专项03 折叠存在性及最值大全(填空压轴)1．如图，在菱形中，，，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线
段的长为______．【答案】或【分析】存在两种情况①当点F在线段AB上时，由题意得出AE的长，在中可求出AG的长，由根据折叠的性
质，可知在中，可求出GF的长，即可得出AF的长．②当点F在线段AB延长线上时，由得出由中，求出由得出即可得出结果．【详解】解：如图
1所示：当点F在线段AB上时，过点E作于G，∵四边形是菱形，∵点E是AD的中点，如图2所示：当点F在线段AB延长线上时，过点E作交
AD于点H，∵四边形是菱形，∵点E是AD的中点，又故答案为：或【我思故我在】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的知
识，区分点F的位置在线段AB上和在线段AB的延长线上是解本题的关键．2．如图，菱形的边长，M是边上一点，，N是边上一动点，将梯形沿
直线折叠，C对应点．当的长度最小时，的长为__________．【答案】14【分析】作于H，如图，根据菱形的性质可求得，，在中，利
用勾股定理计算出，再根据两点间线段最短得到当点在上时，的值最小，然后证明即可．【详解】解：作于H，如图，∵菱形的边，∴，，∴，，
∵，∴，，在中，，∵梯形沿直线折叠，C对应点，∴，∵，∴，∴当点在上时，的值最小，由折叠的性质得，而，∴，∴，∴．故答案为：14．
【我思故我在】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小．3．如图，在四边形纸片AB
CD中，ADBC，AB＝10，∠B＝60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE＝45°，则BF的长为_
_____．【答案】【分析】由折叠的性质知，，再由∠BFE＝45°得到，过点A作于点H，在中求出的长度，再证明四边形是矩形，从而得
出，即可解决问题．【详解】解：如图，过点A作于点H，由折叠的性质知，，，，在中，，，，，四边形是矩形，，，故答案为：．【我思故我在
】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质，根据已知角度和折叠的性质得出是解题的关键．4．如图，在中，，，，点在边上，并
且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是________.【答案】1.2【分析】过点F作FG⊥AB，垂
足为G，过点P作PD⊥AB，垂足为D，根据垂线段最短，得当PD与FG重合时PD最小，利用相似求解即可．【详解】∵，，，∴AB=10
，∵，将沿直线翻折，点落在点处，∴CF=PF=2，AF=AC-CF=6-2=4，过点F作FG⊥AB，垂足为G，过点P作PD⊥AB，
垂足为D，根据垂线段最短，得当PD与FG重合时PD最小，∵∠A=∠A，∠AGF=∠ACB，∴△AGF∽△ACB，∴，∴，∴FG=3
.2，∴PD=FG-PF=3.2-2=1.2，故答案为：1.2．【我思故我在】本题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形相似，垂线段最
短，准确找到最短位置，并利用相似求解是解题的关键．5．如图，在矩形中，，，点是线段上的一点(不与点，重合)，将△沿折叠，使得点落在
处，当△为等腰三角形时，的长为___________．【答案】或【分析】根据题意分，，三种情况讨论，构造直角三角形，利用勾股定理解
决问题．【详解】解：∵四边形是矩形∴，∵将△沿折叠，使得点落在处，∴，，设，则①当时，如图过点作，则四边形为矩形，在中在中即解得②
当时，如图，设交于点，设垂直平分在中即在中，即联立，解得③当时，如图，又垂直平分垂直平分此时重合，不符合题意综上所述，或故答案为：
或【我思故我在】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，分类讨论是解题的关键．6．如图，在矩形中
，，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处．当点落在折线上，且时，的长为______．【答案】2或【分析
】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．【详解】解：，，，当点落在上时，将沿直线折叠，，，，；当点落在上时，如图2，连接，
过点作于，，，，，，将沿直线折叠，，，，，综上所述：的长为2或．【我思故我在】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利
用勾股定理列出方程是解题的关键．7．在数学探究活动中，小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，点M为BC边上一动点，连接A
M，过点M作交CD于点N．将沿MN翻折，点C恰好落在线段EF上，已知矩形ABCD中，，那么BM的长为_______．【答案】4或【
分析】设BM=x，则CM=BC-BM=6-x，根据三角函数可得tan∠CMN=tan∠BAM=，tan∠CMN=，FN=CF-CN
=，由折叠可知∶C"N=CN=，tan=tan∠CMN=，由tan=，可求，在Rt△中，由勾股定理， ，代入相关数据求解即可．【详
解】解：矩形ABCD中，AB=DC=4，BC=6，∠B=∠BCD=90°∴∠BAM+∠AMB=90°，∵MN⊥AM，∴∠AMN=9
0°，∴∠CMN+∠AMB=90°，∴∠CMN=∠BAM，∵小美将矩形ABCD纸片先对折，展开后折痕是EF，∴CF=DC=2，设B
M=x，则CM=BC-BM=6-x，在Rt△ABM中，tan∠BAM ∴tan∠CMN=tan∠BAM= 在Rt△CMN中，∴ta
n∠CMN= CN= ∴FN=CF-CN=2-由折叠可知∶C"N=CN=连接，如图∶由折叠知∶MN垂直平分 ，∴+∠CMN=90°
，而=90°，∴=∠CMN，∴tan=tan∠CMN= 在Rt△CFC''中，tan= ∴ 在Rt△ 中，由勾股定理，得 ，即 ∴整
