长沙市一中2023届高三月考试卷（七）数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 2. 若实数x，y满足，
则（ ）A. B. 1C. 3D. 3. 1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and m
etabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢
率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（ ）A. 5.4倍B. 5.
5倍C. 5.6倍D. 5.7倍4. 已知函数，设，，则成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，圆，点
为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为；若两条切线与轴分别交于两点，则的最小值为（ ）A. B. C. 1D. 6. 某旅
游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停
车方法总数为（ ）A. 288B. 336C. 576D. 16807. 在平面直角坐标系xOy中，已知过抛物线焦点F的直线与抛物
线相交于A，B两点，以AF，为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，若，则线段的长为（ ）A. B. C. D. 8. 若正实
数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给
出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值
不超过的概率，即.若，则下列说法正确的有（ ）A. B. C. 在上是增函数D. 10. 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼
鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像
近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）A.
B. C. 是偶函数D. 在区间上单调11. 在棱长为的正方体中，与平面相交于点，为内一点，且，设直线PD与所成的角为，则下列结
论正确的是（ ）A. B. 点P的轨迹是圆C. 点轨迹是椭圆D. 的取值范围是12. 已知数列满足，且，是数列的前n项和，则下列结
论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设平面向量，的夹角为，且，则在上的
投影向量是______.14. 若直线l：为曲线与曲线的公切线（其中为自然对数的底数， ），则实数b=___________.15
. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为______.16. 已知双曲线的左、右焦
点分别为，、两条渐近线的夹角正切值为，则双曲线的标准方程为______；若直线与双曲线的右支交于两点，设的内心为，则与的面积的比值
的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，内角A，B，C
所对的边分别为a，b，c，已知，.（1）求边b的大小；（2）求面积的最大值.18. 已知正项数列前n项和为，满足，.（1）求数列的
通项公式；（2）数列为等比数列，数列满足，若，，求证：.19. 在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图圆台，已知点
分别在线段，上，二面角的大小为.（1）若，，，证明：平面；（2）若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时
二面角的余弦值.20. 某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单
位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为
：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级
代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，
再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表
队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预
赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场
比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为，18班代表队胜的概率为，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为，每局必分胜负
.记比赛结束时比赛局数为随机变量X，求随机变量X的数学期望.21. 已知双曲线C：.（1）若点P在曲线C上，点A，B分别在双曲线C
两渐近线、上，且点A在第一象限，点B在第四象限，若，，求面积的最大值；（2）设双曲线C的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线l交双曲线的左支于G、Q两点，求周长的取值范围.22. 已知函数.（1）若，求函数的零点个数，并说明理由；（2）当时，若方程有两个实根，且，求证：. |
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