中考冲刺:几何综合问题(提高)
一、选择题 1. (2015春?江阴市校级期中)在平面直角坐标系中,直角梯形AOBC的位置如图所示,∠OAC=90°,AC∥OB,OA=4,AC=5,OB=6.M、N分别在线段AC、线段BC上运动,当△MON的面积达到最大时,存在一种使得△MON周长最小的情况,则此时点M的坐标为( ) A.(0,4) B.(3,4) C.(,4) D.(,3) 2. 如图,△ABC和△DEF是等腰直角三角形,∠C=∠F=90°,AB=2,DE=4.点B与点D重合,点A,B(D),E在同一条直线上,将△ABC沿DE方向平移,至点A与点E重合时停止.设点B,D之间的距离为x,△ABC与△DEF重叠部分的面积为y,则准确反映y与x之间对应关系的图象是( ) ? A B C D 二、填空题 3. (2016?绥化)如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E,∠DAB=∠CDB=90°,∠ABD=45°,∠DCA=30°,AB=,则AE=______(提示:可过点A作BD的垂线) 4. 如图,一块直角三角形木板△ABC,将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚,使它滚动到 △A″B″C″的位置,若BC=1cm,AC=cm,则顶点A运动到A″时,点A所经过的路径是_________cm. 三、解答题 5.(2017?莒县模拟)在边长为1的正方形ABCD中,点E是射线BC上一动点,AE与BD相交于点M,AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F,G是EF的中点,连结CG. (1)如图1,当点E在BC边上时.求证:①△ABM≌△CBM;②CG⊥CM. (2)如图2,当点E在BC的延长线上时,(1)中的结论②是否成立?请写出结论,不用证明. (3)试问当点E运动到什么位置时,△MCE是等腰三角形?请说明理由. 6. 如图,等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动,当Q运动到A点时,P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒,点P运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式. 7. 正方形ABCD中,点F为正方形ABCD内的点,△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合. (1)如图1,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=,求证:AE∥BF; (2)如图2,若点F为正方形ABCD对角线AC上的点,且AF:FC=3:1,BC=2,求BF的长. ? 8. 将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放,连DF. (1)如图2,将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°,连DF、CG相交于M,则=_____,∠DMC=_____; (2)如图3,将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M,试探究与∠DMC的值,并证明你的结论; (3)若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β(0°<β<90°),则=_______,∠DMC=_________.请画出图形,并直接写出你的结论(不用证明). 9. 已知△ABC≌△ADE,∠BAC=∠DAE=90°. (1)如图(1)当C、A、D在同一直线上时,连CE、BD,判断CE和BD位置关系,填空:CE_____BD. (2)如图(2)把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置,试问(1)中的结论是否仍然成立,写出你的结论,并说明理由. (3)如图(3)在图2的基础上,将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置,连接BE′、DC′,过点A作AN⊥BE′于点N,反向延长AN交DC′于点M.求的值. ? 10. 将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放,使D点在CF边上,M为AE中点, (1)连接MD、MF,则容易发现MD、MF间的关系是______________ (2)操作:把正方形CGEF绕C点旋转,使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M,探究线段MD、MF的关系,并加以说明; (3)将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3),其他条件不变,(2)中的结论是否仍成立?直接写出猜想,不需要证明.
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B. 【解析】如图,过点M作MP∥OA,交ON于点P,过点N作NQ∥OB,分别交OA、MP于两点Q、G,则S△MON=S△OMP+S△NMP=MP?QG+MP?NG=MP?QN, ∵MP≤OA,QN≤OB, ∴当点N与点B重合,QN取得最大值OB时,△MON的面积最大值=OA?OB, 设O关于AC的对称点D,连接DB,交AC于M, 此时△MON的面积最大,周长最短, ∵=,即=, ∴AM=3, ∴M(3,4). 故选B. 2.【答案】B. 二、填空题 3.【答案】2. 【解析】过A作AF⊥BD,交BD于点F, ∵AD=AB,∠DAB=90°, ∴AF为BD边上的中线, ∴AF=BD, ∵AB=AD=, ∴根据勾股定理得:BD==2, ∴AF=, 在Rt△AFE中,∠EAF=∠DCA=30°, ∴EF=AE, 设EF=x,则有AE=2x, 根据勾股定理得:x2+3=4x2, 解得:x=1, 则AE=2. 故答案为:2. 4.【答案】. 三、解答题 5.【答案与解析】 (1)证明:①∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABM=∠CBM, 在△ABM和△CBM中,, ∴△ABM≌△CBM(SAS). ②∵△ABM≌△CBM ∴∠BAM=∠BCM, 又∵∠ECF=90°,G是EF的中点,∴GC=EF=GF, ∴∠GCF=∠GFC, 又∵AB∥DF, ∴∠BAM=∠GFC, ∴∠BCM=∠GCF, ∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90°, ∴GC⊥CM; (2)解:成立;理由如下: ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABM=∠CBM, 在△ABM和△CBM中,, ∴△ABM≌△CBM(SAS) ∴∠BAM=∠BCM, 又∵∠ECF=90°,G是EF的中点, ∴GC=GF, ∴∠GCF=∠GFC, 又∵AB∥DF, ∴∠BAM=∠GFC, ∴∠BCM=∠GCF, ∴∠GCF+∠MCF=∠BCM+MCFE=90°, ∴GC⊥CM; (3)解:分两种情况:①当点E在BC边上时, ∵∠MEC>90°,要使△MCE是等腰三角形,必须EM=EC, ∴∠EMC=∠ECM, ∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE, ∴2∠BAE+∠BAE=90°, ∴∠BAE=30°, ∴BE=AB=; ②当点E在BC的延长线上时,同①知BE=. 