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| 2019北京师大二附中实验学校初三（上）期中数学含答案 |
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2019北京师大二附中实验学校初三（上）期中数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1
．（2分）下面四个交通标志分别是步行标志、禁止行人通行标志、禁止驶入标志和直行标志，在这四个标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图
形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，点A，B，C均在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数为（ ）A．20°B．
40°C．60°D．70°3．（2分）抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（ ）A．（4，﹣5），开口向上B．（
4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．（2分）如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠
C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A．55°B．70
°C．125°D．145°5．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC
的度数为（ ）A．70°B．90°C．110°D．120°6．（2分）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取
值范围是（ ）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．（2分）如图，已知钝角三角形ABC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋
转110°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）A．55°B．65°C．75°D．85°8．
（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8＝0（a≠0）的一个根为4
，那么该方程的另一个根为（ ）A．﹣4B．﹣2C．1D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个开口向下，顶
点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．10．（2分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D
恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为 ．11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0
）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当 y1≤y2时，x的取值范围是 ．12．（2分）如图
，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是 ．13．（2分）若抛物线y＝2（x
﹣2）2+k过原点，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．14．（2分）已知：⊙O的半径为13cm，弦AB＝24cm，弦CD＝10
cm，AB∥CD．则这两条平行弦AB，CD之间的距离是 ．15．（2分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B
两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，则点D的坐标是 ．16．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作
图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB＝∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作
线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所
以∠APB＝∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是 ；（2）∠
APB＝∠ACB的依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题每小题5分，第22题6分，第23、24题每小题5分，第25-2
6每小题5分，第27题7分，第28题8分）17．（5分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0
，﹣6），求二次函数表达式．18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转30°后得到△AB1
C1，求∠BAC1的度数．19．（5分）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆
时针旋转后得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离．（2）求∠APB的度数．20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线
x＝1的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）
点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．21．（5分）如图是一个隧道的横截
面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半
径．22．（6分）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6（a≠0）（1）将其化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式 ；（2）顶点坐
标 对称轴方程 ；（3）用五点法画出二次函数的图象；（4）当0＜x≤3时，写出y的取值范围 ．23．（5分）已知：如图，Rt△AB
C中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．试确定EF与半圆O的位置关系，并证明你的结论．24．（5分
）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能
高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范
围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰
为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？25．（6分）如图，等边△ABC的边长为3
cm，点N在AC边上，AN＝1cm．△ABC边上的动点M从点A出发，沿A→B→C运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为xcm，M
N的长为ycm．小西根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小西的探究过程，请补充完整：（1）通
过取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm00.511.522.533.544.555.56y/cm10.8711.3
22.182.652.291.81.731.82（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图
象；（3）结合函数图象，解决问题：当MN＝2cm时，点M运动的路程为 cm．26．（6分）如图，曲线BC是反比例函数y＝（4≤x≤
6）的一部分，其中B（4，1﹣m），C（6，﹣m），抛物线y＝﹣x2+2bx的顶点记作A．（1）求k的值．（2）判断点A是否可与点
B重合；（3）若抛物线与BC有交点，求b的取值范围．27．（7分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点
A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于
点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB
于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果
点Q（x，y′）的纵坐标满足y′＝，那么称点Q为点P的“关联点”．（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；（2）如果点P
在函数y＝x﹣2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y＝2x2的图象上，
