2020北京海淀实验中学初三（下）适应练习数 学一、选择题：本大题共8小题，每小题2，共16在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．1.随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016年北京丰台口岸进口货值飙升至189 000 00
0美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将189 000 000用科学记数法表示应（ ）A. 189×106B. 1.89×106
C. 18.9×107D. 1.89×1082.在数轴上，实数a，b对应的点的位置如图所示，且这两个点到原点的距离相等，下列结论中
，正确的是（ ）A. B. C. D. 3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 三棱柱B. 长方体C. 圆锥D.
圆柱4.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB＝
75°，则∠PNM等于( )A. 15°B. 25°C. 30°D. 45°5.一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（
）A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形6.如果，那么代数式的值是（ ）A. ﹣2B. 2C. D. 7.在“校园读书
月”活动中，小华调查了班级里名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．下面有四个推断：这次调查获取的样本数
据的众数是元这次调查获取的样本数据的中位数是元若该校共有学生人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费元的学生有人花费不超过元
同学共有人．其中合理的是（ ）A. B. C. D. 8.如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向交
通主干道a和南北向的交通主干道b，若他希望租住的小区到主干道a和主干道b的直线距离之和最小，则图中符合他要求的小区是（ ）A.
甲B. 乙C. 丙D. 丁二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）9.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长
为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____毫米．10.
已知，一次函数y=kx+b（k≠0）图象经过点（0，2），且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：__．11.
如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点均在格点上.在网格中建立平面直角坐标系，且，.如果点也在此的正方形网
格的格点上，且是等腰三角形，那么当的面积最大时，点的坐标为___．12.用一组的值说明命题“对于非零实数，若，则”是错误的，这组值
可以是______，_____.13.如图，为的直径，与相切于点，弦．若，则______.14.京张高铁是2022年北京冬奥会的重
要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速．其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧
道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时．按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟（小时），
求清华园隧道全长为多少千米．设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为__________．15.某校初一年级68名师生参加社会
实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：车型大巴车（最多可坐55人）中巴车（最多可坐39人）小巴车（最多可坐26人）每车租金（元
∕天）900800550则租车一天的最低费用为____元.16.某实验室对150款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的30
款保温杯的保温性、便携性与综合质量在此检测中的排名情况如图所示，可以看出其中A型保温杯的优势是_____．三、解答题（本题共68
分，第17-22 题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27- 28 题，每小题 7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明
过程． 17.计算：4sin60°+．18.解不等式组：19.如图，在中，，点是边上一点，垂直平分，交于点，交于点，连结，求证：．
20.已知：关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果m为非负整数，且该方程的
根都是整数，求m的值．21.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BC，点E是BC延长线上一点， ，连接D
E.(1)求证：四边形ACED为矩形；(2)连接OE，如果BD=10，求OE的长.22.如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交
于点，与轴交于点．（1）求的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n），过点P作平行于轴的直线,交反比例函数的图象
于点，交直线于点，连接．若，求的值．23.如图，为上一点，点在直径的延长线上，求证：是的切线；过点作的切线交的延长线于点．若依题意
补全图形并求的长24.为了了解某区的绿化进程，小明同学查询了园林绿化政务网，根据网站发布的近几年该城市城市绿化资源情况的相关数据，
绘制了如下统计图（不完整）某市2015-2019年人均公共绿地面积年增长率统计图 某市2015-2019年人均公共绿地面积统计图
请根据以上信息解答下列问题：求2018年该市人均公共绿地面积多少平方米(精确到？补全条形统计图；小明同学还了解到自己身边的许多同学
都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高人均公共绿地面积做贡献，他对所在班级的多名同学2019年参与植树的情况做了调查，
并根据调查情况绘制出如下统计表：种树棵数（棵）人数如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，他所在学校的名同学在2019年共植树多
少棵？25.如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延
长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变
化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平
面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BQ与直径AB所夹的
锐角为60°时，PM的长度约为______cm．26.已知抛物线．求出抛物线的对称轴方程以及与轴的交点坐标当时，求出抛物线与轴的交
点坐标已知三点构成三角形，当抛物线与三角形的三条边一共有个交点时，直接写出的取值范围．27.问题：如图1，在中，，点是射线上任意一
点，是等边三角形，且点在的内部，连接．探究线段与之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分
析并加以证明．当点与点重合时(如图2)，请你补全图形．由的度数为_______________，点落在______________
_，容易得出与之间的数量关系为_______________当是的平分线时，判断与之间的数量关系并证明当点在如图3的位置时，请你画
出图形，研究三点是否在以为圆心的同一个圆上，写出你的猜想并加以证明．28.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某
个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点的相关矩形"．下图为点的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为．若点
