2020北京十三中初三（上）期中数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 抛物线y
=(x-2)2+3的顶点坐标是（ ）A. （-2,3）B. （2,3）C. （2,-3）D. （-3,2）2. 如图，点D，E分别
在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（ ）A 3：2B. 2：5C. 2：3D
. 3：53. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD 和 A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，若 AD＝2，A′D′＝3
，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ）A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：24. 如图，在由边长为1的小正方形
组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（ ）A. 1B. C. D. 5. 已知点A（1，a）与
点B（3，b）都在反比例函数y图象上，则a与b之间的关系是（ ）A. a＞bB. a＜bC. a≥bD. a＝b6. 如图所示，
△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错
误的是( )A B. C. D. 7. 已知函数，其中，，此函数的图象可以是（ ）A B. C. D. 8. 如图，抛物线y=ax
2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（
）A. ﹣4B. ﹣2C. 1D. 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 将抛物线向上平移2个单位，再向右平移3个单位，
所得抛物线的解析式为______．10. 如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为___
__．11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是
___．12. 已知抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是____________．13. 已知在△ABC中，∠C=，cosA=
，AB=6，那么AC= ____14. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x
＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 _______．15. 为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴
趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点
E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE=2.0米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）
的高度约为_____米．16. 在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，若以点O
、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ____．三．解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25
题每题6分，第26-28题每题7分）17. 计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．18. 如图，在中，点
在边上，．点在边上，．（1）求证：；（2）若，求的长．19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x﹣3与双曲线交于M（a
，2），N（1，b）两点．（1）求k，a，b的值；（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标 ．20. 已
知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．21. 一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的
对应值如下表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y… 0 4 4m0…（1）求这个二次函数的表达式；（2）m的值是 ．22. 如图
，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．23. 如图，用一段长为40m的篱笆围成一
个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为xm，矩形的面积为ym2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当AB长为多少米
时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？24 已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h
）2+k的形式；（2）求抛物线与x轴交点坐标；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（4）结合图象直接写出y＞0
时，自变量x的取值范围是 ；（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ．25. 如图，在中，，点是边的中点，，．（1）求和的长；（
2）求的值．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．（1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿
x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且
只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．27. 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D是B
C边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE．①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（
用含α的式子表示）；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过
点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．①依题意补全图2；②直接写出线段EA，EB和EC之间的数量关系．28. 对于某一函
数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变
值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值
,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；(2)函数y=2
x2-bx.①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；(3) 记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为
G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围
为 .参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 抛物线y=(x-2)2+
3的顶点坐标是（ ）A. （-2,3）B. （2,3）C. （2,-3）D. （-3,2）【答案】B【解析】【分析】根据题目中的抛
物线顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．详解】解：∵y=(x-2)2+3，∴顶点坐标是（2,3）．故选B．【点睛
】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2. 如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，
且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（ ）A. 3：2B. 2：5C. 2：3D. 3：5【答案】C【解析】
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得出结果．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB＝2：3；
故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3. 如图，△ABC∽△A′B′C
′，AD 和 A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，若 AD＝2，A′D′＝3，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（
）A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：2【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【详解】∵AD和
A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，∴其相似比为2：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为4
：9；故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解题的关键．4. 如图，在由边长为1
的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析
】【详解】.故选C.5. 已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数y的图象上，则a与b之间的关系是（ ）A. a＞bB.
a＜bC. a≥bD. a＝b【答案】B【解析】【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】∵点A（1，a）与点B（
3，b）都在反比例函数y的图象上，-12<0，∴每个象限内y随x的增大而增大，∵1<3，∴a＜b．故选B．【点睛】此题主要考查了反
比例函数的增减性，掌握反比例函数的增减性是解题关键．6. 如图所示，△ABC中∠BAC＝80°，AB＝4，AC＝6．甲、乙、丙、丁
四名同学分别在△ABC内画出一个阴影三角形与△ABC相似，其中画的错误的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
通过相似三角形的判定方法分别对各选项进行判断．【详解】A．满足两组角分别相等，则阴影三角形与△ABC相似；B．满足两组角分别相等，
则阴影三角形与△ABC相似；C．满足两组边成比例且夹角相等，则阴影三角形与△ABC相似；D．不满足相似三角形的判定方法．故选D．【
点睛】考查了相似三角形的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法．7. 已知函数，其中，，此函数的图象可以是（ ）A. B. C.
