2022年下学期期中考试试卷高三数学本试卷分为问卷和答卷。考试时量为120分钟，满分150分。请将答案写在答题卡上。一、单选题（本大题共8小
题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．若集合，则A．B．C．D．2．若“，使得”为假命题，
则实数a的取值范围是A．B．C．D．3．欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数
z满足，则的虚部为A．B．C．1D．4．如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于A．B．C．D．25．
已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是A．1B．2C．3D．不确定6．已知△A1B1C1与△A2B2C2满足：sinA1=co
sA2，sinB1=cosB2，sinC1=cosC2，则A．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形B．△A1B1
C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形C．两个三角形都是锐角三角形D．两个三角形都是钝角三角形7．设函数，若对于任意的，不等
式恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．8．若，，，则，，的大小关系是A．B．C．D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共
20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下面命题正确的是A．“
”是“”的充分不必要条件B．“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件C．△ABC中，sinA＞cosB是△ABC为锐角三角形的必要不
充分条件D．已知偶函数在上单调递增，则对实数，，“”是“”的充分不必要条件10．已知实数，，满足，则下列说法正确的是A．B．C．D
．的最小值为411．已知函数，则下列说法正确的是A．为函数的一个周期B．直线是函数图象的一条对称轴C．函数在上单调递增D．函数有且
仅有2个零点12．已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是A．B．.C．D．三、填空题（本大
题共4小题，每小题5分，满分20分）13．则f(－2013)______．14． 已知函数，若时，取得极值0，则_________
_.15．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得
到了广泛的应用就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则_________．16.已知数列满足（），设数列的前项和为，若，
，则___________.四、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答时应写出文字说明及演算步骤）17．（10分）已知等差数列满
足，．（1）求的通项公式；（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．18．（12分）如图，三棱柱的底面是边长为2的
正三角形，平面，，是的中点.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．19．（12分）如图，在平面四边形中，的面积是的面
积的倍．，，．（1）求的大小；（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．20．（12分）已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为．
（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于,求证：直线经过定点.21．（12分）在检测中为减
少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个
人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．（1）若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；（2）设采取“5合1检测法”
的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明
理由．22．（12分）已知函数有三个极值点，（1）求实数的取值范围；（2）求证：.2022年下学期期中考试试卷高三数学参考答案及评
分标准1．C【分析】计算一元二次不等式和指数不等式，求出，从而求出交集.【详解】，解得：，所以，而，解得：，所以所以.故选：C2．
D【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出，从而求出实数a的取值范围.【详解】因为“，使得”为假命题，则“，使得”为真命题
，因为，所以实数a的取值范围是故选：D3．B【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得，由复数虚部定义求得结果【详解】由欧拉公式知：，
，，的虚部为．故选：B4．B【分析】先求出周期，再根据求，最后根据点和即可求.【详解】由图可知：，得，所以，将代入方程得：，，又，
,，，所以，，，解得：或（舍）.故选：B5．C【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出
方程求解作答.【详解】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，即有，，设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，而点不在曲线上，则，整理得
