2020北京丰台初三（上）期末数学备考解直角三角形（教师版）一．选择题（共13小题）1．如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的度数是（
）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵∠A是锐角，且sinA＝，∴∠A的
度数是30°，故选：D．【点评】此题考查特殊角的三角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值解答．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝9
0°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值为（ ）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．【解答
】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝4，∴tanA＝＝．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌
握锐角三角函数的定义．3．如果某个斜坡的坡度是1：，那么这个斜坡的坡角为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根
据坡角的正切＝坡度，列式可得结果．【解答】解：设这个斜坡的坡角为α，由题意得：tanα＝1：＝，∴α＝30°；故选：A．【点评】本
题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，明确坡度实际就是一锐角的正切值；在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角
即是一锐角，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，
则cosB的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，可得答案．【解答】解：cosB＝＝，故
选：C．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．
如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹
竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为（ ）A．5mB．6mC．7mD．8m【分析】先判定△OAB和△OCD相似，再根
据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图所示：∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，即，
解得：CD＝6（米）；即树的高度为6m；故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出三角形相似并根据相似三角形对应边成比例
得出比例式是解题的关键．6．在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则sinα的值为（ ）A．B．C．D．【分析】根
据勾股定理求得三角形的斜边长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：斜边长是：＝，则sinα＝＝．故选：D．【点评】本题考查
了勾股定理以及三角函数，理解三角函数的定义是关键．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA等于（ ）A．B．
C．D．【分析】利用tanA＝，进而表示出AC，BC，AB的长，再利用锐角三角函数关系得出即可．【解答】解：如图所示：∵tanA＝
，∴设BC＝3x，则AC＝4x，∴AB＝5x，∴sinA＝＝＝．故选：D．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握锐角三角
函数关系是解题关键．8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（ ）A．60°B．45°C．30°D．无法
确定【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴∠A＝30°．故选：C．【点评】
本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．9．如图所示，河堤横断面迎水坡AB
的坡比是1：，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（ ）A．10mB．mC．15mD．m【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，
可得到∠BAC＝30°，所以求得AB＝2BC，得出答案．【解答】解：河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，即tan∠BAC＝＝＝，∴∠
BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×5＝10m，故选：A．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是先由已知得出∠BAC＝30
°，再求出AB．10．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是（ ）A．B．2C．D．【分析】根据角的正切值＝
对边÷邻边求解．【解答】解：由图可得，tanα＝4÷2＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含
义是此题的关键．11．在小正方形组成的网络中，直角三角形的位置如图所示，则tanα的值是（ ）A．B．C．D．【分析】结合图形，
根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tanα＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键
是牢记锐角三角函数的定义．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，则cosA的值是（ ）A．B．C．D．4【分
析】依据勾股定理求出AC的长，根据三角函数的定义就可以解决．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，由勾股
定理可知AC＝，则cosA＝＝．故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比
斜边，正切为对边比邻边．13．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）A．B．C．D．2【分析】作EF⊥OB
，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF＝2，OF＝1，由勾股定理
得，OE＝．∴cos∠AOB＝＝＝．故选：A．【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．二．填空题（共
12小题）14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，那么cosB＝ ．【分析】直接利用锐角三角函数的定义分
析得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝6，∴cosB＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，
正确把握定义是解题关键．15．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图
，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是 74 米．（≈1.4，≈1.