D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的
位置，然后据此来判断它的图象．【详解】解：∵a=-1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是，与y轴的交点在y轴的负
半轴上；故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握判定方法是解题的关键．8. 如图，抛物线y=ax2+bx+3（
a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（ ）A. ﹣4
B. ﹣2C. 1D. 3【答案】B【解析】【详解】分析：抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.详解：∵关于x的方程有一个根为4
，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），抛物线的对称轴为直线 抛物线的对称轴也是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为 ∴方程的另一
个根为 故选B．点睛：考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是： 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 将抛物线
向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式为______．【答案】【解析】【分析】根据二次函数图象平移的规律进行求解
即可得.【详解】根据“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移2个单位所得抛物线的解析式为；根据“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移
3个单位所得抛物线的解析式为.故答案为.【点睛】本题考查二次函数图像的平移后的解析式，求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)沿坐标
轴平移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式y=a(x﹣h)2+k(a≠0)，再利用抛物线平移变换的有关规律进行变换即可.抛物线平移
变换的规律：左加右减（在括号内），上加下减（在末梢）.10. 如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝
4，CD的长为_____．【答案】【解析】【分析】先求解 再由 可得 再利用 解方程，从而可得答案．【详解】解： 故
答案为：【点睛】本题考查的是垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．11. 如图，在平面直角坐标系xO
y中，点P为函数y（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 ___．【答案】2【解析】【分析】可设P
（a，），AP，OA＝﹣a，则△PAO的面积为：2，即可得到答案．【详解】解：∵点P为函数y图象上任意一点，∴可设P（a，），∴A
P，OA＝﹣a，∴△PAO的面积为：2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解．12. 已知抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是____________．【答案】m＜1【解析】【分析】抛
物线与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，从而求出m的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=x2-2x+m与x轴有两个交点，∴△=
b2-4ac＞0，即4-4m＞0，解得m＜1，故答案为m＜1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：①抛物线与x轴有两个交
点，则△＞0；②抛物线与x轴无交点，则△＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则△=0．13. 已知在△ABC中，∠C=，cosA=，A
B=6，那么AC= ____【答案】2【解析】【详解】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC中，cosA=，即可求得AC的长．解：
在△ABC中，∠C=90°，∵cosA=，∵cosA=，AB=6，∴AC=AB=2，故答案为2．14. 二次函数y＝ax2+bx+
c的部分图象如图所示，已知图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是 _______．
【答案】﹣3和1．【解析】【分析】根据二次函数的图像的对称性，可以得到抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0），进而即可求解．【详解
】如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0）．所以一
元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣3和1．故答案是：﹣3和1．【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方
程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，是解题的关键．15. 为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了
如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点E处，然后
沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE=2.0米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为
_____米．【答案】8【解析】【详解】根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则，即
，，解得AB=8米，故答案为8．16. 在平面直角坐标系中，A（3，﹣3），B（1，0），C（3，0），点P在y轴的正半轴上运动，
若以点O、B、P为顶点的三角形与三角形ABC相似，则点P的坐标为 ____．【答案】（0，）或（0，）．【解析】【分析】利用点A、
B、C的坐标特征得到∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，设P点坐标为（0，t），由∠POB＝∠ACB，推出当时，△OPB∽△CB
