2020北京海淀初三（上）期末数学备考训练新定义（学生版）一．解答题（共50小题）1．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b
，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正
方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．（1）图1中点C的坐标为 ；（2）改变图1中的点A的位置，其余条
件不变，则点C的 坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为 ；（3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．①判断：结论“点C落在
x轴上，则点D落在第一象限内．” （填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T的圆
心为T（t，0），半径为1．若a＝4，b＞0，且点C恰好落在⊙T上，直接写出t的取值范围2．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点
P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半
径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标 ；（2）若点B是
点A关于⊙O的“生长点”，且满足tan∠BAO＝，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线y＝x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，
若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是 ．3．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y＝ax+b为抛物线y＝
ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y＝ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点
A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为 ；（2）若抛物线y＝ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、
点B的位置；（3）设抛物线y＝ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若
特征点C为直线y＝﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是 ．4．在平面直角坐标系xOy中，设
点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大
值为n，则S＝mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得
最大值，且最大值m＝2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n＝2．则图形W的测度面积S＝
mn＝4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA＝OB＝1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S＝ ；②如图4，当A
B⊥x轴时，它的测度面积S＝ ；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为 ；（3）若图形W是一个
边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．5．在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△
ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，
E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0
），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值
范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．6．对于平面直角坐标系xOy
中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M
，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）
记函数y＝kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）＝1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0
），半径为1．若d（⊙T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图
形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（
，），P3（，0）中，⊙O的关联点是 ．②点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x
轴上，半径为2，直线y＝﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
8．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形
的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A
的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正
方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求
m的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上
存在一点P′，满足CP+CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′
与圆心C重合时，规定CP′＝0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在
？若存在，求其坐标；②点P在直线y＝﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2
）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在
⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．10．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y≤M，
则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别
判断函数 y＝（x＞0）和y＝x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b
，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数 y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个
单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？11．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C
上存在两个点A、B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．（1）当⊙O的半径为
1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是 ．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙
O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy
中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点
P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1
（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q
与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动
点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线
y＝x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原
点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．13．如图1，若抛物线L1的顶点
A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一
条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．（1）如图2，已知抛物线L3：y＝2x2﹣8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称
轴对称的对称点D的坐标；（2）请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量
的取值范围；（3）若抛物y＝a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y＝a2（x﹣h）2+k，请写出a1与a2的关系
式，并说明理由．14．对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l
，点P是垂线l上的另外一个动点．如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的
“关联点”．如图，M（1，2），N（4，2）．（1）在点P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有
；（2）如果点P在直线y＝x+1上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围；（3）如果点P在以O（1，﹣1）为圆
心，r为半径的⊙O上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出⊙O半径r的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给
出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为
“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是 ；②若点B
在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D
．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在
一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和
图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．（1）如图1，已知点A（
0，3），B（2，3）．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是 ，最大值是 ；②在P1（），P2（1，4），P3（﹣3
，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是 （2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第
一象限，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围．（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的
正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个
点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0
），C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间
的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．（1）已知点E（0，4），①直接写出d（点E）的值；②直线y＝
kx+4（k≠0）与x轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；（2）⊙T的圆心为T（t，3），半径为1．若d（⊙T
）＜6，直接写出t的取值范围．18．对于平面直角坐标系xOy中的直线l和图形M，给出如下定义：P1、P2、……、Pn﹣1、Pn是图
形M上n（n≥3）个不同的点，记这些点到直线l的距离分别为d1、d2、……、dn﹣1、dn，若这n个点满足d1+d2+……+dn﹣
1＝dn，则称这n个点为图形M关于直线l的一个基准点列，其中dn为该基准点列的基准距离．（1）当直线l是x轴，图形M上有三点A（﹣
1，1）、B（1，﹣1）、C（0，2）时，判断A、B、C是否为图形M关于直线l的一个基准点列？如果是，求出它的基准距离；如果不是，
请说明理由；（2）已知直线l是函数y＝﹣x+3的图象，图形M是圆心在y轴上，半径为1的⊙T，P1、P2、……、Pn﹣1、Pn是⊙T
关于直线l的一个基准点列．①若T为原点，求该基准点列的基准距离dn的最大值；②若n的最大值等于6，直接写出圆心T的纵坐标t的取值范
围．19．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C
的关联整点．（1）当⊙O的半径r＝2时，在点D（2，﹣2），E（﹣1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是 ；（2）若直线y
＝﹣x+4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝﹣x+4上存在⊙C的关
联整点，求圆心C的横坐标t的取值范围．20．对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P
，Q两点间距离的最大值为dmax，P，Q两点间距离的最小值为dmin，我们把dmax+dmin的值叫点P和图形N间的“和距离”，记
作d（P，图形N）．（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，A（3，3）．①点O到线段AB的“和距离”d（O，线段AB）＝ ；②
设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d（P，正方形ABCD）＝7，求点P的坐标．（2）如图2，在（1）的条件下，过C，
D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6＜d（M，线段AC）＜6+3，直接写出M点横坐标t取值范围．21．在
平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），称d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P
1、P2两点的直角距离．（1）已知：点A（1，2），直接写出d（O，A）＝ ；（2）已知：B是直线y＝﹣x+3上的一个动点．①如图
1，求d（O，B）的最小值；②如图2，C是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求d（B，C）的最小值．22．对于平面直角坐标
系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．（1）当⊙
O的半径为2时，①如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的称心点是 ；②如图2，点D在直线y＝x上，若点D是
⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；（2）⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点E，F．若
线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．23．对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上
任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d（P，Q）．已
知点A（4，0），B（0，4），连接AB．（1）d（点O，AB）＝ ．（2）⊙O半径为r，若d（⊙O，AB）＝0，求r的取值范围；
（3）点C（﹣3，﹣2），连接AC，BC，⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，d（⊙T，△ABC），且0＜d＜2，求t的取值范围．
24．在平面直角坐标系xOy中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段AB的“似中点”．（1）已
知A（1，0），B（3，2），在点C（1，3）、D（2，1）、E（4，﹣2）、F（3，0）中，线段AB的“似中点”是点 ；（2）直线y＝与x轴交于点M，与y轴交于点N．①若点H是线段MN的“似中点”，且在坐标轴上，求H点的坐标；②若⊙P的半径为2，圆心P为（t，0），若⊙P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围．25．在平面直角坐标系xOy中，如果等边三角形的一边与x轴平行或在x轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形．（1）已知A（1，0），B（﹣1，0），若△ABC是水平正三角形，则点C坐标的是（只填序号）； ①（1，2），②（0，），③（0，﹣1），④（0，）（2）已知点O（0，0），E（1，），F（0，﹣2），以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是 ，并求出此时点P的坐标；（3）已知⊙O的半径为，点M是⊙O上一点，点N是直线y＝上一点，若某个水平正三角形的两个顶点为M，N，直接写出点N的横坐标xN的取值范围． 1 / 1 |
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