7，结果保留整数）【分析】首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可
解决问题．【解答】解：如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，设BD＝
CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案为74，【点评】本题考查解直角
三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．16．已知sinα＝，那么锐角α的度数是 30° ．【分
析】根据特殊角的锐角三角函数值求解．【解答】解：∵角α是锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故答案为：30°．【点评】本题主要考查
的是特殊角的三角函数值．17．太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推广使用．如图是太阳能电池板支撑架的
截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，支撑角钢EF长为cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50
cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面
的垂直距离相同），均为 30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢CD的长度是 45 cm，AB的长度是 300 cm．
【分析】过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG＝25，再根据题意得出GD＝50﹣30＝20，代入CD＝CG+GD求出支撑
角钢CD的长度；连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到CH＝90，在Rt△EFH中，根据三角
函数的定义即可得到结论．【解答】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝ACsin30°＝50×＝2
5，∵GD＝50﹣30＝20，∴CD＝CG+GD＝25+20＝45，即支撑角钢CD的长度是45cm．连接FD并延长与BA的延长线交
于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝2CD＝90，∴AH＝CH﹣AC＝90﹣50＝40，∵在Rt△EFH中，EH＝＝＝2
90，∴AE＝EH﹣AH＝290﹣40＝250，∴AB＝AE+BE＝250+50＝300，即AB的长度是300cm．故答案为45，
300．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．18．
如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A＝ 30 °．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵∠A是锐角，且sin
A＝，∴∠A＝30°．故答案为：30．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．19．在正方形网格中，
△ABC的位置如图所示，则tanB的值为 ．【分析】利用锐角三角函数关系直接得出答案．【解答】解：如图所示：tanB＝＝．故答案
为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan
A＝，那么∠A＝ 60 °．【分析】根据∠C＝90°，tanA＝，可求得∠A的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanA＝，∴
∠A＝60°．故答案为：60．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．21．如图，Rt△
ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则tanB＝ ．【分析】在直角三角形中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，直接根据正
切的概念求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，根据正切的定义知：tanB＝＝，故答案为．【点评】本
题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．22．在Rt△AB
C中，∠C＝90°，sinA＝，则∠A＝ 30 度．【分析】根据sin30°＝解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°
，sinA＝，∵sin30°＝，∴∠A＝30°．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．23．已知，则锐角α＝ 4
5° ．【分析】首先求得cosα的值，即可求得锐角α的度数．【解答】解：∵cosα＝∴α＝45°故答案是：45°．【点评】本题主要
考查了特殊角的三角函数值，已知角的度数要能知道三角函数值，已知函数值也必须知道对应的角的度数．24．如图所示，边长为1的小正方形构
成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．【分析】在Rt△ABC中，易知∠ABC的正切值为；根据圆周
角定理可得，∠AED＝∠ABC，由此可求出∠AED的正切值．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝1，AB＝2；∴tan∠ABC＝＝
；∵∠AED＝∠ABC，∴tan∠AED＝tan∠ABC＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角定理及锐角三角函数的概念：在直角
三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．25．tan45°+sin30°＝ ．【分析】把特殊角的三角函数值代入
原式，计算就可直接求解．【解答】解：∵tan45°＝1，sin30°＝，∴tan45°+sin30°＝1+×＝＝1．故答案为或1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．三．解答题（共18小题）26．计算：s
in60°﹣tan45°+2cos60°【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝＝＝．【点评】此题考查特殊角的三
角函数值，关键是利用特殊角的三角函数值计算．27．如图1，某学校开展“交通安全日”活动．在活动中，交警叔叔向同学们展示了大货车盲区
的分布情况，并提醒大家：坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们，所以一定要远离大货车的盲区，保护自身安全．小刚所在的学习小组为
了更好的分析大货车盲区的问题，将图1用平面图形进行表示，并标注了测量出的数据，如图2．在图2中大货车的形状为矩形，而盲区1为梯形，
盲区2、盲区3为直角三角形，盲区4为正方形．请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题：（1）盲区1的面积约是 5 m2；盲区2的面积约
是 4 m2；（≈1.4，≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈05，结果保留整数）（2）如果以大货
