汕头市金山中学2023届高三第一学期摸底考试数 学一、单选题（1～8题）1．已知集合，，则=( )A．B．C．D．2．设复数满足，则=
( )A．B．C．D．3．已知平面向量满足，，，则的最小值为( )A．1B．C．2D．34．等差数列的前项和为，若，，
则=( )A．27B．45C．18D．365．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是( )A．B．C．D
．6．已知，则=( )A．B．C．D．7．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为 若三棱锥的体
积的最大值为，则球的体积为( )A．B．C．D．8．设函数有4个不同零点，则正实数的范围为( )A．B．C．D．（9-1
2多选题）9．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )A．B．C．D．的解集为或10．函数在一个周期内的图象可以是(
)11．下列判断，正确的选项有( )A．若的图象关于点对称是奇函数B．曲线的图象关于直线对称；C．函数定义在上的可导函
数，其导函数为奇函数，则为偶函数．D．函数定义在上的可导函数，导函数，且是偶函数，则的图象关于点对称．12．如图，正方形中，，，将
沿翻折到位置，点平面内，记二面角大小为，在折叠过程中，满足下列什么关系( )A．四棱锥最大值为B．角可能为61°C．D．二、填
空题13．已知向量，，且，则= .14．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高
度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为____．15．已知
，若存在常数，使恒成立，则的取值范围是 .16．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，则的最小值为 .三、解答题（17题10分，其
余每题各12分）17．记为数列的前项和，已知1)证明：是等差数列；2)若成等比数列，求的最小值．18．设的三个内角所对的边分别为且
.1)求角的大小；2)若，求的取值范围．19．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随
机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)
，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值，并估计这
50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取
了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；20．如图，在四棱锥中，底面正方
形，平面底面，平面底面，，分别是的中点，为的中点．1)证明：平面；2)求与平面所成角的正弦值．21．已知为椭圆的左焦点，直线与交于
两点，且的周长和面积分别是和2．1)求椭圆的方程；2)如图，若关于原点的对称点为，不经过且斜率为的直线与交于点直线与交于点，证明点
在定直线上．22．已知函数，和,1)若与有相同的最小值，求的值；2)设有两个零点，求的取值范围．数学参考答案单选1～8题 C A
D B A C B A（9～12多选题）9．ABC 10．AC 11．ACD 12．AD-18，， 17．1)由已知
① ②由①-②，得即，且 是以2为公差的等差数列． ………………5分(2)由(1)可得， 成等比数列，即，解得 当且仅当，即时，的
最小值为-13 ……………………………10分18．解：1）在中，.……………………………1分，， ……………………………2分由正
弦定理 ……………………………3分 ， ，…………………………4分， ……………………………5分2），…………………………7分 …
…………………………10分 ， ………………………11分，当取得最大值所求的 ………………………12分19．1)由频率分布直方图的
性质可得，，设中位数为， 解得．………4分2)的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1从中分别抽取7人，3人，1人
，………………………6分所有可能取值为0，1，2，3，……………………7分，，，故的分布列为：0123……………………10分故 …
……………………12分20．1)如图，取中点，连接分别是的中点，，又分别是的中点，，平面平面，平面，同理，分别是的中点，平面，平面
平面，又，平面平面平面平面平面，平面，……………………………………6分 2）先证平面 ………………………………7分如图，以为坐标原
点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，可得，， …………………………8分设平面的法向量为，可得，即，令，得，………
………………………10分故，即与平面所成角的正弦值为．……………………12分21．(1)解：将代入中，解得，则，……………………1
分所以的面积为，所以. ① ……………………2分设的右焦点为，连接，由椭圆的对称性可知，所以的周长为，所以，② 由①②解得，………
……………4分所以的标准方程为.…………………………5分(2)解：设，直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程，并消去得，则，得且，且
，…………7分，，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，……9分联立直线与直线的方程，得，得，，所以所以，即点在定直线上.
……………………12分22．解：1），当时，单调递减，无最值，，得说单调… …………………………………2分说单调… …………………
………3分依题 ……………………………4分2），令，，……………………………6分 …………………………8分又 ，得 ………………………9分，在与各有一个零点．……………………………11分所以所求的 ……………………………12分学科网（北京）股份有限公司 1 |
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