2018北京西城初三一模
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储本书籍，将用科学记数法表示应为（ ）．
A． B． C． D．
2．在中国集邮总公司设计的年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．将分解因式，所得结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）．
A．三棱柱
B．圆柱
C．六棱柱
D．圆锥
5．若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．如果一个正多边形的内角和等于，那么该正多边形的一个外角等于（ ）．
A． B． C． D．
7．空气质量指数（简称为）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示．
数据 ~ ~ ~ ~ ~ 以上 类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某同学查阅资料，制作了近五年月份北京市各类别天数的统计图如下图所示．
根据以上信息，下列推断不合理的是
A．类别为“优”的天数最多的是年月
B．数据在~之间的天数最少的是年月
C．这五年的月里，个类别中，类别“优”的天数波动最大
D．年月的数据的月均值会达到“中度污染”类别
8．将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
投篮次数 投中次数 投中频率 投中次数 投中频率 下面有三个推断：
投篮次时，两位运动员都投中次，所以他们投中的概率都是．
随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是．
投篮达到次时，运动员投中次数一定为次．
其中合理的是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9．若代数式的值为，则实数的值为__________．
10．化简：__________．
11．如图，在中，，分别与，交于，两点．若，，则__________．
12．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁次约用到达．从年月日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的次的运行速度快，约用到达。如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，设“杭京高铁复兴号”的运行速度．设“杭京高铁复兴号”的运行速度为，依题意，可列方程为__________．
13．如图，为的直径，为上一点，，，交于点，连接，，那么__________．
14．在平面直角坐标系中，如果当时，函数（）图象上的点都在直线上方，请写出一个符合条件的函数（）的表达式：__________．
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等腰直角三角形的边在轴的正半轴上，，点在点的右侧，点在第一象限。将绕点逆时针旋转，如果点的对应点恰好落在轴的正半轴上，那么边的长为__________．
16．阅读下面材料：
在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．
已知：直线和直线外的一点．
求作：过点且与直线垂直的直线，垂足为点
某同学的作图步骤如下：
步骤 作法 推断 第一步 以点为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于，两点． 第二步 连接，，作的平分线，交直线于点． __________ 直线即为所求作．
请你根据该同学的作图方法完成以下推理:
，__________，
．（依据：__________）．
三、解答题（本题共68分，第17~19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）
17．计算：．
18．解不等式组，并求该不等式组的非负整数解．
19．如图，平分，于点，的中点为，．
（1）求证：．
（2）点在线段上运动，当时，图中与全等的三角形是__________．
20．已知关于的方程（为实数，）．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数的值．
21．如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为．
（1）补全图形，求的度数并说明理由;
（2）若，，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，线段的中点在函数（）的图象上
（1）求，的值;
（2）将线段向左平移个单位长度（）得到线段，，的对应点分别为，，．
当点落在函数（）的图象上时，求的值．
当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
23．某同学所在年级的名学生参加“志愿北京”活动，现有以下个志愿服务项目：．纪念馆志愿讲解员．．书香社区图书整理．．学编中国结及义卖．．家风讲解员．．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个个项目的情况，该同学随机对年级中的名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：
收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．
选择各志愿服务项目的人数统计表 志愿服务项目
划记
人数
．纪念馆志愿讲解员
正
．书香社区图书整理
．学编中国结及义卖
正正
．家风讲解员
．校内志愿服务
正
合计
选择各志愿服务项目的人数比例统计图
．纪念馆志愿讲解员
．书香社区图书整理
．学编中国结及义卖
．校内志愿服务
．家风讲解员
分析数据、推断结论：
：抽样的个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填的字母代号）
：请你任选中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目．
24．如图，的半径为，内接于，，，为延长线上一点，与相切，切点为．
（1）求点到半径的距离（用含的式子表示）．
（2）作于点，求的度数及的值．