A，即；当时，△OPB∽△CAB，即，分别求出t的值，从而得到点P的坐标.【详解】∵B（1，0）、A（3，﹣3）、C（3，0），∴
∠ACB＝90°，CB＝2，CA＝3，设P点坐标为（0，t），∵∠POB＝∠ACB＝90°，∴当时，△OPB∽△CBA，即，解得t
＝±，此时P点坐标为（0，），当时，△OPB∽△CAB，即，解得t＝±，此时P点坐标为（0，），综上所述，若以O、B、P为顶点的三
角形与△ABC相似，则点P的坐标为（0，）或（0，）．故答案为（0，）或（0，）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据比例线段
列出方程是解题的关键.三．解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24-25题每题6分，第26-28题每题7分）17. 计
算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．【答案】 【解析】【分析】分析：第一项利用30°角的余弦值计算，第二
项利用45°角的正弦值计算，第三项利用60°角的正切值计算，第四项按照绝对值的意义化简，然后合并同类项或同类二次根式.【详解】详解
：原式=2×﹣2×+3﹣1=﹣+3﹣1=4﹣1．点睛：本题考查了绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的三
角函数值是解答本题的关键.18. 如图，在中，点在边上，．点在边上，．（1）求证：；（2）若，求长．【答案】（1）证明见解析；（2
）．【解析】【分析】（1）先通过平角的度数为180°证明，再根据即可证明；（2）根据得出相似比，即可求出的长．【详解】（1）证明：
，又（2） 【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．19. 如图，在平面直角坐标系xO
y中，直线y＝﹣2x﹣3与双曲线交于M（a，2），N（1，b）两点．（1）求k，a，b的值；（2）若P是y轴上一点，且△MPN的面
积是7，直接写出点P的坐标 ．【答案】（1）k＝﹣5，a＝﹣2.5，b＝﹣5；（2）（0，1）或（0，﹣7）．【解析】【分析】（
1）根据直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），代入求解即可得到a、b的值，从而可以求出k；（2）设直线y＝﹣2x﹣3与
y轴交于点C，则C（0，-3）OC＝3，根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPNPC×2.5PC×1＝7，由此求解即可．【详
解】解：（1）∵直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），∴﹣2a﹣3＝2，b＝﹣2﹣3，∴a＝﹣2.5，b＝﹣5．∵双曲
线过点N（1，﹣5），∴k＝﹣5；（2）如图，设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C．∵y＝﹣2x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3，即C（0
，﹣3），OC＝3．根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPNPC×2.5PC×1＝7，解得：PC＝4，∵C（0，﹣3），∴P
（0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P（0，1）或（0，﹣7）．故答案为：（0，1）或（0，﹣7）．【点睛】本题主要考查了一次函
数与反比例函数的综合，三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．20. 已知：如图，在△
ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．【答案】BC＝．【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数
，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．【详解】∵∠A＝10
5°，∠B＝30°．∴∠C＝45°．过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠
C＝45°，AC＝2．∴∠DAC═∠C＝45°．∵sinC，∴AD．∴AD＝CD．在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°
．∵AD，∴AB＝2．∴由勾股定理得：BD．∴BC＝BD+CD．【点睛】本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义等知
识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21. 一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…
﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y… 0 4 4m0…（1）求这个二次函数的表达式；（2）m的值是 ．【答案】（1）y（x+1）2；
（2）m．【解析】【分析】（1）设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，根据当x=0和x=-2的函数值相同，则x=-1是抛
物线的对称轴，可以得到抛物线顶点坐标为（﹣1，），y＝a（x+1）2，再把（0，4）代入解析式求解即可；（2）根据（1）求值的结果
，把x＝1代入函数解析式求解即可．【详解】解：（1）设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k．∵当x=0和x=-2的函数值相
同，∴x=-1是抛物线的对称轴，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，），∴y＝a（x+1）2．∵（0，4）在抛物线上，∴4＝a（x+1）2．
∴a．∴这个二次函数的表达式为y（x+1）2．（2）当x＝1时，y4，即m．故答案为：．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求
二次函数的函数值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．22. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，C
D＝8，BE＝2．求⊙O的半径．【答案】⊙O的半径为5．【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出
