岳阳市2022年高二教学质量监测数学本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班
级、考号、姓名填写在答题卡上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考
试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）1.已知集合则A. B. C. D.2.已知为虚数单位，则复数的模等于A. B. C. D.3.平面与平面平行的一
个充分条件是A.平面内有一条直线与平面平行B.平面内有两条直线分别与平面平行C.平面内有无数条直线分别与平面平行D.平面内有两条相
交直线分别与平面平行4.过点且与直线垂直的直线的方程是A. B.C. D.5.在平行四边形中，，，为的中点，设，则A. B.
C. D.6.函数的大致图像可能是 AB C D7.已知直线与抛物线相交于两点，若，则的最小值为A. B. C. D
.8.十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过
程如下：将闭区间［0,1］平均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别平均分为三段，并各自去掉中间的区间
段，记为第二次操作：…；如此这样。每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不
断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：1
g2＝0.3010,1g3＝0.4771）A.4 B.5 C.6 D.7二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在
每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某大型电器超市在开业当天举行大酬宾
活动，活动方案规定：开业当天在超市购买了1000元及以上商品的前200名顾客可以参与抽奖，参与抽奖的顾客可以获得超市返还奖券相应的
现金.共设置了一等奖、二等奖、三等奖和幸运奖四类奖项.一等奖返现1000元，二等奖返现500元，三等奖返现300元，幸运奖返现10
0元.各类奖项的设置比例如右图所示，若所有奖券都被抽完.则下列结论正确的是A.三等奖共返现6000元 B.幸运奖返现金额最多C.
参与抽奖的顾客平均每人获得返现225元 D.获得一、二、三等奖的顾客人数成等差数列10.如右图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆
周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是A.圆锥的体积为B.圆锥的表面积为C.的面积的最大值是D.有一只蚂
蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为11.已知实数x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，则A.的最小值为18
B.的最小值为64C.的最小值为128 D.的最小值为12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是A.当时，
B.函数有两个零点C.若方程有三个解，则实数的取值范围是D.三、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）13.圆与圆外切，则实
数 .14.将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图像，若函数为偶函数，则的最小值为 .15
.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件，求双曲线的标准方程. ①一个焦点坐标为;
②经过点;③离心率为.你选择的两个条件是 （填序号），得到的双曲线的标准方程是 .16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一
，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名了“高斯函数”.即：设.用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数，例如：［－3
.7］＝－4，［2.3］＝2.已知，则函数的值域为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
。）17.（本题满分为10分）已知等差数列满足，等比数列满足;（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.18.（本题满分为1
2分）已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.19.（本题满分为12分）如图，在直三棱柱中，侧面侧面分别
为的中点，;（1）求证：直线面;（2）求异面直线，与所成角的余弦值.20.（本题满分为12分）某校高二年级将某次学业水平合格性考试
模拟考试的数学成绩（百分制，均为整数）分成［40,50），［50,60），［60,70），［70,80），［80,90），［90,
100］六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求成绩位于［50,60）内的频率，并补全这个
频率分布直方图；（2）数学老师从这次模拟考试的数学成绩不及格（60分以下）的学生中，用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学
生中随机抽取2人进行交谈，了解他们数学学习的困难，为他们后阶段数学学习提供指导，求这2名学生这次模拟考试的数学成绩分别位于［40,
50），［50,60）两个不同区间的概率.21.（本题满分为12分）已知函数；（1）若直线与函数的图像相切，求实数的值：（2）若函
数有两个零点，求实数的取值范围.22.（本题满分为12分）如图，直线与椭圆相交于两点，且的中点为；（1）求椭圆的离心率；（2）若直
线与椭圆相交于两点，求证：四点在同一个圆上.岳阳市2023届高二期末质量监测试卷数学参考答案一、单选题1.C 2.D 3
.D 4.B 5.A 6.A 7.C 8.A二、多选题9.BC 10.AB 11.ABD 12
.AC三、填空题13.9 14.815. ①②，或①③，或②③， 16. 四、解答题17.解：（1）设等差数列的公差为，则，所
以设等比数列的公比为，则，所以；（2）因为，所以的前项和为18.解：（1）因为，所以；由正弦定理知：所以，又所以；（2）法一：因为
，所以，所以所以法二：因为，所以所以因为，所以，所以19.（1）证明：取AB的中点P，连结PM、PN因为M、N分别为BC、AC1的
中点，所以MP∥AC且MP＝AC，又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1N∥AC且C1N＝AC，所以MP∥C1N且 MP＝N，
所以四边形MPNC1为平行四边形，所以NC1∥PN因为M C1 平面ABN，PN 平面ABN，所以直线M C1∥平面ABN；（2）
解在直三棱柱ABC－A1B1C1中AA1⊥平面ABC，所以AB⊥AA1，又侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B，平面A A1C1C∩
平面AA1B1B＝AA1，所以AB⊥平面ACC1A1，分别以AC、AA1、AB所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意可知C1（4,3,0），B（0,0,4），N（2,3,0），M（2,0,2），所以；所以.所以异面直线MC1与BN所成角的
余弦值为.20.解：（1）由频率分布直方图知，数学成绩位于［50,60）内的频率为补全频率分布直方图如图所示：（2）因为数学成绩位
于［40,50）内的频率为10×0.005＝0.05，所以用随机分层抽样的方法随机抽取6名中，有2人的数学成绩位于［40,50），
记作a，b；有4人的数学成绩位于［50,60），记作1，2，3，4；从中任取2人的所有可能的取法有：（a,b），（a,1），（a,
2），（a,3），（a,4），（b,1），（b,2），（b,3），（b,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2
,4），（3,4），共15种，其中这2名学生这次模拟考试的数学成绩位于［40,50），［50,60）两个不同区间的取法有（a,1）
，（a,2），（a,3），（a,4），（b,1），（b，2），（b,3），（b,4），共8种，所以这2名学生这次模拟考试的数学成绩
位于［40,50），［50,60）两个不同区间的概率为21.解：的定义域为且（1）设的图像与直线相切于，则所以所以;（2）当时，在
上恒成立，所以在上单调递增，与已知矛盾，因此；由及得，由及得所以在上单调递增，在上单调递减；所以即，所以当时，又，，所以在有一个零点；令，则，由于在上恒成立，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，，所以在上有一个零点；综上知当时函数有两个零点.22.解析：（1）设则，两式相减得：因为 所以，所以（2）设由得 所以的中点为所以由得所以所以由已知可得为的中垂线且 所以所以四点在以为直径的圆上. |
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