雅礼中学2023届高三月考试卷(二)
本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,时量120分钟，满分150分.
I卷
:本题共8小题 ,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选.
1. 已知集合, 则
A. (0,2) B. [0,2] C. [-1,4) D. [-1,2]
2. 在平面直角坐标系中, 以点(01)为圆心且与直线相切的圆的方程为
A. B.
C. D.
．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为
A．60 B．63 C．66 D．69
．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是
A． B． C． D．
5. 已知圆锥的母线长为 2 , 轴截面顶角的正弦值是, 过圆锥的母线作截面,则截面面积的最大值是
A. 1 B. C. 1 或 2 D. 2
6. 设函数, 若为函数的一个极值点, 则下列图象不可能为的图象的是
7. 已知分别是双曲线的左、右焦点, 过的直线与双曲线的左支相交于、两点, 且. 若, 则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
8. 在棱长为 6 的正方体中,是的中点, 点是面内的动点, 且满足 , 则三棱锥体积的最大值是
A. B. 24 C. D. 36
:本题共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，5分,有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.关于统计数据的分析,有以下几个结论，其中正确的是
A.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水
B.将组数据中的每个数据都减去同一个数后， 期望与方差均没有
C.调查剧院中观众观后感时,从50排(每排人数相同)中任意抽取一排
D.样本数据9,3,5,7,12,13,1,8,10,18的第80百分位数是12.5
0．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据公式，则
A． B．
C． D．
11. 已知函数, 则下列结论正确的是
A. 是偶函数
B. 在区间单调递?
C. 的周期是
D. 的最大值为 2
12. 下列不等关系正确的是
A. B. C. D.
第卷
三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知且, 则的是____.
14. 已知函数(为常数)为奇函数, 且为增函数, 则实数的取值范围是____.
15. 已知抛物线, 直线与相交于两点, 若使, 则 ____.
16. 已知三角形数表:
，记此数列的前.若，则的最小值是_____.
四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时.
17. (本小题满分10分)
已知,抛物线与轴正半轴相交于点.设为该拋物线在点处的切线在轴上的截距.
(1)求数列的通公式;
(2) 设, 求证: 且）.
18.（本小题满分 12 分)
在中, 角的对边分别为, 若.
(1) 求证: ;
(2) 对, 请你给出一个的值, 使不等式成立或不成立,并证明你的结论.
19. (本小题满分 12 分)
如图 1, 在中,是边的中点. 现把沿折成如图 2所的三棱锥, 使得
(1)求证: 平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
20. (本小题满分 12 分)
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其．
现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，
则是对两次排序的偏离程度的一种描述．
(1)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，写出的可能值集合求的分布列；
(2)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，
试按(1)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
21. (本小题满分 12 分)
已知是圆上的任意一点, 线段的垂直平分线交于点.
(1) 求动点的轨迹的方程;
(2) 设交轨迹于另两点. 记和的面积分别为. 求的取值范围.
22. (本小题满分 12 分)
已知函数 (为正有理数).
(1) 求函数的单调区间;
(2) 证明: 当时,.
雅礼中学2023届高三月考试卷(二)
一、二选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D C D B A AD ABC AB ABD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
3.
14.
15. 2
16. 95
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】(1) 抛物线在点处的切线为, 所以它在轴上的截距 .
(2).
18.【解析】(1) 由且得.
(2) 当时, 不等式成立, 即有. 证明如下:
由余弦定理有
由 (1) 知,
所以, 即.
或当时, 不等式成立, 即有. 证明如下:
由正弦定理有
(其中是外接圆的半径)
由 (1) 知.
而, 所以, 又,
所以, 即.
或,
而由余弦定理
由 (1) 知 ,
所以, 即.
或当时, 不等式不成立, 即不成立. 证明如下:
取, 则有,
所以, 即.
不成立
19.【解析】P的中点O，连接AO交CB于E，则.在图2中，取
CP的中点O,连接AO,OB, 因为, 所以且 . 在中, 由余弦定理有,
所以, 所以, 又,
所以面, 又面, 所以平面平面.
面，故可建立如图2空间直角坐标系，
则
.
设平面的法向量为, 则由得
又平面的法向量为.
所以.
因此, 二面角的余弦值为.
20.【解析】(1) 的可能取值集合为,
在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个, 所以中奇数个数等于中偶数个数, 因此与的奇偶性相同, 从而必为偶数.的值非负, 且易知其值不大于 8 .
容易举出使得的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.
可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的的值，在等可能的假定下，
得到
0 2 4 6 8 （2）①首先
将三轮测试都有X≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得
②由于是一个很小的概率,
这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，
我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测.
21.【解析】(1) 由题意可知,
所以动点的轨迹是以A、F为且长轴长为 4 的椭圆, 因此方程为
设, 则在中, 由余弦定理得,
则有. 同理.
所以.
设, 则. 同理可得
所以. 易知,
所以的取值范围是.
22.【解析】(1) 函数的为.
.
当时, ; 当时, . 的单调区间为且在(0,1)上单调递增, 在上单调递减.
(2) 因为在单调递减, .
记，因此要证，只要证即可
而且,因此要证明: 当时,.
而.
, 令, 则. 令,
,
所以在(0,1]上单调递增, 又, 又在(0,1]上连续, 故存在, 使得时,时, $G(m)>0$. 所以在上单调递减, 在单调递增. 又, 所以.
即, 所以在单调递减, 所以, 即.
综上所述, 当时,.
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