综上①②,当BE=戓BE=时,△MCE是等腰三角形. 6.【答案与解析】 当P运动到C点时:t=6 当Q运动到A点:t= ∴分两种情况讨论 (1)当0≤t≤6时,如图: ? 作PH⊥AB于H,则△APH为等腰直角三角形 此时 AP=t,BQ=t,则AQ=-t PH=APsin45°=t ∴S△AQP=AQ·PH =·(-t)·t =t2+3t (2)当6<t≤时,如图: 过P过PH⊥AB于H,此时△PBH为等腰直角三角形 AC+CP=t,BQ=t ∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t ∴PH=BPsin45°=(12-t) ∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ =AC·BC-BQ·PH =·6·6-·t·(12-t) =18-t+t2 =t2-t+18. 综上,. 7.【答案与解析】 (1)证明:∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合 ∴BE=BF=1,∠EBF=∠ABC=90°,∠AEB=∠BFC 在△BFC中, ∵BF2+FC2=12+()2=4, BC2=22=4 ∴BF2+FC2=BC2 ∴∠BFC=90°…(3分) ∴∠AEB+∠EBF=180° ∴AE∥BF…(4分) (2)解:∵Rt△ABC中,AB=BC=2,由勾股定理,得 AC==2. ∵AF:FC=3:1, ∴AF=AC=,FC=AC= ∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合 ∴∠EAB=∠FCB,BE=BF,AE=CF=, ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=90° ∴∠BAC+∠ACB=90° ∴∠EAB+∠BAC=90° 即∠EAF=90° 在Rt△EAF中,EF==, 在Rt△EBF中,EF2=BE2+BF2 ∵BE=BF ∴BF=EF=. 8.【答案与解析】 (1)如图2,连接BF, ∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形, ∴∠FBC=∠CBD=45°, ∴∠CBD=∠GBC=90°, 而BF=BG,BD=BC, ∴△BFD∽△BGC, ∴∠BCG=∠BDF,= 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°, ∴=,∠DMC=45°; (2)如图3, ∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M, ∴B、E、D三点在同一条直线上, 而四边形ABCD、四边形BEFG是正方形, ∴∠CBD=∠GBC=45°,BF=BG,BD=BC, ∴△BFD∽△BGC, ∴=,∠BCG=∠BDF 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°, 即∠DMC=45°; (3)=,∠DMC=45°,图略. 9.【答案与解析】 (1)CE⊥BD. (2)延长CE交BD于M,设AB与EM交于点F. ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠CAE=∠BAD. 又∵△ABC≌△ADE, ∴AC=AE,AB=AD, ∴∠ACE=,∠ABD=, ∴∠ACE=∠ABD. 又∵∠AFC=∠BFM,∠AFC+∠ACE=90°, ∴∠ABD+∠BFM=90°, ∴∠BMC=90°, ∴CE⊥BD. (3)过C′作C′G⊥AM于G,过D作DH⊥AM交延长线于点H. ∵∠∠E′NA=∠AGC′=90°, ∴∠NE′A+∠NAE′=90°,∠NAE′+∠C′AG=90°,∴∠NE′A=∠C′AG, ∵AE′=AC′ ∴△ANE′≌△C′GA(AAS), ∴AN=C′G. 同理可证△BNA≌△AHD,AN=DH. ∴C′G=DH. 在△C′GM与△DHM中, ∠C′GM=∠DHM=90°,∠C′MG=∠DMH,C′G=DH, ∴△C′GM≌△DHM, ∴C′M=DM, ∴. 10.【答案与解析】 (1)如图1,延长DM交FE于N, 图1 ∵正方形ABCD、CGEF, ∴CF=EF,AD=DC,∠CFE=90°,AD∥FE, ∴∠1=∠2, 又∵MA=ME,∠3=∠4, ∴△AMD≌△EMN, ∴MD=MN,AD=EN. ∵AD=DC, ∴DC=NE. 又∵FC=FE, ∴FD=FN. 又∵∠DFN=90°, ∴FM⊥MD,MF=MD; (2)MD=MF,MD⊥MF. 如图2,延长DM交CE于N,连接FD、FN.∵正方形ABCD, ∴AD∥BE,AD=DC, ∴∠1=∠2. 又∵AM=EM,∠3=∠4, ∴△ADM≌△ENM, ∴AD=EN,MD=MN. ∵AD=DC, ∴DC=NE. 又∵正方形CGEF, ∴∠FCE=∠NEF=45°,FC=FE,∠CFE=90°. 又∵正方形ABCD, ∴∠BCD=90°, ∴∠DCF=∠NEF=45°, ∴△FDC≌△FNE, ∴FD=FN,∠5=∠6,∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°, ∴△DFN为等腰直角三角形,且FM为斜边DN上的中线, ∴MD=MF,MD⊥MF; (3)FM⊥MD,MF=MD. 如图3,过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连接DF、FN. ∴∠ADC=∠H,AD∥EH, ∴∠3=∠4. ∵AM=ME,∠1=∠2, ∴△AMD≌△EMN, ∴DM=NM,AD=EN. ∵正方形ABCD、CGEF, ∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°. ∴∠H=90°,∠5=∠NEF,DC=NE. ∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°, ∴∠DCF=∠5=∠NEF. ∵FC=FE, ∴△DCF≌△NEF. ∴FD=FN,∠DFC=∠NFE. ∵∠CFE=90°, ∴∠DFN=90°. ∴FM⊥MD,MF=MD.
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