车的中心A点为圆心，覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域，请在图2中画出大货车的危险区域．【分析】（1）作OP⊥CD于P．
根据等腰梯形的性质求出DP＝（CD﹣OB）＝1．解直角△ODP，得出OP＝DP?tan∠D＝，再利用梯形的面积公式即可求出盲区1的
面积；解直角△BEN，求出BE＝≈4，那么S△BEN＝BE?EN≈4m2，即为盲区2的面积；（2）利用勾股定理求出AC＝AD＝＝，
AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，得到AC最大，那么以A为圆心，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．【解答】解：（1）如图，作O
P⊥CD于P．∵OBCD是等腰梯形，OB＝2，CD＝4，∴DP＝（CD﹣OB）＝1．在直角△ODP中，∵∠D＝60°，∴OP＝DP
?tan∠D＝1×＝，∴S梯形OBCD＝（OB+CD）?OP＝（2+4）?＝3≈3×1.7≈5（m2），即盲区1的面积约是5m2；
在直角△BEN中，∵∠EBN＝25°，EN＝2，∴BE＝≈＝4，∴S△BEN＝BE?EN≈×4×2＝4（m2），即盲区2的面积约是
4m2．故答案为5，4；（2）∵AC＝AD＝＝，AH＝AG＝＝，AM＝AN＝＝，∴AC＝AD＞AH＝AG＞AM＝AN，∴以A为圆心
，AC长为半径所画的圆为大货车的危险区域．如图所示． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解直角三角形的应用，视点、视角和盲
区，等腰梯形、矩形、正方形的性质以及勾股定理．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．28．计算：2cos30°+sin45°﹣
tan60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后按实数的运算顺序计算即可．【解答】解：原式＝2×+﹣，＝，＝．【点评】此题主
要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．29．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学
小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得人民
英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B
两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E，请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的
高度．（参考依据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）【分析】在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知
ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，由ME＝EC?tan∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求
得x的值，根据MN＝ME+EN可得答案．【解答】解：由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15
，在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，∠ME
C＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC?tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+
EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．【点评】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中
整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．30．计算：6tan 30°+cos245°﹣sin 60°．【分析】根据特殊角的函
数值，直接计算即可．【解答】解：原式＝＝＝+﹣＝．【点评】本题主要考查特殊角的函数值，解决此类问题的关键是熟记各特殊角的函数值．3
1．计算：2cos30°﹣tan45°+sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解
答】解：原式＝2×﹣1+＝﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数知识解题关键．32．如图，某小区在规划改造期
间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB，已知距电线杆AB水平距离14米处是观景台，即BD＝14米，该观景台的坡面CD的坡角∠CDF的
正切值为2，观景台的高CF为2米，在坡顶C处测得电线杆顶端A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，如果以点B为圆心，以AB长
为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，人行道是否在危险区域内？（≈1.73）【分析】根据已知条件得到DF
＝1米，BG＝2米；得到BF＝GC＝15米；在Rt△AGC中，由tan30°＝，得到AG＝15×＝5≈5×1.732＝8.660米
；于是得到结论．【解答】解：由tan∠CDF＝＝2，CF＝2米，∴DF＝1米，BG＝2米；∵BD＝14米，∴BF＝GC＝15米；在
Rt△AGC中，由tan30°＝，∴AG＝15×＝5≈5×1.732＝8.660米；∴AB＝8.660+2＝10.66米；而BE＝
BD﹣ED＝12米，∴BE＞AB；因此不需要封人行道．【点评】本题考查了解直角三角形﹣俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构
造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．33．计算：2tan45°+sin60°﹣cos30°．【分析】将特殊角的三角函数
值代入求解即可．【解答】解：原式＝2×1+﹣＝2．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值
．34．如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东
30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考
数据：≈1.4，≈1.7）【分析】过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，根据题意求出CD的长，再和岛C的半径12海里比较大小即可
得到问题答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+3
0°＝120°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝20．在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，∴CD＝CB?sin∠CBD＝10（海里
）．∵10＞12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区．【点评】此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形
