专题07 正比例函数
一．选择题（共12小题）
1．（2021?巴南区自主招生）“二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、春分、立夏等，同时，它与白昼时长密切相关．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长不足10小时的节气是（ ）
A．惊蛰 B．立夏 C．大雪 D．寒露
2．（2021?黄州区校级自主招生）若函数，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．374 B．390 C．765 D．578
3．（2020?武昌区校级自主招生）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MNAM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．20 C．12 D．10
4．（2020?东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（ ）
A．12 B．8 C．10 D．13
5．（2020?郎溪县校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为（4，3），则正方形ABCD的边（ ）
A．6 B．3 C．4 D．4
6．（2020?汉阳区校级自主招生）小雨利用几何画板探究函数y＝图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ）
A．a＞0，b＞0，c＝0 B．a＜0，b＞0，c＝0
C．a＞0，b＝0，c＝0 D．a＜0，b＝0，c＞0
7．（2020?武昌区校级自主招生）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MNAM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
8．（2020?汉阳区校级自主招生）如图，在直角坐标系xoy中，已知A（0，1），B（，0），以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上．若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020?江汉区校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点A 出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y＝PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019?和平区校级自主招生）已知点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C （2，﹣4）在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2019?达州自主招生）函数y＝++（x+1）0中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x≥2且x≠﹣1
C．x≥2且x≠3 D．x≥2且x≠3，﹣1
12．（2019?金昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图所示，则AD边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题）
13．（2021?宝山区校级自主招生）f（x）＝ax2+bx+c，f（21）＝2021，a，b，cZ，且|c|＜100，则c的值为 ．
14．（2020?黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
15．（2020?谷城县校级自主招生）函数y＝中，自变量x的取值范围为 ． 16．（2019?达州自主招生）函数y＝+（2x﹣4030）0中x的取值范围是 ．
17．（2019?顺庆区校级自主招生）a是一个正实数，记f（x）＝，其中[x]是不超过实数x的最大整数，如[2.1]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，若f（5）＝5，则a的取值范围是 ．
18．（2018?涪城区校级自主招生）函数中，自变量x的取值范围是 ．
三．解答题（共2小题）
19．（2019?渝北区自主招生）如图1，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EFDE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量x的取值范围是 ；
（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y/cm2 4.0 3.8 4.0 3.8 2.0 … （3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，BE的长度为 cm． 20．（2015?鹿城区校级自主招生）在函数y＝中，求自变量x的取值范围． 专题07 正比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：由图可得，白昼时长不足10小时的节气是大雪、小寒、小雪、冬至，
故选：C．
2．【解答】解：令x2﹣100x+271＝0，
解得：x1＝50﹣＜3，x2＝50+＞97，
当x从3到97时，|x2﹣100x+271|＝﹣（x2﹣100x+271），则y＝0；
当x＝1时，＝172；
当x＝2时，＝75；
当x＝98时，＝75；
当x＝99时，＝172；
当x＝100时，＝271；
故所求和为172+75+75+172+271＝765．
故选：C．
3．【解答】解：由图2知：AB+BC＝10，设AB＝m，则BC＝10﹣m，
如图所示，当点M在BC上时，
则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝10﹣x，NC＝y，
MN⊥AM，则MAB＝NMC，
tanMAB＝tanNMC，即，
即，
化简得：y＝﹣x2+x﹣10， 当x＝﹣＝（10+m）时，
y＝﹣10+＝，
解得：m＝6，
则AM＝6，BC＝4，
故ABCD的面积＝24，
故选：A．
4．【解答】解：根据图2中的曲线可知：
当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，
图1中的AC＝BC＝13，
当点P运动到AB中点时，
此时CPAB，
根据图2点Q为曲线部分的最低点，
得CP＝12，
所以根据勾股定理，得
此时AP＝＝5．
