2019-2021北京重点校初三（上）期中数学汇编垂径定理一、单选题1．（2020·北京四中九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，以(
3，0)为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C(0，2)，Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别
作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中
能表示y与x的函数关系的部分图象是（ ）A．B．C．D．2．（2019·北京八中九年级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点
是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A．B．C．D．3．（2021·北京师大附
中九年级期中）如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象
所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（ ）A．150°，B．150°，2C．120°，D．
120°，24．（2020·北京四中九年级期中）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．4B．5C．6D．75．（2020·北京四中九年级期中）如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点
F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（ ）A．0B．1C．2D．36．（2019·北京八十
中九年级期中）如图，直线A与⊙O相切于点A，AB是⊙O直径．∠EAC＝150°，D是弧BC的中点，则弦AC与AD的数量关系是（
）A．1：2B．1：C．：D．1：3二、填空题7．（2020·北京师大附中九年级期中）如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,
垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为______cm.8．（2020·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，⊙O的直径AB垂直于
弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为___．9．（2019·北京八中九年级期中）如图，为的直径，弦于点，已知，
，则的半径为______.10．（2020·北京四中九年级期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧
，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆
被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为_____m．三、解答题11．（2021·北京师大附中九年级
期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）若∠BAD＝30°
，BC＝2，求⊙O的半径．12．（2020·北京四中九年级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA
．若AB＝4，CD＝1，求⊙O半径的长．13．（2019·北京市陈经纶中学九年级期中）一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，
文物学家希望能把此件文物进行复原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图所示，经过测量得到弓形高CD＝米，∠CAD＝30°，请你帮助文物
学家完成下面两项工作：（1）作出此文物轮廓圆心O的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）求出弓形所在圆的半径.14．（2
021·北京师大附中九年级期中）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，
OE＝1，∠BAD＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．15．（
2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．(1)求证:∠BCO＝∠
D；(2)若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．16．（2019·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在⊙O中，OC⊥AB
，交AB于点D，交⊙O于点C，（1）求证：∠AOC＝∠BOC；（2）若点D是OC的中点，且AB＝6，求⊙O的半径．参考答案1．A【
分析】连接PC．根据勾股定理求得PC2＝13，即圆的半径的平方＝13；根据三个角是直角的四边形是矩形，得矩形PEQF，则PE＝QF
，根据垂径定理，得QF＝BF，则PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝y，从而判断函数的图象．【详解】解：连接PC．∵P（3，0
），C（0，2），∴PC2＝13．∵AB是直径，∴∠Q＝90°．又PE⊥QA于E，PF⊥QB于F，∴四边形PEQF是矩形．∴PE＝
QF．∵PF⊥QB于F，∴QF＝BF．∴PE＝BF．∴y＝PE2+PF2＝BF2+PF2＝PC2＝13．故选：A．【点睛】此题综合
运用矩形的判定和性质、垂径定理求得y的值，常数函数是平行于坐标轴的一条直线．2．A【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设
半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【详解】解：，，在中，，设半径为得：，解得：，这段弯路的半径为
故选A．【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．3．D【分析】观察
图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC
′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．【详解】解：由函数图象可得：
y的最大值为4，即BC的最大值为4，∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，观察图象，可得当x＝0时，y＝2，∴AB＝2，如图，点C′是
的中点，连接OC′交AB于点D，∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，∴sin∠BOC′＝＝，∴∠BOC′＝60°
，∴∠AOB＝120°，∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，∴△BOC′是等边三角形，∴BC′＝OB＝2，即点C运动到弧AB的中点
时所对应的函数值为2．故选：D【点睛】本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键
．4．B【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OA的长即可：【详解】如图， ∵OC⊥AB于C，AB=8，∴AC=A
B=4，在Rt△OAC中，∵OC=3，AC=4，∴.故选择：B．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理与勾股定理是解题关
键5．D【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理，由AB⊥DG得到，而，所以，根据圆周角定理得到∠DBE＝∠BDG，从而
可对③进行判断．【详解】解：∵∠A与∠E都对，∴∠A＝∠E，所以①正确；∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，所以②正确；∵AB⊥DG
