2019-2021北京初三二模数学汇编全等三角形一、填空题1．（2019·北京东城·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在
格点上，则∠BAC+∠ACD＝_____°．2．（2020·北京市第三十五中学二模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”
的尺规作图过程．己知：如图1，直线和直线外一点．求作：直线的平行直线，使它经过点．作法：如图2，（1）过作直线与直线交于点；（2）
在直线取一点，以点为圆心，长为半径画弧，与直线交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于
点；（4）作直线．所以，直线就是所求作的平行线．请回答：该作图的依据是______________________________
________________．3．（2021·北京东城·二模）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=EF，要
使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是_______________ ．二、解答题4．（2019·北京顺义·二模）
已知：在中，，．（1）如图1，将线段绕点逆时针旋转得到，连结、，的平分线交于点，连结．①求证：；②用等式表示线段、、之间的数量关系
(直接写出结果)；（2）在图2中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，的平分线交的延长线于点，连结．请补全图形，并用等式表示线段、
、之间的数量关系，并证明．5．（2019·北京海淀·二模）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合）
，点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．（1）若α＝60°，k＝1，①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；②直
接写出PA、PQ的数量关系；（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不
存在，请说明理由．6．（2020·北京西城·二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距
离相等”的尺规作图过程：已知：△ABC．求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．作法：如图，作∠BAC的平分线
，交BC于点D．则点D即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明
．证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴ = (???????????????????????)
(填推理的依据) ．7．（2021·北京房山·二模）如图，，，，求的度数8．（2021·北京门头沟·二模）已知：如图，，，请补充一
个条件可以得到．补充的条件：__________________；证明：9．（2021·北京丰台·二模）如图，AB＝AD，AC＝A
E，∠BAE＝∠DAC．求证：∠C＝∠E． 10．（2021·北京顺义·二模）已知：直线l和l外一点P． 求作：直线l的垂线，使它
经过点P．作法：①在直线l上任取两点A、B；②分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径作弧，在直线l下方两弧交于点C；③作直线PC
． 所以直线PC为所求作的垂线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连结AP、A
C、BP、BC． ∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，∴△APB≌△ACB（?）（填推理依据）．∴∠PAB＝∠CAB，∴PC⊥A
B（?）（填推理依据）．参考答案1．90【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形
的内角和可得结论．【详解】在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝
∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为90．【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全
等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．2．三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相
等两直线平行；两点确定一条直线【分析】先根据作图过程可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据平行线的判定即可得．【详解
】如图，连接AB、CD由作图过程得：在和中，（三边分别相等的两个三角形全等）（全等三角形的对应角相等）（同位角相等两直线平行）则直
线就是所求作的平行线（两点确定一条直线）故答案为：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相等两直线平行；两点
确定一条直线．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行线的判定等知识点，掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．3．∠
A=∠E【分析】要判定△ABC≌△EDF，已知AD=BE，AC=EF，则AB=DE，AC=EF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=
∠E，利用SAS可证全等．【详解】解：增加一个条件：∠A=∠E，∵AD=BE，∴AB=DE，在△ABC和△FDE中，，∴△ABC≌
