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| 湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题 |
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长郡中学2021-2022学年度高二第二学期期末考试
数学
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.点A的坐标为（1，3），将点A绕原点逆时针旋转后到达C点位置，则C的横坐标为（ ）
A. B.-2 C. D.
5.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
★6.如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A.在区间（-2，1）上，是增函数 B.当时，取到极小值
C.在区间（1，3）上，是减函数 D.在区间（4，5）上，是增函数
7.已知函数.若存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.若函数在上单调，且在上存在极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知复数，则下列各项正确的为（ ）
A.复数z的虚部为i B.复数为纯虚数
C.复数z的共轭复数对应的点在第四象限 D.复数z的模为
10.如图，在中，，，，，.设在上的投影向量为，则下列命题正确的是（ ）
A.的值为 B.的值为 C. D.
11.已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称 B.当时，
C.当时，单调递增 D.
12.关于函数，下列说法正确的是（ ）
A.是的极大值 B.函数有且只有1个零点
C.在（0，1）上单调递减 D.设，则
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的展开式中的系数为______.
14.已知随机变量X服从正态分布，且，则______.
15.若函数在区间上是增函数，则a的取值范围是______.
16.费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120°.已知的三个内角均小于120°，P为的费马点，且，则面积的最大值为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）设函数.
（1）画出的图象；
（2）当时，，求的最小值.
★18.（12分）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
19.（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角C；
（2）CD是的角平分线，若，的面积为，求c的值.
20.（12分）设平面向量，，函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若锐角满足，求的值.
21.（12分）某靶场有A、B两种型号的步枪可供选用，其中甲使用A、B两种型号的步枪的命中率分别为，.
（1）若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少3次，则可以获得一份精美礼品，若甲使用B型号的步枪，并装填5发子弹，求甲获得精美礼品的概率；
（2）现在A、B两把步枪中各装填3发子弹，甲打算轮流使用A、B两种步枪进行射击，若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A种型号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记X为射击的次数，求X的分布列与数学期望.
22.（12分）已知函数，且当时，的最大值为-1.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）当时，证明：的极大值小于.
长郡中学2021-2022学车度高一第二学期期末考试
数学参考答案
一、二选择题
1.B 2.D 3.A 4.D
5.C 6.D 7.C 8.A
9.BCD 10.BD 11.ACD 12.BCD
3.A【解析】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，由，，故C错误，故选A.
4.D【解析】设角的终边过，则，，，
将绕原点按逆时针方向旋转，得，则，设C的坐标为，
则，
则点C的横坐标为.故选D.
5.C【解析】按除去小明和小李后，剩余3人与小明同组的人数确定分组方法，即种方法，这两组安装吉祥物的方法为，故按要求这五人共有种方法.故选C.
6.D【解析】在（4，5）上恒成立，∴是增函数.
7.C【解析】函数存在2个零点，即关于x的方程有2个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象如图所示，由图可知，，解得.
8.A【解析】依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.因为在上单调，所以，则，由此可得.
因为当，即时，函数取得极值，欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，故第一个极值点，得.又第二个极值点，要使在上单调，必须，得.综上可得，的取值范围是.故选A.
9.BCD【解析】，复数z的虚部为1，故A错误；复数为纯虚数，故B正确；复数z的共轭复数对应点（2，-1）在第四象限，故C正确；，故D正确.故选BCD.
10.BD【解析】在上的投影向量为，∴.
，
，
∴.
11.ACD【解析】因，则有函数图象关于直线对称，A正确；
由得，又R上的函数满足，因此有，于是得函数是周期为2的周期函数，当时，，
则，B不正确；
当时，，因此在[2，3]上单调递增，C正确；
函数是周期为2的周期函数，则，D正确；故选ACD.
12.BCD【解析】，，，
时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，可得：函数在时取极小值即最小值，，∴A不正确，而C正确.
令，则，因此函数在上单调递减，而，因此函数只有一个零点1，因此B正确.，在上单调递增，而，∴是函数的极小值点，∴，因此D正确.故选BCD.
三、填空题
13.12
14.0.14【解析】∵随机变量X服从正态分布，∴，
∴，故答案为：0.14.
15.【解析】由题意可得：，
∵在定义域上是单调增函数，且函数在区间上是增函数，
∴在上是增函数，∴，∴，
当时，函数的定义域为，∴，∴，
当时，定义域为，∴.
16.【解析】∵，
∴.∴，当且仅当时，等号成立.
四、解答
17.【解析】（1）当时，，
当时，，
当时，，
则
画出的图象.
（2）当时，，
当时，，∴，当时，要使恒成立，
则函数的图象都在直线的下方或在直线上，∵的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当且时，不等式在上成立，
即的最小值为5.
18.【解析】（1）设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”，
则，.
（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为
.
19.【解析】（1）由正弦定理及，知，
化简得，.
由余弦定理知，，
因为，所以.
（2）因为的面积，所以，
由角平分线定理知，因为A，D，B三点共线，所以，
所以，
即，化简得，，
解得，
所以，
由（1）知，，所以.
（第2小问，用面积和得做更简便）
20.【解析】（1）.
当时，，
∴，即函数的值域为.
（2），则，
∴.
21.【解析】（1）甲击中5次的概率为，甲击中4次的概率为，
甲击中3次的概率为，
所以甲获得精美礼品的概率为
（2）X的所有可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
所以.
22.【解析】（1）的定义域为.
当时，.
①若，因为，所以不满足题意.
②若，.当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故x=b是在上的唯一最大值点.
由于，所以.所以，，
故所求切线方程为，即切线方程为.
（2），
令，得，，
当时，，因为当时，，
当\frac{1}{a}1时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数.
所以的极大值为.
设，其中，
则，
所以在上是增函数，
所以，即的极大值小于.
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