25．如图，为的直径上的一个动点，点在上，连接，过点作的垂线交于点．已知，．设、两点间的距离为，、两点间的距离为．
某同学根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了与的几组值，如下表：
（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当时，的长度均为__________．
26.在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，抛物线的顶点为，直线：．
（1）当时，画出直线和抛物线，并直接写出直线被抛物线截得的线段长．
（2）随着取值的变化，判断点，是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线截得的线段长不小于，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
27．正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接．
（1）如图，当时，
依题意补全图．
用等式表示与之间的数量关系：__________．
（2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明．
（3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值．
28．对于平面内的和外一点，给出如下定义：若过点的直线与存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是的“相关依附点”，特别地，当点和点重合时，规定，（或）．
已知在平面直角坐标系中，，，的半径为．
（1）如图，当时，
若是的“相关依附点”，则的值为__________．
是否为的“相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．
（2）若上存在“相关依附点”点，
当，直线与相切时，求的值．
当时，求的取值范围．
（3）若存在的值使得直线与有公共点，且公共点时的“相关依附点”，直接写出的取值范围．
1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将580 0000 0000用科学记数法表示应为5.8×1010．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B选项不是中心对称图形，故本选项错误；
C选项为中心对称图形，故本选项正确；
D选项不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：b3﹣4b＝b（b2﹣4）＝b（b+2）（b﹣2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
4．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱，
故选：C．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
5．【分析】根据各点在数轴上的位置、加减法符号法则、实数的算术平方根，对各个选择支作出判断．
【解答】解：由数轴知：﹣5＜a＜﹣4，a＜b＜0＜d，|b|＜|d|，|a|＞|c|
∵﹣5＜a＜﹣4，所以选项A错误；
∵b＜0＜d且|b|＜|d|，所以b+d＞0，故选项B错误；
∵a＜0＜c且|a|＞|c|，所以|a|﹣c＞0．故选项C错误；
∵0＜c＜1，，所以c＜．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴、实数加减的符号法则及算术平方根．解决本题的关键是掌握实数加减的符号法则：减法：大数﹣小数＞0，小数﹣大数＜0；加法：正数+正数＞0，负数+负数＜0，正数+负数的符号与绝对值较大的加数的符号相一致．
6．【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为360°、且每个外角相等求解可得．
【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6．
则正多边形的一个外角＝，
故选：B．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）?180°，外角和等于360°．
7．【分析】根据折线统计图中六条折线，结合各选项逐一判断即可得．
【解答】解：①AQI为“优”最多的天数是14天，对应为2018年1月，故A选项正确．
②AQI在0～100之间天数最少的是13天，为2014年1月，故B选项正确．
③观察折线图，类别为“优”的波动最大，故选项C正确．
④2018年1月的AQI在“中度污染”的天数为1天，其他天AQI均在“中度污染”之上，因此D推断不合理．
故选：D．
【点评】本题主要考查折线统计图，解题的关键是从折线统计图找到解题所需数据．
8．【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
【解答】解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着投篮次数增加，A运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理．
③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中160次数，而不能确定一定是160次，故③不合理；
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【分析】分式的值为零，分子等于零．
【解答】解：依题意得：，
所以x﹣1＝0，
解得x＝1．
故答案是：x＝1．
【点评】考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
10．【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
【解答】解：（a+4）（a﹣2）﹣a（a+1）
＝a2+2a﹣8﹣a2﹣a
＝a﹣8．
故答案为：a﹣8．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
