2019北京初三一模数学汇编平行四边形一、单选题1．（2019·北京市大兴区德茂学校一模）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开
，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是A．12B．18C．D．2．（2019·北京市大兴区德茂
学校一模）如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），
则图（3）的虚线是（ ）A．B．C．D．3．（2019·北京通州·一模）如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着下
图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（ ）A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形二、填空题4．（2019·北京·清华附中
一模）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE''F
''G''，此时点G''在AC上，连接CE''，则CE''+CG''＝_____．5．（2019·北京市通州区姚村中学一模）尺规作图：过直线外
一点作已知直线的平行线．已知：如图，直线l与直线l外一点P．求作：过点P与直线l平行的直线．作法如下：（1）在直线l上任取两点A、
B，连接AP、BP；（2）以点B为圆心，AP长为半径作弧，以点P为圆心，AB长为半径作弧，如图所示，两弧相交于点M；（3）过点P、
M作直线；（4）直线PM即为所求．请回答：PM平行于l的依据是_____．6．（2019·北京丰台·一模）如图所示的网格是正方形网
格，∠AOB_____∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）三、解答题7．（2019·北京·青云店中学一模）阅读下列材料：我们定义
：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐
四边形．结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形 ．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形（2）命题：
“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）．（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点
，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．8．（2019·北京顺义·一模）如图，四边形ABCD中，AD
∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2
）若AD=1，BC=2，求BF的长．9．（2019·北京丰台·一模）如图为六个大小完全相同的矩形方块组合而成的图形，请仅用无刻度的
直尺分别在下列方框内完成作图：（1）在图（1）中，作与MN平行的直线AB；（2）在图（2）中，作与MN垂直的直线CD．10．（20
19·北京通州·一模）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE．求证：DE=AC．11
．（2019·北京·首都师范大学附属中学一模）如图，矩形ABCD中，点E是CD延长线上一点，且，求证：．12．（2019·北京顺义
·一模）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使，过点F作于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、
N，交对角线AC于点P，连接AF．依题意补全图形；求证：；判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．13．（2019·北京市通州区
姚村中学一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边
形ADCE是矩形；（2）若∠AOE＝60°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．14．（2019·北京丰台·一模）如图，经过正方形
ABCD的顶点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1．
（2）若∠PAB＝30°，求∠ADF的度数．（3）如图，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，
并证明．15．（2019·北京通州·一模）如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF＝
BC；（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．16．（2019·北京通州·一模）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点
E，AB＝BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如
果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．参考答案1．D【分析】按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，虚线①为
矩形的对称轴，依据对称轴的性质虚线①平分矩形的长，即可得到沿虚线②裁下的直角三角形的短直角边为10÷2﹣4=1，虚线②为斜边，据勾
股定理可得虚线②为，据等腰三角形底边的高平分底边的性质可以得到，展开后的等腰三角形的底边为2，故得到等腰三角形的周长：【详解】根据
题意，三角形的底边为2（10÷2﹣4）=2，腰的平方为32+12=10，∴等腰三角形的腰为；∴等腰三角形的周长为：.故选D.2．D
【分析】本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行.【详解】要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正
方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形纸片的边平行，所以D是正确答案，故本题正确答案为D选项.【点睛】本题考查了平面图形在实际生