的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．35．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里的A处，它
计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）（1）问B处距
离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔190海里的点O处．圆形暗礁区
域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．【分析】（1）首先作PC⊥AB于
C，利用∠CPA＝90°﹣45°＝45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；（2）首先求出OB的长，进而得出OB
＞50，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△PAC中，∠PCA＝90°，∠CPA＝90°﹣60°＝3
0°，∴PC＝PA?cos30＝100×＝50，在Rt△PCB中，∠PCB＝90°，∠PBC＝90°﹣45°＝45°，∴PB＝PC
＝50≈122.5，∴B处距离P有122.5海里．（2）没有危险．理由如下：OB＝OP﹣PB＝190﹣50，（190﹣50）﹣50
＝140﹣50＞0即OB＞50，∴无危险【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长
是解题关键．36．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，在E处测得∠AFG＝60°，CE＝8米，
仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．【分析】首先根据题意可得GB＝EF＝CD＝1.5
米，DF＝CE＝8米，然后设AG＝x米，GF＝y米，则在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程组即
可求得答案．【解答】解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形，∴GB＝EF＝CD＝1.5米，DF＝CE＝8米，设AG＝x米，
GF＝y米，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝tan60°＝＝＝，在Rt△ADG中，tan∠ADG＝tan30°＝＝＝，∴x＝4，
y＝4，∴AG＝4米，FG＝4米，∴AB＝AG+GB＝4+1.5≈8.4（米）．∴这棵树AB的高度约为8.4米．【点评】本题考查仰
角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．37．如图，在直角梯形ABC
D中，AD∥BC，∠ABC＝90°，连接BD，过点C作CE⊥BD于交AB于点E，垂足为点H，若AD＝2，AB＝4，求sin∠BCE
．【分析】在图中用阿拉伯数字标注角，然后根据垂直定义以及直角推出∠BCE＝∠ABD，在Rt△ABD中根据勾股定理求出BD的长，再根
据锐角三角函数的定义求出∠ABD的正弦，即为sin∠BCE．【解答】解：如图，∵CE⊥BD，∴∠1+∠3＝90°，∵∠ABC＝90
°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，AD＝2，AB＝4，由勾
股定理得，BD＝＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，∴sin∠BCE＝．故答案为：．【点评】本题考查了直角梯形，勾股定理以及锐角三角函数的
定义，根据直角的关系推出∠BCE＝∠ABD，把求∠BCE的正弦转化为求∠ABD的正弦是解题的关键．38．如图，天空中有一个静止的热
气球A，从地面点B测得A的仰角为30°，从地面点C测得A的仰角为60°．已知BC＝50m，点A和直线BC在同一垂直平面上，求热气球
离地面的高度．【分析】过点A作AD⊥BC，交BC于点D；本题涉及到两个直角三角形△ADC、△ABD，应利用其公共边AD构造等量关系
，解三角形可得AD与AC的关系；进而可求出答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADC＝90°，∵∠B＝30°，∠ACD
＝60°，∴∠1＝30°，∴∠1＝∠B，∴CA＝CB＝50m，在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴，∴AD＝25m．答：热气球离
地面的高度是25米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．3
9．已知，如图，渔船原来应该从A点向正南方向行驶回到港口P，但由于受到海风的影响，渔船向西南方向行驶去，行驶了240千米后到达B点
，此时发现港口P在渔船的南偏东60°的方向上，问渔船此时距港口P多远？（结果精确到0.1千米，参考数据：，，，）【分析】由已知条件
渔船向西南方向行驶去，行驶了240千米后到达B点，即∠BAD＝45°，由到达B点时发现港口P在渔船的南偏东60°的方向上，可以得到
∠BPD＝60°，过点B作BD⊥AP于点D，再利用三角函数关系，可求出BP长度．【解答】解：过点B作BD⊥AP于点D，在Rt△AB
D中，BD＝ABsin45°＝240×，在Rt△BDP中，sin60°＝，≈196.0答：距港口约为196.0千米．【点评】此题主
要考查了方位角问题，正确确定方位角的度数，是解决问题的关键．40．2008年初，我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴．如图，现
有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡
上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高．（精确到0.1米）【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；本题涉及到两
个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．【解答】解：作BD⊥AC于D．在Rt△ADB中，sin∠ABD＝．∴AD
＝AB?sin∠ABD＝15×sin21°≈5.38米．（3分）∵cos∠ABD＝．∴BD＝AB?cos∠ABD＝15×cos21
°≈14.00米．（5分）在Rt△BDC中，tan∠CBD＝．∴CD＝BD?tan∠CBD≈14.00×tan38°≈10.94米
．（8分）∵cos∠CBD＝．∴BC＝≈≈17.77米（10分）∴AD+CD+BC≈5.38+10.94+17.77＝34.09≈
34.1米（11分）答：折断前发射塔的高约为34.1米．（12分）注意：按以下方法进行近似计算视为正确，请相应评分．①若到最后再进
行近似计算结果为：AD+CD+BC＝34.1；②若解题过程中所有三角函数值均先精确到0.01，则近似计算的结果为：AD+CD+BC
≈5.40+10.88+17.66＝33.94≈33.9．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解
直角三角形．41．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：（
1）在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；（2）在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），
测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；（3）量出A，B两点间的距离为4.5米．请你根据以上数据求出大树CD的高度．（精确到0.
