专题10 二次函数图像一．选择题（共10小题）1．（2021?江汉区校级自主招生）对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，我们称为这个函数
的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围是 A．B．C．D．2．（2021?黄州区校级自主招生）如图所示，已知
抛物线的顶点为，点是第一象限内该二次函数图象上一点，过点作轴的平行线交二次函数图象于点，分别过点，作轴的垂线、垂足分别为，，连接，
，交于点，则 A．B．C．D．3．（2020?涪城区校级自主招生）已知点，，在二次函数的图象上，则下列结论正确的是 A．B．C．D
．4．（2020?赫山区校级自主招生）已知二次函数，当时，的取值范围是 A．B．C．D．5．（2020?谷城县校级自主招生）已知函
数，则 A．0B．1C．2D．6．（2020?田家庵区校级自主招生）二次函数的图象如图所示，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4
）．其中正确结论的个数是 A．1B．2C．3D．47．（2020?武昌区校级自主招生）已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值
范围是 A．B．C．D．8．（2020?温江区校级自主招生）二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③当，随的增大而增大；④中，
正确的有 A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2020?涪城区校级自主招生）把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到
的新抛物线的表达式为 A．B．C．D．10．（2020?浙江自主招生）已知函数，当时，．则函数的图象可能是下图中的 A．B．C．D
．二．填空题（共13小题）11．（2020?涪城区校级自主招生）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，函数的图象与线段只有一个公共点
．则的取值为 ．12．（2020?谷城县校级自主招生）当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ．13．（2020?浙江自主招生
）设实数、、满足，则函数的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是 ．14．（2020?浙江自主招生）二次函数的图象的一部分如图
所示，则的取值范围是 ．15．（2019?江岸区校级自主招生）如图在直角坐标系中，点在轴上，轴，点，为线段上一点，沿将翻折点恰
好落在线段上的点处，将过、、三点的抛物线绕点旋转，则旋转后的抛物线解析式为 ．16．（2019?滕州市模拟）抛物线的对称轴为直线，
图象过点，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号有 ．17．（2019?天心区校级
自主招生）二次函数的图象如图所示，则化简 ．18．（2019?锦江区校级自主招生）若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为
．19．（2018?顺庆区校级自主招生）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，的实数）．其中正确的结
论有 ．（填序号）20．（2017?金牛区校级自主招生）如图，矩形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，，，点的坐标为，抛物线的顶点总
是在矩形内部（包括边界），且与轴的两个交点分别是点，、、，其中，下列说法：①；②；③当时，方程总有两个不相等的实数根；④的取值范围
是；其中正确的是 ．21．（2017?金牛区校级自主招生）二次函数的图象如图所示，那么化简的结果是 ．22．（2016?宝山区校级
自主招生）已知函数的图象上有一点，其中，是正整数，则 ．23．（2016?杭州自主招生）二次函数的图象如图所示，对称轴为，给出下列
结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ．（写出正确命题的序号）三．解答题（共3小题）24．（2020?闵行区校级自主招生）二次函
数，其图象都在轴及其上方，设，则的最值为多少？25．（2015?温江区校级自主招生）已知：对于的所有实数值，二次函数为实数）的值都
是非负的，求关于的方程的根的取值范围．26．（2017?市南区校级自主招生）在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点．试在
二次函数的图象上找出满足的所有整点．专题10 二次函数图像参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：由题意得：不
动点在一次函数图象上，一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点，两个不动点，满足，时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，，．故
选：．2．【解答】解：当时，，，设点的横坐标为，，，，在中，，在中，，轴，，即，解得：，，，，故选：．3．【解答】解：当时，；当时
，；当时，，，故选：．4．【解答】解：二次函数的解析式为，抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向上，，当时，取得最小值，当时，，当时