11．【分析】由DE∥AB可得出△DEC∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出＝（）2＝，再结合AC＝3即可求出DC的长度．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴＝．
又∵AC＝3，
∴DC＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理找出△DEC∽△ABC是解题的关键．
12．【分析】根据“复兴号速度×运行时间＝G20速度×G20运行时间”可得的方程．
【解答】解：设“杭京高铁复兴号”的运行速度为xkm/h，
依题意，可列方程为：4.5x＝5（x﹣35），
故答案为：4.5x＝5（x﹣35）．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
13．【分析】先求出∠DAB＝50°，进而得出∠AOD＝80°，即可得出结论．
【解答】解：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠DAB＝∠BOC＝50°，
∵OA＝OD
∴∠AOD＝180°﹣2∠DAB＝80°，
∴∠ACD＝∠AOD＝40°
故答案为40°
【点评】此题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，求出∠AOD是解本题的关键．
14．【分析】根据题意可以判断k的正负，从而可以写出一个符合要求的函数解析式，注意本题答案不唯一，只要符合要就即可．
【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，如果当x＞0时，函数y＝kx﹣1（k≠0）图象上的点都在直线y＝﹣1上方，
∴k＞0，
∴符合条件的函数y＝kx﹣1（k≠0）的表达式：y＝x﹣1，
故答案为：y＝x﹣1．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
15．【分析】依据旋转的性质，即可得到∠OAE＝60°，再根据OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，即可得出AE＝2，AC＝2．最后在Rt△ABC中，可得到．
【解答】解：依题可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE，∠OAE＝60°，
在Rt△AOE中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，
∴AE＝2，
∴AC＝2．
∴在Rt△ABC中，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
16．【分析】由AP＝AQ、BP＝BQ，依据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上知点A、B在线段PQ的中垂线上，据此可得PQ⊥l．
【解答】解：由作图可知AP＝AQ、BP＝BQ，
所以点A、B在线段PQ的中垂线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
所以PQ⊥l，
故答案为：BPQ，等腰三角形三线合一
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的性质及过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．
三、解答题（本题共68分，第17～19题每小题5分，第20题6分，第21、22题每小题5分，第23题6分，第24题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）
17．【分析】原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣5+4×﹣+1＝2﹣2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3（x+2）≥x+4，得：x≥﹣1，
解不等式＜1，得：x＜3，
∴原不等式解集为﹣1≤x＜3，
∴原不等式的非负整数解为0，1，2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）根据直角三角形的性质和角平分线的定义证明即可；
（2）根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD为直角三角形．
∵AB的中点为E，
∴，，
∴DE＝AE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴DE∥AC．
（2）△ADE．
∵，
∴△ADE≌△ADF．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据SAS证明三角形全等．
20．【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）由求根公式即可求出m的值．
【解答】解：（1）△＝（3﹣m）2﹣4m×（﹣3）
＝m2﹣6m+9+12m
＝m2+6m+9
＝（m+3）2≥0
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由求根公式，得，
∴x1＝1，（m≠0）．
∵此方程的两个实数根都为正整数，
∴整数m的值为﹣1或﹣3．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属于基础题型．
21．【分析】（1）补全图形，如图所示，可得出∠AOB＝90°，理由如下：由题意得到四边形为菱形，利用菱形的性质判断即可；
（2）在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义求出BO的长，由BD＝2BO即可求出BD的长．
【解答】解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB＝90°，理由如下：
证明：由题意可知BC＝AB，DC＝AB，
∵在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴BC＝DC＝AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD．
在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AB＝5，cos∠ABD＝，