理，得 ，解得 ∴BM的长为4或故答案为：4或．【我思故我在】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次
方程等知识，运用三角函数将边长表示出来，借助勾股定理建立方程是解题的关键．8．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD
中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的
长为_______．【分析】连接AF交PE于O，连接DF,先由矩形的性质可得BC=AD=6、CD=AB=4，再由折叠的性质和垂直平
分线的性质可得AF=2OA，AE=ED=EF=3；设AP=x，则PF=AP=x,BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，运用勾股定
理可求得x，然后再运用勾股定理求得PE的长，再运用等面积法求得AO的长，最后根据AF=2AO解答即可．【详解】解：连接AF交PE于
O，连接DF，∵矩形ABCD，∴BC=AD=6,CD=AB=4，∵线段DF被CE垂直平分时，∴CF=CD=4,ED=EF，∵将△A
PE沿PE折叠得到△FPE，∴PE是线段AF的垂直平分线，∴AE=EF,AF=2OA，∴AE=ED=EF，∵AD=AE+ED=6，
∴AE=ED=EF=3，设AP=x，则PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，∵PC2=BP2+BC2,即(x+4
)2=(4-x)2+62∴x=，∵PE=，∴，即，解得：AO=，∴AF=2AO=．故答案为．【我思故我在】本题主要考查了矩形的性质
、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，A
D＝1，E是AB上一个动点，F是AD上一个动点(点F不与点D重合)，连接EF，把△AEF沿EF折叠，使点A的对应点A′总落在DC边
上．若△A′EC是以A′E为腰的等腰三角形，则A′D的长为______．【答案】或【分析】分两种情形分别画出图形，利用勾股定理构建
方程求解即可．【详解】解：如图1中，当EA′＝CE时，过点E作EH⊥CD于H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠B＝90
°，设AE＝EA′＝EC＝x，则BE＝2﹣x，在Rt△EBC中，则有x2＝12+(2﹣x)2，解得x＝，∴EB＝2﹣x＝，∵∠B＝
∠BCH＝∠CHE＝90°，∴四边形CBEH是矩形，∴CH＝BE＝，∵EC＝EA′，EH⊥CA′，∴HA′＝CH＝，∴DA′＝CD
﹣CA′＝2﹣＝．如图2中，当A′E＝A′C时，设AE＝EA′＝CA′＝y．则CH＝EB＝2﹣y，A′H＝CA′﹣CH＝y﹣(2﹣
y)＝2y﹣2，在Rt△A′EH中，则有y2＝12+(2y﹣2)2，解得y＝或1(舍弃)，∴CA′＝，∴DA′＝2﹣＝，∴DA′为
或，故答案为或．【我思故我在】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的思想思考问题，属于中考常考题型．10．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点(不与D重合)，将沿AE折叠得到，连接，若为直角三角
形，则 ________【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段CD上时，三点共线，根据可求得，再由勾股定理可得，进而可计算，在中，
由勾股定理计算的值；②当点E在射线CD上时，设，则，，由勾股定理可解得，进而可计算，在中，由勾股定理计算的值即可．【详解】解：根据
题意，四边形ABCD为长方形，，，将沿AE折叠得到，则，，，①如图1，当点E在线段CD上时，∵，∴三点共线，∵，∴，∵，∴；∴在中
，；②如图2，当点E在射线CD上时，∵，，，∴，设，则，∴，∵，即，解得，∴，∴在中，．综上所述，AE的值为或．故答案为：或．【我
思故我在】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．11．如图，已知中，，点、分别在线段、
上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为___________．【答案】或【分析】由为直角三角形
，分两种情况进行讨论：分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长．【详解】解：分两种情况：如图，当时
，是直角三角形，在中，，，由折叠可得，，，，，，，，，；如图，当时，是直角三角形，由题可得，，，，又，，过作于，则，，由折叠可得，
，是等腰直角三角形，，．故答案为：或．【我思故我在】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的
性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．1
2．如图，在中，，，，点、分别是边、上的点，且，将沿对折，若点恰好落到了的外部，则折痕的长度范围是______．【答案】【分析】把
沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，根据折叠的性质得到，，证明，同理可得，于是可得的长，然后根据勾股定理计算的长，由正切的定义
可得和的长，计算的长，再计算当与重合时的长，从而得结论．【详解】解：把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，如图1，，，，，，而
，，，同理可得，，，在中，，，，，，在中，，即，，在中，，即，，；如图2，当与重合时，，即，，，折痕的长度范围是：．故答案为：．【
我思故我在】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也
考查了勾股定理和锐角三角函数．13．如图，在?ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上