1米）（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【分析】首先分析图形：本题涉及
到两个直角三角形△DBC、△ADC，应利用其公共边CD构造等量关系，借助AB＝AD﹣DB＝4.5构造方程关系式，进而可求出答案．【
解答】解：设CD＝x米；∵∠DBC＝45°，∴DB＝CD＝x，AD＝x+4.5；在Rt△ACD中，tan∠A＝，∴tan35°＝；
解得：x＝10.5；所以大树的高为10.5米．解法2：在Rt△ACD中，tan∠A＝，∴AD＝；在Rt△BCD中，tan∠CBD＝
，∴BD＝；而AD﹣BD＝4.5，即﹣＝4.5，解得：CD＝10.5；所以大树的高为10.5米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，
要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．42．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，
∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝4．求BC的长和tan∠ADC的值．【分析】首先作AE⊥BC，构建直角三角形，然后根据直角三角形
特殊角的三角函数，即可推出EC和AE的长度，再根据∠B的正切值推出BE的长度，既而推出BC和C、BD的长度，便知DE＝DC﹣EC＝
BC﹣EC＝，根据正切的定义，即可推出tan∠ADC的值．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，在Rt△AEC中，∵AC＝4，∴cos∠C＝，即cos45°＝，∴EC＝4×cos45°＝2，又∵∠C＝45°，∴AE＝EC＝2，在Rt△AEB中，tan∠B＝，即tan30°＝，∴BE＝＝2，∴BC＝BE+EC＝2+2，∴DE＝DC﹣EC＝BC﹣EC＝（2+2）﹣2＝﹣，∴tan∠ADC＝＝＝+1．【点评】本题主要考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，关键在于根据题意作出辅助线构建直角三角形，推出AE，DE的长度．43．如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i＝1：，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为45°，在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．（≈1.73，精确到0.1米）【分析】（1）过D作DF垂直于坡底的水平线BC于点F，再由斜坡的坡比的概念，可得坡角为30°；解Rt△DFB可得DF即山高；（2）首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形Rt△AED与Rt△ACB，解可得AC与BC的大小，再由AC＝AE+EC，进而可求出答案．【解答】解：（1）如图，过D作DF垂直于坡底的水平线BC于点F．由已知，斜坡的坡比i＝1：，于是tan∠DBC＝，∴坡角∠DBC＝30°．于是在Rt△DFB中，DF＝DBsin30°＝25，即小山高为25米．（2）设铁架的高AE＝x．在Rt△AED中，已知∠ADE＝60°，于是DE＝，在Rt△ACB中，已知∠ABC＝45°，∵AC＝AE+EC＝AE+DF＝x+25，又BC＝BF+FC＝BF+DE＝25x，由AC＝BC，得x+25＝25x．∴x＝25≈43.3，即铁架高43.3米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 1 / 1 |
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