∴OB＝AB?cos∠ABD＝3，
∴BD＝2OB＝6．
【点评】此题考查了解直角三角形，菱形的性质与判定，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22．【分析】（1）利用待定系数法求出m，进而求出点B的坐标，即可得出M的坐标，再代入双曲线解析式中，即可得出结论；
（2）①先表示出点D的坐标，代入双曲线解析式中，即可得出结论；
②先确定出MD，MD，建立不等式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵直线y＝x+m与x轴的交点为A（﹣4，0），
∴m＝4．
∵直线y＝x+m与y轴的交点为B，
∴点B的坐标为B（0，4）．
∵线段AB的中点为M，
∴可得点M的坐标为M（﹣2，2）．
∵点M在函数（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣4．
（2）①由题意得，点D的坐标为（﹣n，4），
∵点D落在函数（k≠0）的图象上，
∴﹣4n＝﹣4，
解得n＝1．
②由（1）知，M（﹣2，2），
由①知，D（﹣n，4），
∴MD＝，
由平移知，MN＝n，
∴MD≤MN
∴n≥，
∴n≥2，
∴n的取值范围是n≥2．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，解不等式，利用待定系数法求出双曲线解析式是解本题的关键．
23．【分析】依据收集的数据，即可得到补全统计表和统计图；依据抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）中，C出现的次数最多，可得众数是C．依据A﹣E中的各志愿服务项目在样本中所占的百分比，即可得到全年级大约有多少名同学选择某两个志愿服务项目．
【解答】解：整理、描述数据：
由题可得，A项有8人，B项有10人，D项有4人．
选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B占10÷40＝25%，D占4÷40＝10%．
分析数据、推断结论：
a．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）中，C出现的次数最多，故众数是C．
故答案为：C．
b：（写出任意两个即可）．A：500×20%＝100（人）．B：500×25%＝125（人）．C：500×30%＝150（人）．D：500×10%＝50（人）．E：500×15%＝75（人）．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体、众数的定义的运用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．【分析】（1）作BE⊥OC于点E，根据切线的性质和圆周角定理解答即可；
（2）连接OA，根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）如图，作BE⊥OC于点E．
∵在⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝15°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝30°．
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，∠BOE＝30°，OB＝r，
∴，
∴点B到半径OC的距离为．
（2）连接OA．
由BE⊥OC，DH⊥OC，可得BE∥DH．
∵AD于⊙O相切，切点为A，
∴AD⊥OA，
∴∠OAD＝90°．
∵DH⊥OC于点H，
∴∠OHD＝90°．
∵在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝30°，
∴．
∵∠ACB＝30°，
∴∠OCA＝∠OCB﹣∠ACB＝45°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣2∠OCA＝90°，
∴四边形AOHD为矩形，∠ADH＝90°，
∴DH＝AO＝r．
∵，
∴．
∵BE∥DH，
∴△CBE∽△CDH，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，根据切线的性质和圆周角定理解答是关键．
25．【分析】（1）连接BQ，BC，过点C作CF⊥AB于点F，过点P作PE⊥AC于点E，AQ与PC交于点G，利用勾股定理以及相似三角形分别求出PE，CE，PC的表达式，最后利用勾股定理即可求出y与x的表达式．
（2）利用描点法，画出函数图象即可；
（3）作出直线y＝2x与图象的交点只有1个，根据交点的横坐标即可求出答案．
【解答】解：（1）连接BQ，BC，
过点C作CF⊥AB于点F，过点P作PE⊥AC于点E，
AQ与PC交于点G，
由圆周角定理可知：∠ACB＝90°，
∵AB＝5，AC＝3，
∴由勾股定理可知：BC＝4，
∵AB?CF＝AC?BC，
∴CF＝，
∵AG⊥PC，BQ⊥AQ，
∴PG∥BQ，
∴△APG∽△ABQ，
∴
∴＝
∴AG＝，
∵PC?AG＝AP?CF，
∴PC＝＝＝
∵sin∠BAC＝＝，
∴，
∴PE＝x，
∴由勾股定理可知：AE＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝3﹣x，
在Rt△PCE中，
由勾股定理可知：（x）2+（3﹣x）2＝，
∴整理可得：x2﹣x+9＝，
∵y＞0，
∴y＝（0≤x≤5）
将x的数据代入上式即可求出答案．
（2）根据表格，描点，用光滑的曲线连线，如图所示，
（3）由题意可知：AQ＝2AP，
∴y＝2x，
作出直线y＝2x，由图象可知直线y＝2x与图象只有一个交点，
该交点的横坐标为大约为2.42．
即AP≈2.42
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意、图象法解决实际问题，找出题中的等量关系，列出y与x的关系，本题综合程度较高属于难题．
26．【分析】（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，求出直线被抛物线G截得的线段，再画出两个函数的图象即可；
（2）先求出C、D两点的坐标，再代入直线的解析式进行检验即可；
（3）先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点坐标，再根据这两个交点之间的距离不小于2列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，抛物线G的函数表达式为y＝x2+2x，直线的函数表达式为y＝x，
