挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题29圆与相似及三角函数综合问题 【例1】(2022·四川·巴中市教育科学研究所中
考真题)四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．(1)如图1，若，且，求证：平分；(2)如图2，连接，若，求证：．【例2】(
2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯 的中点为 (1)如图①，为一条拉线，在上，求
的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．(3)如图③，是线段上的动点，为入射
光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．【例3】(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知是的直径，点A，点B
是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．(1)如图1，求证：；(2)如图2，延长交于点F，若，求证：；(3)如图
3，在(2)的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．【例4】(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示，在的内接中，，，作于点
P，交于另一点B，C是上的一个动点(不与A，M重合)，射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．(1)求证：．(2)若，，求
的长．(3)在点C运动过程中，当时，求的值．一、解答题【共20题】1．(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图，是的外接圆，与相切
于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．(1)求证：平分；(2)若，，求线段的长．2．(2022·湖北
黄石·中考真题)如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的值；
(3)在(2)的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．3．(2022·湖北襄阳·中考真题)如图，AB是半圆O的直径
，点C在半圆O上，点D为的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC相交于点G，过点D作直线DEBC，交AC的延长线于点E．(1)求证
：DE是⊙O的切线；(2)若，CG＝2，求阴影部分的面积．4．(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图，是的外接圆，为的直径，点为上一
点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．(1)求证：是的切线．(2)若，，求的半径．5．(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，AC
是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．(1)求证：AF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，A
D是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．6．(2022·山东菏泽·中考真题)如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且
D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是的切线；(2)若，求CG的长．7．(2022·贵州黔西
·中考真题)如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)
求证：DH是⊙的切线；(2)若E为AH的中点，求的值．8．(2022·贵州安顺·中考真题)如图，是的直径，点是劣弧上一点，，且，平
分，与交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，求的长；(3)延长，交于点，若，求的半径．9．(2022·山东枣庄·中考真题)如图，
在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，O
E＝6cm．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．10．(2022·山东济宁·中考真题)如图，在矩形ABCD中，以AB的
中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF．(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB
＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．11．(2022·青海西宁·中考真题)如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切
于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若，的半径为2，求FM的长．12．(2022
·辽宁大连·中考真题)是的直径，C是上一点，，垂足为D，过点A作的切线，与的延长线相交于点E．(1)如图1，求证；(2)如图2，连
接，若的半径为2，，求的长．13．(2022·青海·中考真题)如图，AB是的直径，AC是的弦，AD平分∠CAB交于点D，过点D作的
切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，，求BE的长．14．(2022·广西柳州·中考真题
)如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点
C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值
；(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．15．(2022·广西河池·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE
的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．(1)求证：PC为⊙O的切线；
(2)若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．16．(2022·山东聊城·中考真题)如图，点O是的边AC上一点，以点O为
圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，．(1)连接AF，求证：AF是的
切线；(2)若，，求FD的长．17．(2022·湖南湘西·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于
点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若C
F＝2，sinC＝，求AE的长．18．(2022·甘肃兰州·中考真题)如图，是的外接圆，AB是直径，，连接AD，，AC与OD相交于
点E．(1)求证：AD是的切线；(2)若，，求的半径．19．(2022·广东广州·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图
形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD 的值．20．(2022·山东淄博·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平
分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI； 图1(2)如图2，过点D作直线DEBC，求证：DE是⊙O的切线； 图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH． 图3 |
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