的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____．【答案】【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥
BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=
90°，MB=FH，FM=BH，∵AB=6，5BE=AE，∴AE=5，BE=，由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，∵四边
形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=
6，∴FH=BM=6，在Rt△GEN中，根据勾股定理，得，∴，解得GN=±7(负值舍去)，∴GN=7，设MF=BH=x,则GH=G
N-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，在Rt△GFH中，根据勾股定理，得，∴，解得x=，∴AF=AM
+FM=6+=．∴AF长度为．故答案为：．【我思故我在】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决
本题的关键是掌握翻折的性质．14．如图，矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠，得到，则当最小时，折痕长为______．【答案】【
分析】根据三角形的三边关系得出：当最小时的图形，利用勾股定理列出方程，求出的长度，进行解答即可．【详解】连接AC，依题意可知：，如
图，当A、C、F三点共线时，取得最小值，在矩形中，，，,∴，由折叠可知：,设，∴,，在中，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【我思故我
在】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次根式的运算，掌握勾股定理进行求线段长度是解题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝
8，E是CD上一点，且DE＝2，F是AD上一动点，连接EF，若将△DEF沿EF翻折后，点D落在点处，则点到点B的最短距离为____
__．【答案】8【分析】连接、，当B、、E三点共线的时候点到B点的距离最短，根据DE求出CE，再利用勾股定理求出BE，即可求解．【
详解】如图，连接、，当B、、E三点共线的时候点到B点的距离最短，在正方形ABCD中，AB=8，E是CD上一点，且DE=2，∴CE=
CD-DE=8-2=6，BC=AB=8，∴，根据折叠的性质有，∵B、、E三点共线∴，即点到B点的距离最短为8，故答案为：8．【我思
故我在】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理以及两点之间线段最短的知识，找到B、、E三点共线的时候点到B点的距离最短是解答
本题的关键．16．如图，已知在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等
腰三角形时，的长是_______________．【答案】1或【分析】存在三种情况：当时，连接ED，利用勾股定理可以求得ED的长，
可判断三点共线，根据勾股定理即可求解；当时，可以证得四边形是正方形，即可求解；当时，连接EC，FC，证明三点共线，再用勾股定理，即
可求解．【详解】解：①当时，连接ED，如图，∵点E是的中点，，，四边形是矩形，∴，由勾股定理可得，，∵将沿所在直线翻折，得到，∴，
∵，∴，∴三点共线，∵，∴，设，则，，在中，，∴，解得，∴；②当时，如图，∵，∴点在线段CD的垂直平分线上，∴点在线段AB的垂直平
分线上，∵点E是的中点，∴是AB的垂直平分线，∴，∵将沿所在直线翻折，得到，∴，∴四边形是正方形，∴；综上所述，AF的长为1或．故
答案为：1或．【我思故我在】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质、勾股定理，分类讨论思想
的运用是解题的关键．17．如图，在中，，，，为边的中点，点是边上的动点，把沿翻折，点落在处，若是直角三角形，则的长为______．
【答案】或【分析】在图中构造正方形，在中即可解决问题，在图中也要证明四边形是正方形解决问题．【详解】解：如图，当时，作垂足为，作于
．，，，，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，在中，，，，，在中，，，，设，在中，，，，，，．如图当时，，、、共线，在中，，，，，
，易证全等，，，，≌，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，故答案为：或．【我思故我在】本题考查图形翻折、正方形、勾股定理、全等三角形等知识，构造正方形是解决这个题目的关键．18．如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = ____【答案】【分析】根据轴对称、矩形、直角三角形斜边中线的性质，得，根据轴对称的性质，得、；再根据矩形和勾股定理的性质计算，即可得到答案．【详解】∵如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ∴， ∵点F是线段AQ的中点∴ 设∴ ∵将∠C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，∴， ∴设，如图，过点F作，交CD于点G，过点F作，交AD于点K，延长KF，交BC于点H∴四边形、为矩形∴， ∵∴ ∵∴ ∴ 在直角中， ∴∴ 在直角中， ∴∴ ∴∴ 故答案为：．【我思故我在】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． |
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