】证出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【详解】解：∵AB是的直径，
故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理等及其推论，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．5. 如图，在中半径与弦垂直于点D，且
，则的长是（ ）A. 1B. 2C. 2.5D. 3【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【详解】解：连接
OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5-x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AD=4，由勾股定理可知：52=42+（5-x
）2，∴x=2，∴CD=2，故选：B．【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．6.
如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析
】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例
夹角相等，故选B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．7. 加工爆米花
时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at
2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A 4.25分
钟B. 4.00分钟C. 3.75分钟D. 3.50分钟【答案】C【解析】【分析】根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可
得．【详解】根据题意,将(3,0.7)、(4,0.8)、(5,0.5)代入p=at2+bt+c，得：解得：a=?0.2,b=1.5
,c=?2，即p=?0.2t2+1.5t?2，当t=?=3.75时，p取得最大值，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌
握性质是解题的关键.8. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别
为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）A. ﹣1B. ﹣3C. ﹣5D. ﹣7
【答案】C【解析】【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的
表达式为：y＝（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的
表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时
抛物线的表达式为：y＝（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次
函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．二、填空题（每题2分，共16
分）9. 已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=_____．【答案】30°【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详
解】∵tanA＝，∴∠A＝30°．故答案为：30【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10. 如图
，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是_____．【答案】75°【解析】【分析】直
接利用圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解可得．【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DCE＝75°，∴∠BAD
＝∠DCE＝75°，故答案为75°．【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对
角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.11. 请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点
（0，﹣1）的二次函数表达式_____．【答案】y=-x2+2x-1（答案不唯一）．.【解析】【详解】试题分析：根据抛物线开口方向
得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式.试题解析：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，-1），∴a＜0，c=-1
，∴二次函数表达式为：y=-x2+2x-1（答案不唯一）．故答案为y=-x2+2x-1（答案不唯一）．考点: 二次函数的性质.12
. 利用复印机缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为__
___．【答案】1：16【解析】【分析】根据相似三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答即可．【详解】∵原图中边长为5cm的一个等
边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，∴放大前后的两个三角形的面积比为（5:20）2=1：16，故答案为1：16．【点睛】本题
考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键.如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比
，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.13. 如图，在矩形中，是边的中点，
连接交对角线于点，若，，则的长为________．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出，根据∥，得到，即可求出长．【详解】解：
∵四边形是矩形，∴，∥，，在中，，∴，∵是中点，∴，∵∥，∴，∴．故答案为．【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判
定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．14. 已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对
应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是_____． x…﹣1012…y…0343…【答案】（3，0）．【解析】【分析
】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，得出对称轴方程为x=1，再利用二次函数图像的对称性解答即可．【详解】∵抛物线y=ax2
+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图像与x轴的另一个
交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数图像的对称性．15. 如图
，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN＝2.5，那么BC＝_____．【答案】5【解析】【详解
】试题解析：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN=2
.5，∴BC=2MN=5．故答案为5.16. 如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP
．如果OB⊥OP，那么OB的长为_____．【答案】1【解析】【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA
交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【详解】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长
线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB
＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k
＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝，∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠
PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点睛】本题考
查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题17. 计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°?tan60°．【答
案】-3【解析】【详解】试题分析．解：原式考点：二次根式的定义，加减乘除，乘方开方的混合运算点评：在混合运算中，先乘方，开方再乘除
，再加减，有括号的先计算．基础题较为简单．18. 如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，求
tanC的值．【答案】tanC的值是．【解析】【分析】根据在△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°
，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．【详解】∵△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD
＝30°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AB＝2BD，∴BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝15﹣6＝9，∴AD＝，∴tanC＝．即t
anC的值是．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．19. 已知二次函数的解析
式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与y轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ．（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3
）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是 ．【答案】（1）与y轴交点的坐标为（0，﹣3），顶点坐标为（1，﹣4）
；（2）图象如图所示见解析；(3)-2＜x＜2时，﹣4＜y＜5．【解析】【分析】（1）令x＝0，根据y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛
物线与y轴的交点，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据
，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【详解】（1）令x＝0，则y＝﹣3．所以抛物线y＝x
2﹣2x﹣3与y轴交点的坐标为（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（0，
﹣3），（1，﹣4）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当
1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．所以-2＜x＜2时，-4＜y＜5【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与y轴的交点、求顶点坐
标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2
，6），B（4，2），C（6，2）．（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△DEF，请画出△DEF．
（2）在（1）条件下，点A的对应点D的坐标为 ，点B的对应点E的坐标为 ．【答案】 ①. （1，3） ②. （2，1）【解
析】【分析】(1)分别连接OA、OB、OC,然后分别取它们的中点得到D、E、F；(2)利用位似的性质可得到D点和E点坐标.【详解】
（1）如图，△DEF为所作；（2）D（1，3），E（2，1）．故答案为（1，3），（2，1）．【点睛】此题主要考查了位似变换，以及
坐标与图形的性质，关键是掌握若位似比是k，则原图形上的点(x，y)，经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx，ky)或(-kx，-k
y).21. 如图,“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道
长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为：CD为圆O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.【答案】26
【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】解：设直径CD的长为2x，则半径OC=x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E