，∴，∵点D是弧EB的中点，即，∴，∴∠DBE＝∠BDG，∴FB＝FD，所以③正确．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆
或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．也考查了垂径定理．6．B【
分析】根据圆周角定理以及切线的性质即可求出答案．【详解】解：连接OC、OD，∵直线AE与⊙O切于点A，∴∠BAE＝90，∵∠EAC
＝150，∴∠BAC＝60，∴∠AOC＝60，∵D是弧BC的中点，∴∠BAD＝∠BAC＝30，∴∠AOD＝120，设OA＝2，∴A
C＝OA＝2，由垂径定理可知：AD＝2，∴＝，故选：B．【点睛】本题考查圆的切线，涉及垂径定理、勾股定理、切线性质等知识，需要学生
灵活运用所学知识．7．5【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．【详解】连接OA，∵OC⊥AB，AB=8，∴
AC=4，∵OC=3，∴OA=故答案为5.【点睛】此题考查勾股定理、垂径定理及其推论，解题关键在于连接OA作为辅助线.8．6【分析
】根据垂径定理和∠B等于60°求出BC和AB，再用勾股定理求出AC长度．【详解】∵DC⊥AB∴EC=6÷2=3又∠B=60°∴BC
=又∠B=60°；OB=OC∴△OBC为等边三角形∴OB=CB=∴AB=又AB过圆心O∴∠C=90°∴AC=故答案为6【点睛】本题
考查垂径定理、锐角三角函数的应用，掌握上述知识是解题的关键．9．5【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可
．【详解】解：连接OD， ∵CD⊥AB于点E，∴DE=CE= CD= ×8=4，∠OED=90°，由勾股定理得：OD= ,即⊙O的
半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．10．2【分析】过O
点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长．【详解】解：过O点作
半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：
筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条
弧，能熟练运用垂径定理是解题的关键．11．（1）见解析；（2）2．【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到结论；（
2）连接OB，如图，利用垂径定理得到BE＝CE＝，再利用圆周角定理得到∠BOE＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求O
B的即可．【详解】解答：（1）证明：∵BC⊥AD，∴∴∠BAD＝∠CAD；（2）解：连接OB，如图，∵BC⊥AD，∴BE＝CE＝B
C＝×2＝，∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，在Rt△BOE中，∵OE＝BE＝×＝1，∴OB＝2OE＝2，即⊙O的半径为
2．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．1
2．⊙O半径的长为．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【详解】解：设⊙O的半径为r，则OA
＝r，OC＝r﹣1，∵OD⊥AB，AB＝4，∴AC＝AB＝2，在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，∴r2＝22+（r﹣1）2
，r＝，答：⊙O半径的长为．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平分弦；确定一
个直角三角形，设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．13．（1）作图见解析；（2）.【分析】（1）作AC的垂直平分线交CD的延长线
于点O，点O即为所求作的点；（2）在Rt△ACD中，∠CAD=30o，所以∠C=60o，因此△AOC为等边三角形，在Rt△ACD中
求出AC的长即可求出圆的半径长.【详解】解：（1）作图如下：答：点O即为所求作的点.（2）解：连接AO在Rt△ACD中，∠CAD=
30o∴，∠ACD=60o∵AO=CO∴AO=CO=AC=答：此弓形所在圆的半径为.【点睛】本题考查基本几何作图；垂径定理及勾股定
理，掌握相关定理灵活应用是本题的解题关键．14．（1）见解析；（2）图见解析，．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠
OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据直角三角形的性质得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4
，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连接FG，根据勾股定理得到DE
＝＝＝，根据三角形中位线的性质得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵OA＝OD，∴∠
ODA＝∠OAD＝30°，∵DF⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝
30°，∴OE＝OD，∴OD＝2OE＝2，∴OA＝OD＝2，∵AB是⊙O直径，∴AB＝2OD＝4，∵AB＝2BC，∴BC＝2，∴A
E＝OA+OE＝3，∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，∴AE＝CE，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠C
DE＝90°﹣∠DCE＝60°，∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2
）解：连接FG，在Rt△DOE中，∵OD＝2，OE＝1∴DE＝＝＝， ∵OE⊥DF，∴EF＝DE＝，∵OD＝OG，∴OE是△DFG
的中位线，∴OE＝ FG，∴FG＝2OE＝2，在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，∴GE＝＝＝．【点睛】本题主要考查了垂径定
理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等知识是解题的关
键．15．(1)见解析；(2)⊙O的半径为 cm【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；（2）由垂
径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得直径与半径．(1)证明
：∵OB=OC，∴∠BCO=∠B，∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；(2)解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×
6=3，∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE=DE：BE，∴AE：3=3：8，解得：AE=，∴AB
=AE+BE==，∴⊙O的半径为(cm)．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．16．（1）详见解析；（2）2．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．（2）在Rt△AOD中 证明∠OAD＝30°，AD＝3，根据OA＝计算即可．【详解】（1）证明：∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC（三线合一）．（2）解：在Rt△AOD中，∵点D是OC的中点，∴OA=OC＝2OD，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝3，∴OA＝＝＝．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 1 / 1 |
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