活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键.3．B【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．根据
对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判断．【详解】将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，那么剪下的纸片打开后的形状，是对角线互相
垂直平分的四边形，故是菱形．故选B．【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键．4．【分
析】作G′R⊥BC于R，则四边形RCIG′是正方形．首先证明点F′在线段BC上，再证明CH=HE′即可解决问题．【详解】作G′R⊥
BC于R，则四边形RCIG′是正方形．∵∠DG′F′=∠IG′R=90°，∴∠DG′I=∠RG′F′，在△G′ID和△G′RF中，
∴△G′ID≌△G′RF，∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，∴点F′在线段BC上，在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F
′H=30°，∴E′H=E′F′=1，F′H=，易证△RG′F′≌△HF′E′，∴RF′=E′H，RG′=RC=F′H，∴CH=R
F′=E′H，∴CE′=，∵RG′=HF′=，∴CG′=RG′=，∴CE′+CG′=+．故答案为+．【点睛】本题考查旋转变换、正方
形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5
．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．【分析】利用画法得到PM＝AB，BM＝PA，则利用平
行四边形的判定方法判断四边形ABMP为平行四边形，然后根据2平行四边形的性质得到PM∥AB．【详解】解：由作法得PM＝AB，BM＝
PA，∴四边形ABMP为平行四边形，∴PM∥AB．故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直
线．【点睛】本题考查基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平
分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的判定与性质．6．＞．【分析】作CD⊥OD于D，过B作BE⊥OA于E，连接OF，
由网格的特点知，∠COD=∠EOF=45°，从而可比较出∠AOB与∠COD的大小关系.【详解】作CD⊥OD于D，过B作BE⊥OA于
E，连接OF，由网格的特点知，∠COD=∠EOF=45°，∵∠AOB>∠EOF，∴∠AOB＞∠COD，故答案为＞．【点睛】本题考查
了正方形的性质及角的大小比较，作出辅助线，根据正方形的性质得到∠COD=∠EOF=45°是解答本题的关键.7．（1） C ；（2）
假；（3）∠ABC的度数为60°或90°或150°.【分析】（1）由和谐四边形的定义，即可得到菱形是和谐四边形；（2）和谐四边形不
一定是轴对称图形，举出反例即可；（3）首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图
1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质，即可求出∠ABC的度数．【详解】（1）根据和谐四
边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C
.（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，如图所示：∠C=45°，直角梯形ABCD是和谐四边形，但不是轴对称图形，故答案为：假；（3）
∵AC是四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，∴△ACD是等腰三角形，∵在等腰Rt△ABD中，AB=AD，∴AB=AD=BC，①如
图1，当AD=AC时，∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC∴△ABC是正三角形， ∴∠ABC=60°；②如图2，当DA=DC时，
∴AB=AD=BC=CD．∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°；?③如图3，当CA=CD时，过点C作C
E⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD，CE⊥AD，∴AE=ED，∠ACE=∠DCE．∵∠BAD=∠AEF=∠BFE
=90°，∴四边形ABFE是矩形，∴BF=AE．∵AB=AD=BC，∴BF=BC， ∴∠BCF=30°．∵AB=BC，∴∠ACB=
∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC=∠ACE，∴∠ACB=∠BAC=∠BCF=15°，∴∠ABC=150°．【点睛】此题主要考查了
等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及菱形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨
论思想的应用．8．（1）证明见解析（2）2【详解】（1）∵AF∥BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点
，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，，∴△BCE≌△FDE，∴DF=BC，又∵DF∥BC，∴四边形BCDF为平行四边形，∵BD
=BC，∴四边形BCFD是菱形；（2）∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB=，∵AF=AD+DF
=1+2=3，在Rt△BAF中，BF==2．9．（1）见解析；（2）见解析【详解】试题分析：画图即可. 试题解析：如图：10．证明
见解析【详解】试题分析：证明CD是线段BE的垂直平分线，得到DB=DE，又因为DB=AC，则得证.试题解析：∵四边形ABCD是矩形
，∴AC=BD，∠BCD=90°，∵BC=CE，∴DC是BE的中垂线，∴BD=DE，∴DE=AC．11．．【分析】根据矩形的性质得
出AD⊥EC，线段垂直平分线的性质得出AC=AE，即可得∠E=∠ACD，再由平行线的性质证得∠ACD=∠BAC，所以∠E=∠BAC