，，当时，的取值范围是，故选：．5．【解答】解：函数，（1）．故选：．6．【解答】解：（1）二次函数的图象开口向上，与轴的交点位于
轴正半轴，，，由对称轴为，由图象可知，，，则结论（1）正确，符合题意；（2）当时，，，即，则结论（2）错误，不符合题意；（3），，
，，，即，则结论（3）错误，不符合题意；（4）由二次函数与一元二次方程的联系得，关于的方程有两个不相等的实根，，，，，，又，，即，
则结论（4）正确，符合题意，综上，正确结论的个数是2个故选：．7．【解答】解：解法一：函数的对称轴为直线，当时，有最小值，此时，函
数在上的最小值是，；当时，，对称轴为直线，当时，，函数在上的最大值是1，且；．解法二：画出函数图象，如图所示：，当时，；当，，当，
，函数在上的最大值是1，最小值是，．故选：．8．【解答】解：抛物线与轴有2个交点，△，即，所以①正确；抛物线的对称轴为直线，，，而
抛物线的开口向下，，，所以②正确；抛物线的对称轴为直线，当，随的增大而增大，所以③正确；时，，，所以④错误．故选：．9．【解答】解
：抛物线的顶点坐标为，向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为，所以，平移后的抛物线的解析式为．故选：．10．【解
答】解：因为函数，当时，所以可判断，可知，所以可知，，则，不妨设则函数为函数即则可判断与轴的交点坐标是，，故选：．二．填空题（共1
3小题）11．【解答】解：①当函数的图象与轴只有一个交点，且交点在线段上时，△，即，解得或，时，交点横坐标时，故交点不在线段上，时
，交点横坐标为，交点在线段上，此时，②当函数的图象与轴有两个交点时，时，时，而函数的图象与线段只有一个公共点，或，解得，综上所述，
或，故答案为：或．12．【解答】解：由可知抛物线对称轴为直线，当与时，代数式的值相等，当或时，二次函数的函数值相等，以、为横坐标的
点关于直线对称，则，，，，时，代数式．故答案为3．13．【解答】解：将两边平方，得整理，得，又当时，，抛物线通过定点．故答案为：．
14．【解答】解：函数，当时，，函数图象与两坐标轴交于点和，另一个交点位于点的右侧，则当是时，函数值一定小于0．当时的函数值一定小
于0，故，故答案为：．15．【解答】解：轴，点，，，，，由题意可知，作轴于，轴，，，，即，，，，，设过、、三点的抛物线为，，解得，
抛物线为，抛物线绕点旋转，可得，得到，故答案为．16．【解答】解：①，，，，故①错误．②抛物线与轴有两个交点，，故②正确．③抛物线
与轴的一个交点是，对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点是，，故③正确．④点在抛物线上，对称轴为直线，也在抛物线上，，且，都在对称轴
的左侧，，故④错误．⑤：抛物线对称轴，经过，，，，，，⑤正确．故正确的判断是②③⑤．故答案为②③⑤．17．【解答】解：抛物线开口向
上，，对称轴为直线，，抛物线与轴的交点在轴下方，，，，，原式．故答案为．18．【解答】解：可化为，分析可得：当时，；且与的取值无关
；故不管取何值时都通过定点．19．【解答】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，，，，所以错误；②当时，由图象
知，把代入解析式得：，，②错误；③图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，，所以，所以．③正确；④由①②知且，，④正确
；⑤时，（最大值），时，，的实数，，成立．⑤正确．故正确结论的序号是③，④，⑤．20．【解答】解：观察图形发现，抛物线的开口向下，
，顶点坐标在第一象限，，，而抛物线与轴的交点在轴的上方，，，故①正确；点的坐标为，，，抛物线的顶点总是在矩形内部（包括边界），，，
，，，故②错误；由题意可知，抛物线与直线有两个交点，当时，方程总有两个不相等的实数根；故③正确；顶点在矩形内部（包括边界），当顶点
与点重合，顶点坐标为，则抛物线解析式，由，解得；当顶点与点重合，顶点坐标为，则抛物线解析式，由，解得；顶点可以在矩形内部，；故④正
确；故答案为①③④．21．【解答】解：抛物线的开口向上，，与轴的交点为在轴的负半轴上，，，对称轴为直线，．．22．【解答】解：把点
代入函数得：，把正整数，2，，依次代入，当时，为正整数，即：，解得：，（舍去），故，；则．23．【解答】解：由二次函数图象开口向上
，得到；与轴交于负半轴，得到，对称轴在轴右侧，且，即，与异号，即，，选项①正确；二次函数图象与轴有两个交点，△，即，选项②错误；原
点与对称轴的对应点为，时，，即，选项③错误；时，，，把代入得：，选项④正确，故答案是：①④．三．解答题（共3小题）24．【解答】解
：由题意得：且△，即，故，当且仅当时等号成立，而，无最大值，故无最大值，故最小值为，无最大值．25．【解答】解：对于的所有实数值，
二次函数为实数）的值都是非负的，△，，当时，，则关于的方程无意义，舍去；当时，由得，，即，由二次函数的性质知，；当时，由由得，，即，由二次函数的性质知，；综上，．26．【解答】解：由，得有．当时，有，得，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：，，，；当时，有，得，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：，．这样的整点一共有6个：，，，，，．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/15 12:33:27；用户：纵横捭阖；邮箱：orFmNt43ACkJzKV2EeImKyX7H6ig@weixin.jyeoo.com；学号：32344145 |
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