所以AB＝2AP＝10．
故选：C．
5．【解答】解：如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时y取得最小值，
根据点的对称性，PB＝PD，则y＝PE+PB＝PD+PE＝DE为最小，
故ED＝3，
设正方形的边长为x，则AE＝x， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2，
即x2+（x）2＝（3）2，解得：x＝6（负值已舍去），
故选：A．
6．【解答】设虚线为 x＝m （显然，m＞0），易知两条
由图中可知，当x＜m 时，y＞0，|x﹣c|＞0，所以＞0，
当x＞m 时，y＜0，|x﹣c|＞0，所以＜0，可得（x﹣b）在m的左右两侧时，符号是不同的，即b＝m＞0；
当x＜b时，x﹣b＜0，而y＞0，所以a＜0显然另外一条分割线为x＝0＝c，
故选：B．
7．【解答】解：由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，
如图所示，当点M在BC上时，
则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝9﹣x，NC＝y，
MN⊥AM，
MAB+∠BMA＝90°，BMA+∠NMC＝90°，
MAB＝NMC，
tan∠MAB＝tanNMC，即，
即，化简得：y＝﹣x2+x﹣9，
当x＝﹣＝时，
则y＝﹣9+＝，
解得：m＝（舍去）或5，
则AM＝5，BC＝4，
故ABCD的面积＝20， 故选：A．
8．【解答】解：A（0，1），B（，0），
OA＝1，OB＝，
AB＝＝＝2，
tan∠BAO＝＝＝，
BAO＝60°，
菱形ABCD的高为2×＝，
菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，
菱形沿y轴方向滑落的速度为1，
沿x轴方向滑落的速度，
点A在x轴上方时，落在x轴下方部分是三角形，
面积S＝?t?t＝t2，
点A在x轴下方，点C在x轴上方时，落在x轴下方部分是梯形，
面积S＝[t+（t﹣1）?1]×＝t﹣，
点C在x轴下方时，
x轴下方部分为菱形的面积减去x轴上方部分的三角形的面积，
S＝2×﹣（3﹣t）?（6﹣2t）＝2﹣（3﹣t）2，
纵观各选项，只有A选项图形符合．
故选：A．
9．【解答】解：连接PC，作PDBC于D，
ACB＝90°，
BPD∽△BAC，
，
AP＝t，AB＝5cm，BC＝3cm，
BP＝5﹣t，AC＝4cm，
， 解得：PD＝4﹣，BD＝3﹣，
DC＝，
y＝PC2＝PD2+DC2＝（4﹣）2+（）2＝t2﹣+16（t＜5），
当5≤t≤8时，
PC2＝（8﹣t）2＝t2﹣16t+64．
故选：A．
10．【解答】解：A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），
A与B关于y轴对称，故A，C错误；
B（1，﹣1），C（2，﹣4），当x＞0时，y随x的增大而减小，
而A（﹣1，﹣1）在直线y＝x上，C（2，﹣4）不在直线y＝x上，所以图象不会是直线，故B错误；
故D正确．
故选：D．
11．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且x﹣3≠0，x+1≠0，
解得x≥2且x≠3，x≠﹣1，
所以x≥2且x≠3．
故选：C．
12．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
AB?BC＝3，即AB?BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB?BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC， 所以AB＝3，BC＝4．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．【解答】解：f（x）＝ax2+6x+c，f（21）＝2021，
212a+21b+c＝2021，
212a+21b+c﹣5＝2016，
21|2016，
21|（c﹣5），
|c|＜100，
﹣100＜c＜100，
﹣105＜c﹣5＜95，
c﹣5＝0，c﹣5＝21，c﹣5＝42，c﹣5＝63，c﹣5＝84，c﹣5＝﹣21，c﹣5＝﹣42，c﹣5＝﹣63，c﹣5＝﹣84，
得：c＝5，26，47，68，89，﹣16，﹣37，﹣58，﹣79，
故答案为：5，26，47，68，89，﹣16，﹣37，﹣58，﹣79．
14．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，
解得x＞2．
故答案为：x＞2．
15．【解答】解：根据题意得到：|x|﹣1＞0，
解得|x|＞1，
即x＞1或x＜﹣1，
故答案为x＞1或x＜﹣1．
16．【解答】解：根据题意得：x2﹣3x﹣4≥0，x﹣5＞0且2x﹣4030≠0，
解得：x≥4或x≤﹣1，x＞5且x≠2015，
x＞5且x≠2015．
故答案为：x＞5且x≠2015．
17．【解答】解：f（5）＝5，
5≤＜6， 5≤[]＜7，
5≤＜7，
25≤a＜35；
故答案为25≤a＜35．
18．【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，x﹣2≥0，x+1≠0，2﹣≠0，
解得，x＝2，
故答案为：x＝2．
三．解答题（共2小题）
19．【解答】解：（1）点E在AB上，
0≤x＜4，
故答案为：0≤x＜4；
（2）四边形ABCD是矩形，
BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，A＝B＝90°，
ADE+∠AED＝90°，
EF⊥DE，
AED+∠BEF＝90°，
ADE＝BEF，
A＝B＝90°，
ADE∽△BEF，
，
AE＝x，
BE＝AB﹣AE＝4﹣x，
，
BF＝，
当x＝0.5时，1.5时，3时，y＝3.7，3.9，3.3．
故答案为：3.7，3.9，3.3；
（3）描点，连线，画出如图所示的图象，
（4）由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，
即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，BE＝4或2
故答案为：4或2．
20．【解答】解：根据题意得：，
解得：﹣2≤x≤0或6≤x≤8．
故自变量x的取值范围是﹣2≤x≤0或6≤x≤8．
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日期：2021/11/9 17:14:05；用户：高中物理；邮箱：13370277224；学号：38959610
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