直线被抛物线G截得的线段长为，
画出的两个函数的图象如图所示：
（2）无论m取何值，点C，D都在直线上．理由如下：
∵抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，
∴点C的坐标为C（0，m﹣1），
∵y＝mx2+2mx+m﹣1＝m（x+1）2﹣1，
∴抛物线G的顶点D的坐标为（﹣1，﹣1），
对于直线：y＝mx+m﹣1（m≠0），
当x＝0时，y＝m﹣1，
当x＝﹣1时，y＝m×（﹣1）+m﹣1＝﹣1，
∴无论m取何值，点C，D都在直线上；
（3）解方程组，
得，或，
∴直线与抛物线G的交点为（0，m﹣1），（﹣1，﹣1）．
∵直线被抛物线G截得的线段长不小于2，
∴≥2，
∴1+m2≥4，m2≥3，
∴m≤﹣或m≥，
∴m的取值范围是m≤﹣或m≥．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，函数的图象，都是基础知识，需熟练掌握．
27．【分析】（1）作CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，由∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一点，可得∠BAM＝∠BCE，即可得到∠MCE＝2∠BAM，由点N与点M关于直线CE对称，可得CN＝CM，即可得到∠NCE＝∠MCE，进而得出∠NCE＝2∠BAM．
（2）连接CM，判定△ADM≌△CDM，即可得到∠DAM＝∠DCM，再根据∠DAQ＝∠ECQ，即可得到∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，即，再根据∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，即可得到．
（3）依据∠CEA＝90°，即可得到点E在以AC为直径的圆上，当EF经过圆心O时，即可得出线段EF长的最大值．
【解答】解：（1）①补全的图形如图所示：
②∠NCE＝2∠BAM．理由：
如图1，连接MC，
由△ABM≌△CBM，可得∠BAM＝∠BCM，
由∠ABC＝∠CEA＝90°，BC，AE交于一点，可得∠BAM＝∠BCE，
∴∠MCE＝2∠BAM，
由点N与点M关于直线CE对称，可得CN＝CM，
∴∠NCE＝∠MCE，
∴∠NCE＝2∠BAM．
故答案为：∠NCE＝2∠BAM．
（2）．
理由：如图，连接CM，
由AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM，可得△ADM≌△CDM，
∴∠DAM＝∠DCM，
∵∠ADQ＝∠CEQ＝90°，∠AQD＝∠CQE，
∴∠DAQ＝∠ECQ，
∴∠NCE＝∠MCE＝2∠DAQ，
∴，
∵∠BAM＝∠BCM，∠BCM+∠DCM＝90°，
∴．
（3）如图，∵∠CEA＝90°，
∴点E在以AC为直径的圆上，O为圆心，
由题可得，OF＝CD＝1，OE＝OC＝AC＝，
∵OE+OF≥EF，
∴当EF经过圆心O时，．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，圆周角定理，正方形的性质和全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应角相等得出结论．
28．【分析】（1）①如图1中，连接AC、QA1．首先证明QA1是切线，根据k＝计算即可解决问题；
②根据定义求出k的值即可判断；
（2）①如图，当r＝1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），连接CM，则QM⊥CM，根据定义计算即可；
②如图3中，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN＜QM，点N，M在x轴下方时同理），作CD⊥QM于点D，则MD＝ND，可得MQ+NQ＝（MN+NQ）+NQ＝2ND+2NQ＝2DQ，CQ＝2，推出，可得当时，，此时，假设⊙C经过点Q，此时r＝2，因为点Q早⊙C外，推出r的取值范围是1≤r＜2；
（3）由（2）可知，⊙C的“相关依附点”，在直线QM：y＝x+或y＝﹣x﹣上，且r的取值范围是1≤r＜2，当r＝2时，易知直线y＝x+与⊙C（大圆）的交点E（2，），当r＝1时，直线y＝﹣x﹣与⊙C（小圆）的交点F（，﹣），当直线y＝﹣x+b与线段QE，线段QF有交点时（线段端点除外），满足条件，利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，连接AC、QA1．
由题意：OC＝OQ＝OA1，
∴△QA1C是直角三角形，
∴∠CA1Q＝90°，即CA1⊥QA1，
∴QA1是⊙C的切线，
∴k＝＝＝．
②∵在⊙C上，
∴k＝＝2，
∴A2是⊙C的“2相关依附点”．
故答案为，是；
（2）①如图，当r＝1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），
连接CM，则QM⊥CM，
∵Q（﹣1，0），C（1，0），r＝1，
∴CQ＝2，CM＝1，
∴，
此时，
②如图3中，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN＜QM，点N，M在x轴下方时同理），
作CD⊥QM于点D，则MD＝ND，
∴MQ+NQ＝（MN+NQ）+NQ＝2ND+2NQ＝2DQ，
∵CQ＝2，
∴，
∴当时，，
此时，
假设⊙C经过点Q，此时r＝2，
∵点Q早⊙C外，
∴r的取值范围是1≤r＜2．
（3）如图4中，
由（2）可知，⊙C的“相关依附点”，在直线QM：y＝x+或y＝﹣x﹣上，且r的取值范围是1≤r＜2，
当r＝2时，易知直线y＝x+与⊙C（大圆）的交点E（2，），
当r＝1时，直线y＝﹣x﹣与⊙C（小圆）的交点F（，﹣），
当直线y＝﹣x+b与线段QE，线段QF有交点时（线段端点除外），满足条件，
当直线y＝﹣x+b经过点E（2，）时，可得b＝3，
当直线y＝﹣x+b经过点Q（﹣1，0）时，可得b＝﹣，
观察图象可知满足条件的b的值为﹣＜b＜3．
【点评】本题考查一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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