，即，解得或，即符合条件的切点有3个，所以过点向曲线可作的切线条数是3.故选：C6．A7．B8．D【分析】根据给定条件，利用指数函
数、对数函数的单调性，再借助“媒介”数比较大小作答.【详解】依题意，，，即，又，，则，，即，所以，，的大小关系是.故选：D9．AC
D10．ABC【分析】根据实数，，满足，分别化简选项A、B、C中的不等式即可判断；选项D的判断要注意基本不等式取等条件的检验.【详
解】由题，所以有，故A正确；，故B正确；，故C正确；，当且仅当即时取等，又因为，所以，即无最小值，故D错误.故选：ABC.11．A
B12．ACD【分析】将去代入已知等式可构造方程组得到，由此可得关于对称；结合为偶函数可推导得到是周期为的周期函数，则可得C正确；
令，代入中即可求得A正确；令，由可推导得到D正确；设，由可知，结合可知，由此可得，知B错误.【详解】由得：，，关于中心对称，则，为
奇函数，，左右求导得：，，为偶函数，图象关于轴对称，，是周期为的周期函数，，C正确；，，又，，A正确；令，则，，又，，，即，D正确
；，，设，则，，又为奇函数，，，即，B错误.故选：ACD.【点睛】结论点睛：本题考查利用抽象函数关系式求解函数周期性、对称性、奇偶
性的问题；对于与导数有关的函数性质，有如下结论：①若连续且可导，那么若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数；②若连续且可导
，那么若关于对称，则关于点对称；若关于对称，则关于对称.13．－114. 18【详解】由，得，因为时，取得极值0，所以，，解得或
，当时，，此时函数在在处取不到极值，经检验时，函数在处取得极值，所以，所以.故答案为：18故答案为：.15．216．-2【详解】解
：因为，，所以，则，所以，，则，可知，，，所以，又，，所以，则，又，所以，，所以，因为，所以，故答案为：．17．（1） （2）10
（1）由题意得，解得，∴．（2）∵，，又，∴，公比，∴，令，得，令，所以n的最大值为10．18．（1）证明见解析 （2）【分析】（
1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）作出辅助线，找到异面直线与所成角，利用余弦定理求出余弦值.（1）证明：连接，
交的于，连接，则为的中点，因为分别是，的中点，，平面，平面，平面；（2）由（1）得：，（或其补角）就是异面直线与所成的角，∵三棱柱
的底面是边长为2的正三角形，，∴，，，∴由余弦定理得：，故异面直线与所成角的余弦值为.19．（1）； （2）.【分析】（1）设，利
用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解.（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性
质求解作答.（1）设，则，因，，，则，而，，则有，即，又，，因此，，所以.（2）由（1）知，，连AC，有，则，而，中，由正弦定理有
，，，，又，令，则，，因此，因，则，有，即，，所以的取值范围为．20．（1）；（2）见解析【分析】(1)利用待定系数法求曲线的轨迹
方程.(2)证明直线经过点，即证明，转化成证明再转化成证明 ，利用韦达定理即可证明.【详解】（1）由已知，轨迹为双曲线的右支，，，
，曲线标准方程（2）由对称性可知，直线必过轴的定点当直线的斜率不存在时， ，，，知直线经过点当直线的斜率存在时，不妨设直线，，直线
，当时，，得，，下面证明直线经过点，即证，即,即,由，整理得， ，即即证经过点，直线过定点【点睛】(1)本题主要考查动点轨迹方程
的求法，考查直线和双曲线的位置关系问题，考查直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键
有二，其一是转化为证明，其二是转化成证明 ，利用韦达定理即可证明.21．（1） （2）当时，采取10合1检测法更适宜；理由见解析【
分析】（1）平均分为5组，共检测15可知2个感染者分在同一组，计算所求概率；（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种
方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.（1）现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定
分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即
两种算法结果为和，结果均为；所以k＝5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为.（2）当感染者在同一组时，，，此时，，当
感染者不在同一组时，，，此时，，所以，，由综上：时，采取10合1检测法更适宜．22．（1）且；（2）证明见解析.【分析】（1）函数
有3个零点等价于有3个变号零点，由于，且，所以可得有两个不为0，－1的实根，再对求导讨论其单调性可得结果；（2）由（1）可知有一个
零点为0，所以不妨设，，而，所以，因此要证，即证而，，而在上递减，，所以只需证，即，然后构造函数，只需证此函数值恒大于零即可.【详
解】解：（1）利用的极值点个数即为的变号零点个数，，设，由已知，方程有两个不为0，－1的实根，当时，在上递增，至多一个实根，故所以在上递减，在上递增，因为， 所以时，有两个实根，解得且（2）由（1）不妨设，，∵，∴.要证，即证而，由在上递减，在上递增，且故只要证，又，故只要证即证设∴∴递增，∴即∴【点睛】此题考查函数的极值点问题，极值点偏移问题，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立等，考查了数学转化思想，属于较难题.学科网（北京）股份有限公司 zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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