韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择
题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的
答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共
8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，，则（ ）A.B.C.D.2
．若，，是的共轭复数，则（ ）A.B.2C.D103．下列区间中，函数的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.4．函数的部分图象
大致为（ ）A.B.C.D.5．已知，，，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）A.B.C.D.6．某污水处理厂采用技术手段清除
水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的，
至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：，）（ ）A．6小时B．7小时C．8小时D．9小时7．已知点为坐标原点，点是双曲线（，
）的右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.2D.38
．已知函数，若，其中，则的最小值为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中
，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收
视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直
方图，则A.B．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D．收看节目不少于9小时观众
中的女观众人数是男观众人数的10．已知正方体，设是棱的中点，则A．平面B.C．平面与平面所成角的正弦值为D．三棱锥与三棱锥体积相等
11．设是抛物线上一点，是的焦点，在的准线上的射影为，关于点的对称点为，曲线在处的切线与准线交于点，直线交直线于点，则A．到距离等
于4B.C．是等腰三角形D．的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2
0分．13.的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知，且，则________.15．我们知道距离是衡
量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点
中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫
距离为________.16．已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为________；若、分别为该三棱锥的内
切球和外接球上的动点，则线段的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．17．（本小题10分）在中，为的中点，且.（1）证明：；（2）若，求的面积．18．（本小题12分）已知数列的首项，且满足，
设.（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求满足条件的最小正整数.19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度
和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该
地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人
的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，
现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、
转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试
记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学
在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？20．（本小题12分）已知矩形中，，，是的中点，如图所示
，沿将翻折至，使得平面平面．（1）证明：；（2）若是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．（本小题12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，点（不在轴上）为直线上一点，直线交曲线于另一点.（1）证明：；（2）设直线交曲
线于另一点，若圆（是坐标原点）与直线相切，求该圆半径的最大值.22．（本小题12分）已知函数，，.（1）若直线与在处的切线垂直，求
的值；（2）若函数存在两个极值点，，且，求证：．2023届高三综合测试（一）数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种
或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题
，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该
部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分
数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题（每小题5分）题号12345678答案BCBDBCAA1.【解析】由
题意，，所以，所以，故选B.2.【解析】，所以，，故选C.3.【解析】函数，由题意，，解得，取，可得函数的一个单调递减区间为，故选
B.4.【解析】是奇函数且，所以选D.5.【解析】因为，所以，，所以向量在向量上的投影向量为，所以选B.6.【解析】设原来池中污染
物的质量为，依题意，经过小时污染物的质量，所以，，，故选C.7.【解析】∵以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，∴，∵直线的方程
为，，∴直线的方程为，由，解得，，∵，∴是的中点，故，，代入双曲线方程，得，整理，得，，.故选A.法2：∵以为直径的圆与双曲线的一
条渐近线交于点，∴，∴，从而，设双曲线左焦点为，连结，则由定义知，在中，，在中，由余弦定理得：，即，化简得，所以，8.【解析】因为
由上面结论可得所以，其中，则.当时，当且仅当，，时等号成立；当时，，当且仅当，时等号成立；因为，所以的最小值为.故选：A.二、多项
选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.题号9101112答案BCADBCDACD9.【解析】对于A，由，
解得，故A错误；对于B，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的，故B正确；对于C，男性观众收看节目的平均时长为小时，女性观众收看节
目的平均时长为小时，故C正确；对于D，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为人，女性观众收看达到9小时人数为人，故D错误.
故选：BC.10.【解析】对于A，设交于，可得，从而得到平面；所以A正确；对于B，可以求得，所成角为，所以B不正确.对于C，转化为
求平面与平面所成角，可求得其正弦值，C不正确；对于D，设正方体棱长为1，，D正确.所以选AD.11.【解析】对于A，焦点到准线距离
，A不正确.对于B，因为：的准线为：，焦点为，设，则，，所以，所以，（或由抛物线定义知，所以，）故选项B正确；对于C，因为处的切线
斜率，，而，所以，从而，又是线段中点，所以，是线段的中点，又，所以，，所以C正确.对于D，因为，所以直线的方程为，令，得，所以，当
且仅当时，最小值为4，故选项D正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A，因为，，所以，A正确；对于B，由切线不等式，得，B不正
确对于C，由得，，设，且，，得，当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，C正确.对于D，因为，，且，且，所以，即，D正
确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.题号13141516答案63；13.
【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，，其系数为.14.【解析】∵，∴，∵，，，∴.15.【解析】因为点是直线：上的动点，要使
最小，则，此时，所以，由方程组，解得，，所以，，两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明，，两两垂直且长度均为，所以可
将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为，则.设三棱锥外接球球心为，内切球球心为，内切球与平
面的切点为，易知：，，三点均在上，且平面，设内切球的半径为，由等体积法：，得，将几何体沿截面切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球
与内切球的大圆，注意到，，∴，∴，两点间距离的最大值为.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）.17.（本小题满分
10分）（1）证明：在中，由正弦定理得：即， 2分因为，所以，又由已知所以， 4分设，则，在中，由余弦定理得：即在中，由余弦定理
得：即 7分解得：，所以. 10分18.（本小题满分12分）解：（1） 2分数列为首项为，公比为等比数列 5分（2）由（
1）可得 8分即∴ 10分而随着的增大而增大要使，即，则∴的最小值为140. 12分19.（本小题满分12分）解：记“这10
所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30
人”为事件则，所以，. 4分（2）的所有可能取值为，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以，，，，所以的分布列
如下表：0123所以 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件，则，由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的
次数服从二项分布，由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分20.（本小题满分12分）（1）证
明：依题意矩形，，，是中点分别在等腰直角三角形和求得，又，所以， 2分因为，平面平面平面平面所以，平面，又平面，所以 5分（2）以
为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，设是的中点，有，又平面平面.平面平面平面， 8分假设存在
满足题意的，则由.可得，.设平面的一个法向量为，则，即，令，可得，，即 10分∴与平面所成的角的正弦值解得（舍去）.综上，存在，使
得与平面所成的角的正弦值为 12分21.（本小题满分12分）解（1）设∴，直线的方程为，令，得，∴， 2分又∵，且∴，∴， 4
分（2）当直线不垂直轴时，设直线方程为，，由方程组得， 6分由（1）可知， 又，代入上式得： 8分即：得到或（舍去），10分所以
直线方程为恒过，当垂直轴时，同样成立。设到直线为，则所以，半径的最大值为 12分另解：由（1）知，设直线的斜率为，则直线的斜率为.
直线的方程为：，设，由，由，得，从而，同理直线的方程为：，设，由，由，得，从而，当时，，则，此时直线过点，根据对称性，可猜想直线恒
过点， 8分当时，，，∵，.∴，从而三点共线，即直线恒过一定点.设到直线为，则所以，半径的最大值为. 12分22.（本小题满分12分）（1）解：∵∴在处的切线斜率 2分∴直线与切线垂直，∴，∴. 3分（2）证明：由函数有两个极值点，则，在上有两个不等的实根，即，在有两个不等式的实根，，∵，，∴，则，且，， 5分要证，即证则，同理可得： 7分则，， 9分令，，求导，，，由，则，则，则在，上单调递增，∴，∴，即∴成立. 12分（2）另证：由函数有两个极值点，则，在上有两个不等的实根，即，在有两个不等式的实根，,，∵，，∴，则，且， 5分要证，即证：又又所以又所以只需证明：， 9发令，，求导，，，由，则，则，则在，上单调递增，∴所以，即 12分zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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