△EDF(SAS)．故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SS
S等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．4．（1）①见解析；② 2CE+ AE=BD，(＋ 2 )AE＋EC＝BD 或
BD=(AE＋CE )，答案不唯一；（2）见解析，2CE-AE=BD，答案不唯一，见解析.【分析】（1）①首先证明△ABE≌△AC
E，由旋转的性质，全等的性质和等腰直角三角形的性质求得，然后由三角形外角的性质可求出，问题得证；②在ED上截取EH=AE，易得△A
EH为等边三角形，然后证明△AEB≌△AHD，通过线段间的等量代换即可得到2CE+ AE=BD；（2）首先根据题意补全图形，以A为
顶点，AE为一边作∠EAF=60°，AF交DB延长线于点F，证明△AEF是等边三角形，△CAE≌△DAF（SAS）和△BAE≌△C
AE（SAS），然后根据线段和差进行等量代换得到结果.【详解】解：（1）①证明：∵，，平分， ∴，．又∵ AE=AE，∴△ABE≌
△ACE（SAS）．∴．由旋转可得△ACD是等边三角形．∴，．∴，．∴．∴．∵，．∴．∴．． ②线段、、之间的数量关系是：2CE+
AE=BD．答案不唯一，如(＋ 2 )AE＋EC＝BD或BD=(AE＋CE )如图3，在ED上截取EH=AE，∵，∴△AEH为等
边三角形，∴AE=AH，∠AEH=∠AHE=60°，∴∠AEB=∠AHD=120°，又∵，∴△AEB≌△AHD，∴BE=DH，∵B
D=BE+EH+DH，BE=CE，AE=EH，∴BD=CE+AE+CE，即2CE+ AE=BD.（2）补全图形如图2，线段、、之间
的数量关系是：2CE -AE=BD．（答案不唯一）证明：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF=60°，AF交DB延长线于点F．
∵，，平分， ∴．由旋转可得△ACD是等边三角形．∴，．∴，．∴．∴．∴．又∵∠EAF=60°，∴．∴△AEF是等边三角形．∴AE
=AF=EF．在△CAE和△DAF中，∵，，AE=AF，∴△CAE≌△DAF（SAS）．∴CE=DF．∵，，AE=AE，∴△BAE
≌△CAE（SAS）．∴BE=CE．∵DF+BE-EF=BD，∴2CE-AE=BD．【点睛】本题是三角形与旋转的综合题，考查了全等
三角形的判定和性质、等腰三角形及等边三角形的判定和性质、旋转的性质等知识点，根据题意构造全等三角形是解题关键.5．（1）①详见解析
；②PA=PQ．（2）存在，使得②中的结论成立．【分析】（1）①如图1，作辅助线，构建等边三角形，证明△ADC为等边三角形．根据等
边三角形三线合一可得∠PAC＝∠PAD＝30°；②根据①中得结论：∠PAC＝∠PQC＝30°，则PA＝PQ；（2）存在k=，如图2
，作辅助线，构建全等三角形，证明△PAD≌△PQC（SAS）．可得结论．【详解】解：（1）①如图1，在CM上取点D，使得CD＝CA
，连接AD，∵∠ACM＝60°，∴△ADC为等边三角形．∴∠DAC＝60°．∵C为AB的中点，Q为BC的中点，∴AC＝BC＝2BQ
．∵BQ＝CP，∴AC＝BC＝CD＝2CP．∴AP平分∠DAC．∴∠PAC＝∠PAD＝30°．②∵△ADC是等边三角形，∴∠ACP
＝60°，∵PC＝CQ，∴∠PQC＝∠CPQ＝30°，∴∠PAC＝∠PQC＝30°，∴PA＝PQ；（2）存在，使得②中的结论成立．
证明：过点P作PC的垂线交AC于点D．∵∠ACM＝45°，∴∠PDC＝∠PCD＝45°．∴PC＝PD，∠PDA＝∠PCQ＝135°
．∵，，∴CD＝BQ．∵AC＝BC，∴AD＝CQ．∴△PAD≌△PQC（SAS）．∴PA＝PQ．【点睛】本题是三角形的综合题，考查
三角形全等的性质和判定、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构建等边三角形和三角形全等，难度适中，属
于中考常考题型．6．（1）详见解析；（2）DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等．【分析】(1)根据尺规作图——角平分线的做
法画图即可得到答案；(2)根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到答案；【详解】解：（1）作∠BAC的角平分线，如图：（2）作
DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)．故答案为：DE，DF，
角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】本题主要考查了尺规作图——角平分线以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相
等是解题的关键．7．【分析】先证明△ABC≌△ADC（SAS）得到∠B＝∠D，即可求解．【详解】证明：在△与△中，∴△≌△，∴，∵
，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的SAS判定和性质，掌握SAS判定方法是关键.【分析】填一个条件，可以根据“边角边”判断即可．【
详解】填∠A=∠D，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟记全等三角形的判定定理，正确添加条件．
9．见解析【分析】根据∠BAE∠DAC，可推出∠BAC∠DAE，解题已知可证△BAC≌△DAE即可得出答案．【详解】∵∠BAE∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC∠DAC＋∠EAC，即：∠BAC∠DAE．?在△BAC和△DAE中，∴△BAC≌△DAE．∴∠C∠E．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAC≌△DAE是解题关键．10．（1）见解析；（2）SSS，等腰三角形三线合一【分析】此题考查作图问题，根据题意按照作图步骤一步步进行，注意保留作图痕迹．【详解】解：（1）（2）SSS，等腰三角形三线合一【点睛】此题考查尺规作图，涉及到尺规作图中的依据，另外考查三角形全等的条件，难度一般． 1 / 1 |
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