．【详解】矩形ABCD中，，，，，，，，，．【点睛】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出AD⊥EC，线段垂直平分线的性质得出AC
=AE是解决问题的关键．12．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）FM=PN，理由详见解析.【分析】依题意补全图形即可；利用三角
形的内角和定理判断出，由等腰三角形的性质证得，再用正方形的性质得出，即可得出结论； 如图1，过B作交CD于点Q，构造出≌，进而判断
出，再判断出，，即可得出结论．【详解】补全图形，如图所示：证明正方形ABCD，，，．．．，，．．；．证明：如图1，过B作交CD于点
Q，，．正方形ABCD，，，．≌．．．，．，．．．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．13．（1）证明见解析；（2）4.【分析】（1）先根据四边形ABDE是平行四边形和D
为BC的中点判定四边形AECD是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；（2）根据∠AOE＝60°和矩形
的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．【详解】（1）证明：∵四边形A
BDE是平行四边形，∴BD＝AE，BD∥AE．∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴CD＝AE．∴四边形AECD是平行四边形．又∵AB
＝AC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO＝EO，∵∠AOE＝60°∴△AOE为
等边三角形，∴AO＝AE＝2，∴AC＝2OA＝4．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形中
位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．（1）见解析；（2）∠ADF＝15°；（3）EF2+
FD2＝2AB2，见解析【分析】（1）过B作AP的垂线段，并延长至E，使B、E到AP的垂线段相等，得出B的对称点E，连接BE、DE
即可；（2）连接AE，由轴对称的性质得出∠PAB=∠PAE=30°，AE=AB=AD，得出∠AED=∠ADF，求出∠EAD=150
°，即可求出∠ADF的度数；（3）连接AE、BF、BD，由轴对称的性质得出EF=BF，AE=AB=AD，得出∠ABF=∠AEF=∠
ADF，求出∠BFD=∠BAD=90°，根据勾股定理得出BF2+FD2=BD2，即可得出结论．【详解】解：（1）如图1、图2所示：
（2）连接AE，如图3所示：∵点B关于直线AP的对称点为E，则∠PAB＝∠PAE＝30°，AE＝AB＝AD，∴∠AED＝∠ADF，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°+30°+30°＝150°，∴∠ADF＝（180°﹣∠EAD）＝1
5°；（3）连接AE、BF、BD，如图4所示：则EF＝BF，AE＝AB＝AD，∴∠EBF＝∠BEF，∠ABE＝∠AEB∴∠ABF＝
∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴BF2+FD2＝BD2，∵AB2+AD2＝2AB2，EF＝BF，∴EF2+FD
2＝AB2+AD2＝2AB2，即EF2+FD2＝2AB2．【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定
与性质以及垂直平分线的性质；熟练掌握正方形和轴对称的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．15．（1）见解析；（2）CF＝
cm．【分析】（1）要求证BF＝BC只要证明∠CFB＝∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE＝∠BDC就可以；（2）已知AB＝4c
m，AD＝3cm，就是已知BC＝BF＝3cm，CD＝4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD?CE＝BC?DC，就可以求
出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF＝BF﹣BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由
此解决问题．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°．∵CE⊥BD，∴∠DBC
+∠ECB＝90°．∴∠ECB＝∠CDB．∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，∴∠C
FB＝∠BCF∴BF＝BC（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．在Rt△BCD中，由勾股
定理得BD＝＝5．又∵BD?CE＝BC?DC，∴CE＝．∴BE＝．∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．∴CF＝cm．【点睛】本题考查矩形的判
定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．16．（1）见解析 （2）2【分析】（1）证BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；（2）由平行四边形的性质得出CF=BD=2，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=，得出AE=CE=，即可得出AC的长．【详解】（1）∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．∴BD∥CF，CD∥BF，∴四边形DBFC是平行四边形；（2）∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF=BD=2，∵AB=BC，AC⊥BD，∴AE=CE，作CM⊥BF于F，∵BC平分∠DBF，∴CE=CM，∵∠F=45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CF=CM∴CM=，∴AE=CE=CM=，∴AC=2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 1 / 1 |
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