当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．2019北京师大二附中实验学校初三（上）期中数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．【解答】解：A、不是轴对称图形
，也不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形
．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形
是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ACB＝35°，∴∠AOB＝2∠A
CB＝70°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案
．【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a
（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向
下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，4．【分析】根据
直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．【解答】解：∵∠B＝35°
，∠C＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′＝180°﹣∠BAC
＝180°﹣55°＝125°，∴旋转角等于125°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋
转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．5．【分析】根据圆周角定理求得∠BOC＝100°，进而根据三角形的外角的性质求得
∠BDC＝70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵∠B＝30°，∠B
OC＝∠B+∠BDC，∴∠BDC＝∠BOC﹣∠B＝100°﹣30°＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝110°，故选：C．【
点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．6．
【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图
象与x轴有公共点，∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题
考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m''的不等式是解此题的关键．7．【分析】先根据旋转的性质得到∠
BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝35°，再根据平行线的性质得出∠C′AB′＝∠A
B′B＝35°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算即可得出答案．【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l
10°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝110°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝（180°﹣110°）＝35°，∵AC′∥
BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝35°，∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝110°﹣35°＝75°．故选：C．【点评】此
题考查了旋转的性质：掌握旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是本题的关键．8．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物
线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故
选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分
）9．【分析】根据题意可得抛物线的顶点坐标是（0，3），故设出抛物线的顶点式方程y＝ax2+3，再由开口向下可知a＜0，故可取a＝
﹣1，即得结果．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，3）∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+3，又∵抛物线的开口向下，∴a＜0，故
可取a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3．故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是要
由顶点坐标正确设出抛物线的解析式．理解开口向下的含义．10．【分析】在直角三角形ABC中利用三角函数首先求得AB和BC的长，然后证
明△ABD是等边三角形，根据CD＝BC﹣BD即可求解．【解答】解：∵直角△ABC中，AC＝，∠B＝60°，∴AB＝＝＝1，BC＝＝
＝2，又∵AD＝AB，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝1，∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．故答案是：1．【点评
】本题考查了三角函数和旋转的性质，正确证明△ABD是等边三角形是关键．11．【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直
线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），∴当 y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤
3．故答案为：0≤x≤3．【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．12．【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠DCB的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB
+∠DCB＝180°，∵∠BAD＝105°，∴∠DCB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣105°＝75°，∵∠DCB+∠DCE＝18
0°，∴∠DCE＝∠DAB＝105°．故答案为：105°【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补．13．【
分析】利用抛物线的对称性求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，而抛物线过原点，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0）
．故答案为（4，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交
点坐标转化为解关于x的一元二次方程．14．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径
和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：过O作OM⊥AB于M，OM交CD于N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD
，①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，∵AB＝24cm，CD＝10cm，∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，
∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝12﹣5＝7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB＝24cm，CD＝10cm，
∴AE＝12cm，CF＝5cm，∵OA＝OC＝13cm，∴EO＝5cm，OF＝12cm，∴EF＝OF+OE＝17cm．∴AB与CD
之间的距离为7cm或17cm．故答案为17或7．【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考
问题，属于中考常考题型．15．【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出A点和B点坐标，得到OA和OB的长，再根据旋转的性质得到∠CA
O＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝3，CD＝OB＝4，则CD∥x轴，然后根据第一象限点的坐标特征写出D点坐标．【
解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则B（0，4），当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则A（3，0），∵△AOB绕点A顺时