，AB=10寸，∴AE=BE=AB=×10=5寸，连接OA，则OA=x寸，根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，解得x=13，C
D=2x=2×13=26（寸）．故答案为26【点睛】此题是一道古代问题，其实质是考查垂径定理和勾股定理．22. 如图，在中，点在边
上，．点在边上，．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）先通过平角的度数为180
°证明，再根据即可证明；（2）根据得出相似比，即可求出的长．【详解】（1）证明： ，又（2） 【点睛】本题考查了相似三角形的问题，
掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．23. 奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，
某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A
的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少
米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【答案】最高塔的高度AD约为240米【解析
】【分析】根据已知条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再根据tan58°=，求出x的值，即可得出AD的值．【详解】
∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，则BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan
58°===1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【点睛】本题考查了解
直角三角形的应用，要解题的关键是借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．24. 一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度A
B＝8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，
货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【答案】能安全通过这条隧道
【解析】【分析】（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【详解】本题答案不唯一，如：以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立
平面直角坐标系，如图所示．∴，，．设这条抛物线的表达式为．∵抛物线经过点，∴．∴∴抛物线的表达式为，．当时，，∵，∴这辆货车能安全
通过这条隧道．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.25. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是
⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE＝∠PEC；（2）若AB＝10，ED＝
，sinA＝，求PC的长．【答案】（1）见解析；（2）PC＝．【解析】【分析】（1）由弦切角定理可知∠PCA＝∠B，由直角所对的圆
周角等于90°可知∠ACB＝90°．由同角的余角相等可知∠AED＝∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE＝∠PEC；（2）过点P作PF
⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC＝8，AE＝，由等腰三角形三线合一的性质可知EF＝，然后证明△AED∽△
PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．【详解】（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA＝∠B．∵AB是圆O的直径
，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠B＝90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED＝90°．∴∠AED＝∠B．∵∠PEC＝∠AED，∴∠P
CE＝∠PEC．（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．∵AB＝10，sinA＝，∴BC＝AB?＝6．∴AC＝＝8．∵DE＝
，sinA＝，∴AE＝．∴EC＝AC﹣AE＝8﹣＝．∵PC＝PE，PF⊥EC，∴EF＝．∵∠AED＝∠PEF，∠EDA＝∠EFP，
∴△AED∽△PEF．∴，．解得：EP＝．∴PC＝．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、
相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED∽△PEF是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝m
x2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；
（3）若抛物线C2：y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】（1）y＝﹣
x2+2x+3；（2）B（﹣1，0）；（3）a的取值范围为≤a≤4．【解析】【分析】（1）直接把点A的坐标代入y＝mx2﹣2mx+
m+4得m+4＝3，然后求出m的值即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2+2x+3＝0可得到B点
坐标；（3）抛物线y＝a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），则开口向上，根据二次函数的性质，抛物线C2与线段AB的
公共点为B点时，a最小；当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时，a最大，然后把A、B两点的坐标分别代入计算出对应的a的值，从而可确
定a的取值范围．【详解】（1）把A（0，3）代入y＝mx2﹣2mx+m+4得m+4＝3，解得m＝﹣1，所以抛物线的解析式为y＝﹣x
2+2x+3；（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以B（﹣1，0）；（3）抛物线C2：y＝a（x﹣
1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣1），因为抛物线C2与线段AB恰有一个公共点，则开口向上，当抛物线C2与线段AB公共点为B
点时，a最小，把B（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得4a﹣1＝0，解得a＝；当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时，a最大，
把A（0，3）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得a﹣1＝3，解得a＝4，所以a的取值范围为≤a≤4．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函
数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛
物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛
物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．27. 在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0
°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．（
1）当α＝90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的是哪个三角形，∠ACQ的度数
．（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠AP
B＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．【答案】（1）△PQC，90；（2）；（3）线段CQ的长为2或8．【解析】【分析】
（1）依据条件判定△APF≌△PQC，可得∠PCQ＝∠AFP＝135°，依据∠ACB＝45°，可得∠ACQ＝90°；（2）过P作P
F∥AC，交BA的延长线于F，判定△AFP≌△PCQ，可得FP＝CQ，再根据△ABC∽△FBP，可得，进而得出 ；（3）分两种情况
进行讨论：点P在CB的延长线上，点P在BC的延长线上，分别依据全等三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，即可得到线段CQ的
长．【详解】（1）如图①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，
∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋转可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝
45°﹣∠APF，又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠PAF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC（SAS）∴∠PC
Q＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案为△PQC，90；（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的
延长线于F，则，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠
APB，∴∠FAP＝∠CPQ，由旋转可得，PA＝PQ，∴△AFP≌△PCQ（SAS），∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△F
BP，∴∴；（3）如图，当P在CB的延长线上时，∵∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵
AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC（SAS），∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴
∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如图，当P在BC的延
长线上时，连接AQ，由旋转可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等边三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠
AQP，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠APA，∴AC＝PC，且AQ＝
PQ，CQ＝CQ∴△ACQ≌△PCQ（SSS）∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．综上所述
，线段CQ的长为2或8．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算．28. 在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点． (1)已知点A的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A的同族点的是 ；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为 ；(2)直线l：y=x﹣3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以(m，0)为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．【答案】（1）①R，S;②（，0）或（4，0）；（2）①;②m≤或m≥1．【解析】【详解】（1）∵点A的坐标为(?3,1)，∴3+1=4，点R(0,4),S(2,2),T(2,?3)中，0+4=4，2+2=4，2+3=5，∴点A的同族点的是R，S；故答案为R，S；②∵点B在x轴上，∴点B的纵坐标为0，设B(x,0)，则|x|=4，∴x=±4，∴B(?4,0)或(4,0)；故答案为(?4,0)或(4,0)；（2）①由题意，直线与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，）． 点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），则有：，，且．点M到x轴的距离为，点M到y轴的距离为，则．∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．即点N在右图中所示的正方形CDEF上．∵点E的坐标为（，0），点N在直线上，∴． ②如图,设P(m,0)为圆心, 为半径的圆与直线y=x?3相切，∴PC=2，∴OP=1，观察图形可知,当m≥1时,若以(m,0)为圆心,为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，再根据对称性可知，m≤也满足条件，∴满足条件的m的范围：m≤或m≥1 1 / 1 |
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