方程的解即可．【详解】解：连接OC，设⊙O的半径为x．∵直径AB⊥弦CD，∴，在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+
42，解得 x＝5，∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键．23. 如图，用
一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，墙长28m．设AB长为xm，矩形的面积为ym2．（1）写出y与x的函数关系
式；（2）当AB长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？【答案】（1）y＝﹣2x2+40x；（2）当AB长为10m时，花
圃面积最大，最大面积为200m2．【解析】【分析】设AB为x，则AD为40-2x，面积y为长乘以宽：x(40-2x)．注意墙长小于
等于28m，则得出【详解】（1）根据题意得，y＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x，即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+40x；（
2）∵y＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，该二次函数图像开口向下，∴当x＝10时，y有最大值，y的最大值为200，即
当AB长为10m时，花圃面积最大，最大面积为200m2．【点睛】本题考查二元一次方程在面积中的应用，注意x的取值范围要符合题目给出
的限制范围，找到面积计算公式得出解析式是本题关键．24. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y
＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求抛物线与x轴交点坐标；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（4）结合图象直
接写出y＞0时，自变量x的取值范围是 ；（5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ．【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1；（2）该图
象与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0）；（3）画函数图象见解析；（4）或；（5）﹣1＜y＜3．【解析】【分析】（1）利用配方法
化简即可；（2）将已知二次函数解析式转化为两点式，可以直接得到答案；（3）用“五点法”取值描点连线即可求解；（4）、（5）观察函数
图象即可求解．【详解】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1；（2）由二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）知，
该图象与x轴的交点为（1，0）或（3，0）；（3）当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝﹣1；当x＝3时，y＝
0；当x＝4时，y＝3，用上述五点描点连线得到函数图象如下：（4）观察函数图象知，当自变量x的取值范围满足或时，y＞0．故答案是：
或；（5）观察函数图象知，当0＜x＜3时，y的取值范围是：﹣1＜y＜3．故答案是：﹣1＜y＜3．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的
交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．25.
如图，在中，，点是边的中点，，．（1）求和的长；（2）求的值．【答案】（1）AD=，AB=5；（2）sin∠BAD= ．【解析】
【分析】（1）由中点定义求BC=4，根据得：AC=3，由勾股定理得：AB=5，AD=；（2）作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求
DE的长，再利用三角函数定义求结果．【详解】（1）∵D是BC的中点，CD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由?t
anB= ，∴ ，∴AC=3，由勾股定理得：AD=，AB==5；（2）过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠
B，∴△DEB∽△ACB，∴，∴ ，∴DE＝，∴sin∠BAD= ．【点睛】此题考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解
题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．（1）求点A坐标；（2）将线段OA沿x轴
向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有
两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．【答案】（1）（2，5）．（2）A''（4，5），O''（2，0）；（3）﹣＜m＜0．【解
析】【分析】(1)将抛物线解析式配成顶点式,即可得出顶点坐标;?(2)先由（1）求出点A的坐标，根据平移的性质即可得出结论;?(3
)结合图象,判断出抛物线和四边形AOOˊAˊ只有两个公共点的分界点即可得出;【详解】解：（1）∵y=mx2﹣4mx+4m+5=m（
x2﹣4x+4）+5=m（x﹣2）2+5，∴∴抛物线顶点A的坐标为（2，5）．（2）由（1）知，A（2，5），∵线段OA沿x轴向右
平移2个单位长度得到线段O′A′．∴A''（4，5），O''（2，0）；（3）如图，∵抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOO
′A′有且只有两个公共点，∴m＜0．由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO''A''的边O''A''相交，∴抛物线已经和四边形AOO′A′
有两个公共点，∴将（0，0）代入y=mx2﹣4mx+4m+5中，得m=﹣．∴﹣＜m＜0．【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的
转化，二次函数的图像与性质，平移的性质及数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.27. 已知：Rt△AB
C中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D是BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD延长
