东华高级中学2023届高三年级上学期模拟考试
数 学
本试卷共22题，满分150分,考试用时120分钟.
一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上.每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则
A． B． C． D．2
3．已知，命题P： ，，则
A．P是假命题，
B．P是假命题，
C．P是真命题，
D．P是真命题，
4．在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是
A． B． C． D．
5．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是，F为载波频率，单位是，L为传输损耗（亦称衰减）单位为．若传输距离变为原来的4倍，传输损耗增加了，则载波频率变为原来约
（参考数据：）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
6．已知定义域为的函数满足：对任意的，有，且当时，，则
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数，则函数的图象是
A． B．
C． D．
8．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是
A． B． C． D．
二、多项选择题（全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分，共20分）
9．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是
A． B． C． D．
10．若函数在区间上单调递增，则下列实数可以作为的值的是
A． B． C． D．
11．已知，，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．
12．对于函数，下列选项正确的是
A．函数的极小值点为，极大值点为
B．函数的单调递减区间为，单调递增区为
C．函数的最小值为，最大值为
D．函数存在两个零点1和
三、填空题 (每小题 5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上.)
13．函数的定义域为________.
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为________.
15．四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是________.（用数字作答）.
16．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则________.
四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.）
17．(10分)已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．(12分)已知函数，.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若函数，，是否存在，使得的最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．(12分)有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加，小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案：方案一：每次从待称量的砝码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左?右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疪的砝码在下降一侧.按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止.方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左?右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左?右托盘上，，直到找出有瑕疵的砝码为止.
(1)记方案一的称量次数为随机变量，求的概率分布；
(2)上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由.
20．(12分)已知三个函数①，②，③.
（1）请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象（不用写作图过程），并写出该函数的单调递减区间(不必说明理由)；
（2）把（1）中所选的函数记为函数，若关于x的方程有且仅有两个不同的根，求实数k的取值范围；
（3）（请从下面三个选项中选一个作答）
（I）若（1）中所选①的函数时，有，且，求的值；
（II）若（1）中所选②的函数时，有，且，求的取值范围；
（III）若（1）中所选③的函数时，有，且，求的值.
21. (12分)为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．
（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
22．(12分)已知函数，其中，且.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若只有一个零点，求的取值范围.
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D B B A C C AB CD ACD AD 13. 14. 15. 30 16. 0
17. (1)解： 函数是定义域上的奇函数，
，即，解得．………………….2分
此时，则，符合题意；…………..4分
(2)解：因为，且在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，…………..6分
则不等式恒成立，
即恒成立，…………..8分
即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，即.…………..10分
18． (1)证明：定义域为，
则为偶函数；…………..5分
(2)解：，…………..7分
当时，，
令，则，，…………..8分
当时，即，在上单调递增，
所以时，，解得，…………..9分
当时即，时，，
解得不成立；…………..10分
当时，即，在上单调递减，所以时，，
解得不成立．…………..11分
故存在满足条件的．…………..12分
19．（1）由题知：，…………..2分
，
，
分布列为：
1 2 3 4 ………….7分
（2）由（1）知：，…………..8分
设方案二的称量次数为随机变量为，则，…………..10分
，
，
所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小. …………..12分
20．（1）若选①，函数图象如下图所示：
…………..2分
由图象可知函数的单调减区间为：和；…………..4分
若选②，函数图象如下图所示：
由图象可知函数的单调减区间为：和；
若选③，函数图象如下图所示：
由图象可知函数的单调减区间为：；
（2）关于的方程有且仅有两个不同的根与的函数图象有两个不同的交点，
若选①，根据函数图像可知，若与的图象有两个交点，此时；…………..8分
若选②，根据函数图像可知，若与的图象有两个交点，此时或；
若选③，根据函数图像可知，若与的图象有两个交点，此时；
（3）若选①，如图所示：
设，因为的图象关于对称，………..10分
所以关于对称，关于对称，
所以；…………..12分
若选②，如图所示：
设，
由图象可知：，，
所以，所以，
所以，所以；
若选③，如图所示：
设，由图象可知：，且，
所以，所以.
21.解：（Ⅰ）设甲工程队的总造价为元，
则，…………..4分
．当且仅当，即时等号成立．
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．…………..6分
（Ⅱ）由题意可得，对任意的恒成立． …………..8分
即，从而恒成立，
令，…………..10分
又在为单调增函数，故．所以．…………..12分
22． (1)当时，，
，易知在上单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；…………..4分
(2)，令，
（i）当时，则，，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；…………..5分
故，
则，在单调递增，
又时，；时，；
所以此时在只有一个零点；…………..7分
（ii）当时，则，
恒成立，在单调递增，
且，，
又，则，
故存在，使得，
当时，，当时，，
因为当时，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；…………..9分
当时，取得极小值，
由得，则，
当时，等号成立，
由，可得，解得，
综合第一问可知，当时，只有一个零点；…………..11分
综上，若只有一个零点，则的取值范围是.…………..12分
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