针旋转90°后得到△ACD，∴∠CAO＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴CD∥x轴，∴D点坐
标为（7，3）．故答案（7，3）．【点评】本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性
质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．1
6．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【解答】解：
（1）如图2中，∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，∴OA＝OB，OB＝OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）
，∴OA＝OB＝OC（等量代换）故答案为①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换．（2）∵＝，∴∠APB＝∠
ACB（同弧所对的圆周角相等）．故答案为同弧所对的圆周角相等．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心
等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质，属于中考常考题型．三、解答题（本题共68分，第17-21题每小题5分，第22题6分，
第23、24题每小题5分，第25-26每小题5分，第27题7分，第28题8分）17．【分析】设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然
后把（0，﹣6）代入求出a即可．【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝
2，所以此函数的解析式为y＝2（x﹣3）（x+1），即y＝2x2﹣4x﹣6．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利
用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常
选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个
交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．【分析】由三角形内角和定理求出∠BAC＝75°，分两种情况，由旋转的性质即可得出答案
．【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，顺时针旋转30°时，如图1所示：由旋转的性质
得：∠B1AC1＝∠BAC＝75°，∠B1AB＝30°，∴∠BAC1＝75°﹣30°＝45°；逆时针旋转30°时，如图2所示：∠B
AC1＝75°+30°＝105°；综上所述，∠BAC1的度数为45°或105°．【点评】本题可得了旋转的性质、三角形内角和定理以及
分类讨论；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．19．【分析】（1）△APB绕点B逆时针旋转后，得到△CQB，则△ABP≌CBQ，QB＝
PB，∠ABP＝∠CBQ，所以△BPQ为等边三角形，即可求得PQ；（2）由△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌C
BQ可得QC＝PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠PQC＝90°，可求∠APB的度数．【解答】解：
（1）连接PQ，由题意可知△ABP≌CBQ则QB＝PB＝4，∠ABP＝∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABP+∠P
BC＝60°，∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，故△BPQ为等边三角形，所以PQ＝QB＝PB＝4；（2）∵△ABP≌CBQ，
∴QC＝PA＝3，∠APB＝∠BQC，又∵PQ＝4，PC＝5，利用勾股定理的逆定理可知：∴PQ2+QC2＝PC2，则△PQC为直角
三角形，且∠PQC＝90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝150°∴∠APB＝∠BQ
C＝150°【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．20．【分析】（1）求出A、B坐标，利用待定点C的坐标为（0，3），
点D（1，0），（2）由点C的坐标为（0，3），点D（1，0），可知满足条件的点P的纵坐标为2，解方程﹣x2+2x+3＝2即可得到
点P的横坐标，由此即可解决问题．【解答】解：（1）由题意可求点A的坐标为（3，0）．将点A（3，0）和点B（﹣1，0）代入y＝﹣x
2+bx+c，得 解得 ∴抛物线的解析式y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，∵点C的坐标为（0，3），点D（1，0），∴满足条件的点
P的纵坐标为2．∴﹣x2+2x+3＝2．解得 ．∴点P的坐标为或．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式
、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM
＝DM＝5，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．【解答】解：如图，连接OC，∵M是弦CD的中点，EM过
圆心O，∴EM⊥CD．∴CM＝MD．∵CD＝10，∴CM＝5．设OC＝x，则OM＝25﹣x，在Rt△COM中，根据勾股定理，得52
+（25﹣x）2＝x2．解得 x＝13．∴⊙O的半径为13．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造
以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．22．【分析】（1）直接利用配方法写成顶点式的形式即可；（2）根据顶点式即可求得；（
3）利用顶点坐标以及对称轴以及图象与坐标轴交点画出图象即可；（4）利用函数图象得出y的取值范围．【解答】解：（1）y＝﹣2x2+8
x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，故答案为y＝﹣2（x﹣2）2+2；（2）顶点为（2，2），对称轴为直线x＝2，故答案为（2，2），直
线x＝2；（3）列表：x…01234…y…﹣6020﹣6…描点、连线，画出函数图象如图：（4）由图象可知，当0＜x≤3时，﹣6＜y
≤2，故答案为﹣6＜y≤2．【点评】此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及二次函数图象画法和利用图象得出函数值的取值范围，利用数形
结合得出是解题关键．23．【分析】想办法证明OF⊥EF即可解决问题．【解答】解：结论：∴EF是半圆C的切线理由：：连接OE，CF．
∵AC是直径，∴∠AFC＝90°∴∠BFC＝90°又∵E是BC的中点，∴EF＝EC∴∠EFC＝∠ECF∵OC＝OF∴∠OFC＝∠F
CO，∴∠ACB＝∠FCO+∠ECF＝90°∴∠EFC+∠OFC＝90°即∠EFO＝90°∴OF⊥EF∴EF是⊙C的切线【点评】本
题考查直线与圆的位置关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．【分析】（1）根据题意可知y与x
的函数关系式．（2）根据题意可知y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，当x＝5.5时y有最大值．（3）设y＝2200，解得x的
值．然后分情况讨论解．【解答】解：（1）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）＝﹣10x2+110x+2100（0＜x
≤15且x为整数）；（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝5
.5时，y有最大值2402.5．∵0＜x≤15，且x为整数，当x＝5时，50+x＝55，y＝2400（元），当x＝6时，50+x＝
56，y＝2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当y＝2200时，﹣10x
2+110x+2100＝2200，解得：x1＝1，x2＝10．∴当x＝1时，50+x＝51，当x＝10时，50+x＝60．∴当售价
定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60
元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的
利润不低于2200元）．【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．25．【分析】（1）观察表格中
的数据可得出答案；（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）利用图象寻找图象与直线y＝2交点的坐标即可解决问题．【解答】解：本题答案
不唯一，如：（1）x/cm00.511.522.533.544.555.56y/cm10.8711.321.732.182.652
.2921.81.731.82（2）（3）观察图象可得当MN＝2cm时，点M运动的路程为2.3cm或4cm或6cm．故答案为：2.