线于点E，连接CE．①若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明
．（2）如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE．①依题意补全图2；②直接写
出线段EA，EB和EC之间的数量关系．【答案】（1）①∠DBE＝45°﹣α；②AE﹣BEEC，证明见解析；（2）①补全图形见解析；
②EB﹣EAEC．【解析】【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，即可求出∠CAD=．根据三角形的内角和即可
求出∠DBE=∠CAD=；②过点C作CR⊥CE交AE于R，然后证明△ACR≌△BCE，得到AR＝BE，CR＝CE，即可得到△CER
是等腰直角三角形，ERCE，由此即可求解；（2）①根据题目要求作图即可；②过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.根据三角形的内
角和定理得到∠CAF=∠CBE，证明△ACF≌△BCE.根据全等三角形的性质有AF=BE，CF=CE．根据等腰直角三角形的性质有E
F=EC．则有 AF -EA =EC，即可求出线段EA，EB和EC之间的数量关系．【详解】解：（1）①如图1中，∵∠ACB＝90°
，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵∠BAD＝α，∴∠CAD＝45°﹣α．∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，∠ADC＝∠BDE，∴∠
DBE＝∠CAD＝45°﹣α；②结论：AE﹣BEEC．理由：如图，过点C作CR⊥CE交AE于R．∴∠ACB＝∠RCE＝90°，∴∠
ACR＝∠BCE，∵∠CAR+∠ADC＝90°，∠CBE+∠BDE＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴∠CAR＝∠CBE，在△ACR和
△BCE中，，∴△ACR≌△BCE（ASA），∴AR＝BE，CR＝CE，∴△CER是等腰直角三角形，∴ERCE，∴AE﹣BE＝AE
﹣AR＝ER EC．（2）①补全图形，如图2所示：②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EAEC；理由如下：过点C作CF⊥CE，
交AD的延长线于点F，如图3所示：则∠ECF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∴∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠A
CE，即∠ACF＝∠BCE，∵∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，∴∠CAF＝∠CBE，在△ACF和△BCE中
，，∴△ACF≌△BCE（ASA），∴AF＝BE，CF＝CE．∵∠ECF＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EFEC，即AF﹣
EAEC．∴EB﹣EAEC．【点睛】考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌握全等三角
形的判定定理是解题的关键．28. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的
不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度
q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.(1)分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？
如果有，直接写出其不变长度；(2)函数y=2x2-bx.①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；(
3) 记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，
若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为 .【答案】（1）函数y=x﹣1没有不变值；函数的不变值为±1，q=2；函数y=x2
的不变值为0或1，q=1；（2）①b=﹣1；②1≤q≤2；（3）1≤m≤3或m＜﹣．【解析】【分析】（1）根据定义分别求解即可求得
答案；（2）①首先由函数y=2x2﹣bx=x，求得x（2x﹣b﹣1）=0，然后由其不变长度为零，求得答案；②由①，利用1≤b≤3，
可求得其不变长度q的取值范围；（3）由记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，可得函数G的图象关于x=m对称，然后根据定义分别求得函数的不变值，再分类讨论即可求得答案．【详解】（1）∵函数y=x﹣1，令y=x，则x﹣1=x，无解；∴函数y=x﹣1没有不变值；∵y=x-1 =，令y=x，则，解得：x=±1，∴函数的不变值为±1，q=1﹣（﹣1）=2．∵函数y=x2，令y=x，则x=x2，解得：x1=0，x2=1，∴函数y=x2的不变值为：0或1，q=1﹣0=1；（2）①函数y=2x2﹣bx，令y=x，则x=2x2﹣bx，整理得：x（2x﹣b﹣1）=0．∵q=0，∴x=0且2x﹣b﹣1=0，解得：b=﹣1；②由①知：x（2x﹣b﹣1）=0，∴x=0或2x﹣b﹣1=0，解得：x1=0，x2=．∵1≤b≤3，∴1≤x2≤2，∴1﹣0≤q≤2﹣0，∴1≤q≤2；（3）∵记函数y=x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，∴函数G的图象关于x=m对称，∴G：y= ．∵当x2﹣2x=x时，x3=0，x4=3；当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）=x时，△=1+8m，当△＜0，即m＜﹣时，q=x4﹣x3=3；当△≥0，即m≥﹣时，x5=，x6=．①当﹣≤m≤0时，x3=0，x4=3，∴x6＜0，∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；②∵当x5=x4时，m=1，当x6=x3时，m=3；当0＜m＜1时，x3=0（舍去），x4=3，此时0＜x5＜x4，x6＜0，q=x4﹣x6＞3（舍去）；当1≤m≤3时，x3=0（舍去），x4=3，此时0＜x5＜x4，x6＞0，q=x4﹣x6＜3；当m＞3时，x3=0（舍去），x4=3（舍去），此时x5＞3，x6＜0，q=x5﹣x6＞3（舍去）；综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．注意掌握分类讨论思想的应用是解答此题的关键． 1 / 1 |
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