3或4或6．【点评】本题是三角形综合题目，等边三角形的性质、描点法画函数图象、函数图象的性质以及应用等知识；理解函数图象的意义，正
确运用图象法解题是关键．26．【分析】（1）把B、C两点代入解析式，得到k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），求得m＝﹣2，从而求得k的
值；（2）由抛物线解析式得到顶点A（b，b2），如果点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立；（3）当抛物线经过点B（4
，3）时，解得，b＝，抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C，解得，b＝，抛物线右半支经过点C；从而求得b的取值范围为≤b≤．【解
答】解：（1）∵B（4，1﹣m），C（6，﹣m）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝4（1﹣m）＝6×（﹣m），∴解得m＝﹣2，∴k＝
4×[1﹣（﹣2）]＝12；（2）∵m＝﹣2，∴B（4，3），∵抛物线y＝﹣x2+2bx＝﹣（x﹣b）2+b2，∴A（b，b2）．
若点A与点B重合，则有b＝4，且b2＝3，显然不成立，∴点A不与点B重合；（3）当抛物线经过点B（4，3）时，有3＝﹣42+2b×
4，解得，b＝，显然抛物线右半支经过点B；当抛物线经过点C（6，2）时，有2＝﹣62+2b×6，解得，b＝，这时仍然是抛物线右半支
经过点C，∴b的取值范围为≤b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用讨论的思想思考问
题．27．【分析】（1）证明△AB′M≌△AD′N（SAS），推出∠B′AM＝∠D′AN，即可解决问题．（2）证明△AEB′≌△A
GD′（AAS），推出EB′＝GD′，AE＝AG，再证明△AHE≌△AHG（SAS），推出EH＝GH，推出B′D′＝2，即可解决问
题．【解答】解：（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′＝B′C′＝C′D′＝AD′，∵∠B′AD′＝∠B′C′D′＝60°，
∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′D′，∴∠C′MN＝∠C′B′D′＝60°，∠CNM＝∠C′D′B′＝60
°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M＝C′N，∴MB′＝ND′，∵∠AB′M＝∠AD′N＝120°，AB′＝AD′，∴△AB′M
≌△AD′N（SAS），∴∠B′AM＝∠D′AN，∵∠CAD＝∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∴α＝15°．（2）∵∠C′B
′D′＝60°，∴∠EB′G＝120°，∵∠EAG＝60°，∴∠EAG+∠EB′G＝180°，∴四边形EAGB′四点共圆，∴∠AE
B′＝∠AGD′，∵∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，∴△AEB′≌△AGD′（AAS），∴EB′＝GD′，AE＝AG，∵A
H＝AH，∠HAE＝∠HAG，∴△AHE≌△AHG（SAS），∴EH＝GH，∵△EHB′的周长为2，∴EH+EB′+HB′＝B′H
+HG+GD′＝B′D′＝2，∴AB′＝AB＝2，∴菱形ABCD的周长为8．【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱
形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．28．【分析】（1）根据关联点的定义，可得答案；（2）根据关联点的定义，可得Q点的坐标，根据点在函数图象上，可得方程，根据解方程，可得答案；（3）根据关联点的定义，可得N的坐标，根据平行于y的直线上两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案【解答】解：（1）∵3＜5，根据关联点的定义，∴y′＝5﹣3＝2，点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2），故答案为：（3，2）；（2）∵点P在函数y＝x﹣2的图象上，∴点P的坐标为（x，x﹣2）．∵x＞x﹣2，根据关联点的定义，点Q的坐标为（x，2）．又∵点P与点Q重合，∴x﹣2＝2，解得x＝4，∴点P的坐标是（4，2）；（3）点M（m，n）的“关联点”N，由关联点的定义，得第一种情况：当m≥n时，点N的坐标为（m，m﹣n），∵N在函数y＝2x2的图象上，∴m﹣n＝2m2，n＝﹣2m2+m，即yM＝﹣2m2+m，yN＝2m2，∴MN＝|yM﹣yN|＝|﹣4m2+m|，①当0≤m≤，﹣4m2+m≥0，MN＝﹣4m2+m＝﹣4（m﹣）2+，∴当m＝时，线段MN的最大值是；②当＜m≤2时，﹣4m2+m＜0，MN＝4m2﹣m＝4（m﹣）2﹣，当m＝2时，线段MN的最大值是14；第二种情况：当m＜n时，点N的坐标为（m，n﹣m），∵N在函数y＝2x2的图象上，∴n﹣m＝2m2，即n＝2m2+m，∴yM＝2m2+m，yN＝2m2，∴MN＝|yM﹣yN|＝|m|，∵0≤m≤2，∴MN＝m，∴当m＝2时，线段MN的最大值是2；综上所述：当m≥n时，线段MN的最大值是14；当m＜n时，线段MN的最大值是2．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用关联点的定义；解（2）的关键是利用关联点在同一函数图象上得出方程；解（3）的关键是利用关联点的定义得出M，N的纵坐标，又利用了平行于y轴直线上两点间的距离，要分类讨论，以防遗漏． 1 / 1 |
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