坐标为，求点的“相关矩形”的周长；点在直线上，若点的“相关矩形”为正方形，已知抛物线经过点和点，求抛物线与轴的交点的坐标；的半径为
，点是直线上的从左向右的一个动点．若在上存在一点使得点的“相关矩形”为正方形，直接写出动点的横坐标的取值范围．2020北京海淀实验
中学初三（下）适应练习数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题2，共16在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.【答案】D【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【
详解】∴189 000 000＝1.89×108．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10-n，其中1≤
|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．2. 【答案】A【解析】由题意可知a<0<1 0，|a|=|b|，ab<0，∴选项A正确，选项B、C、D错误，故选A.3. 【答案】B【解析】试题解析：根据主视图和左视图都是宽
度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．故选B．4.【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性
质得到，由等腰直角三角形的性质得到，即可得到结论．【详解】，，，，故选C．【点睛】考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌
握平行线的性质是解题的关键．5. 【答案】B【解析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，结合方程即可求出答案．解：设
这个多边形的边数为n，由题意，得（n﹣2）180°=720°，解得：n=6，故这个多边形是六边形．故选B．6. 【答案】C【解析】
【详解】解：原式= ∵x+y=4，∴原式= 故选C．【点睛】本题考查的是分式的化简和代入求值．7. 【答案】C【解析】【分析】根据
众数、中位数的定义及样本估计总体的思想解答可得．【详解】解：由条形图知30出现次数最多，即众数为30，故①正确；由于共有40个数据
，则中位数为第20、21个数据的平均数，即中位数为 =50，故②错误；估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有1200× =30
0（人），故③正确；花费不超过50元的同学共有6+12+10=28人，故④错误；故选：C．【点睛】本题主要考查众数、中位数及样本估
计总体，熟练掌握众数、中位数的定义及样本估计总体的思想是解题的关键．8. 【答案】C【解析】【分析】分别作甲、乙、丙、丁四个小区关
于道路a和道路b的对称点，分别连接对称点，线段最短的即为所求【详解】解：分别作甲、乙、丙、丁四个小区关于道路a和道路b的对称点，分
别连接对称点，线段最短的即为所求，如图：从图中可知丙小区到两坐标轴的距离最短；故选C．【点睛】本题考查轴对称求最短路径；通过两次作
轴对称，将问题转化为对称点的连线最短是解题的关键．二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）9.【答案】 【解析】分析
：利用相似三角形性质：相似三角形的对应边的比相等，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．详解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△
CAB，∴CD：CA=DE：AB，∴20：60=DE：10，∴DE=（毫米）， ∴小管口径DE的长是毫米.点睛：本题考查了相似三角
形的实际应用.借助相似三角形的性质，即相似三角形的对应边的比相等来建立方程是解题的关键.10. 【答案】y=﹣x+2【解析】【分析
】根据题意可知k＜0，这时可任设一个满足条件的k，则得到含x、y、b三个量的函数式，将（0，2）代入函数式，求得b，那么符合条件的
函数式也就求出．【详解】∵y随x的增大而减小∴k＜0∴可选取﹣1，那么一次函数的解析式可表示为：y=﹣x+b把点（0，2）代入得：
b=2∴要求的函数解析式为：y=﹣x+2．故答案为y=﹣x+2．【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，对于一次函数y=kx+b（
k为常数，k≠0）,当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.本题需注意应先确定x的系数，然后把适合的点代入
求得常数项．11.【答案】；【解析】【分析】以，为条件建立坐标系，然后结合网格结构可知，构成格点三角形只有以AB为腰的等腰三角形，
其中等腰直角三角形时的面积最大时点的坐标【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，故以AB为腰作等腰直角三角形面积最大，∴当的面积最
大时，点的坐标为；或.故填：；【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图．根据网格的特点作出最大的等腰三角形是解题的关键所在．12.【
答案】 (1). (2). 【解析】【分析】通过a取-1，b取1可说明命题“若a＜b，则”是错误的．【详解】当a=-1，b=1时
，满足a＜b，但．故答案为-1，1．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说
明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．13.【答案】54【解析】【分析】利用切线的
性质得，利用直角三角形两锐角互余可得，再根据平行线的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质求出的度数即可．【详解】∵与相切于点，∴A
C⊥AB，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴．故答案为54．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，
必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．14. 【答案】【解析】【分析】设清华园隧道全长为x千米，根据地下隧道运行时间比地上大
约多2分钟，列出方程解答即可．【详解】解：设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为，故答案为【点睛】本题考查了分式方程的应用，
解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．15.【答案】1450【解析】【分析】根据题意，求出大巴车，中巴
车，小巴车每个座位的费用，方案中最好有大巴车，写出方案再进行比较即可.【详解】解：大巴车每个座位的费用为：（元），中巴车每个座位的
费用为：（元），小巴车每个座位的费用为：（元），方案1：用大巴车，需要2辆，费用为：1800元.方案2：用中巴车，需要2辆，费用为
：1600元.方案3：用小巴车，需要3辆，费用：元.方案4：用大巴车1辆和中巴车1辆，费用为：1700元.方案5：用大巴车1辆和小
巴车1辆，费用为：1450元.则租车一天的最低费用为1450元.故答案为1450.【点睛】此题主要考查了方案的选择，解题的关键是读
懂题意，找出几种方案进行比较．16.【答案】便携性【解析】【分析】从点图的分布可以看到在便携性中，综合质量名次好于保温性；【详解】
解：从分布的情况可以看到便携性的综合名次好于保温性，故答案为便携性；【点睛】本题考查用样本估计总体；能够从图中综合对比出样本的优劣
是解题的关键．三、解答题（本题共68 分，第17-22 题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27- 28 题，每小题 7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 【答案】1【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零次幂、绝
对值的运算法则进行运算，即可得到答案.【详解】原式＝==1.【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握特殊的三角函数值，二次根式的化简，
绝对值的运算是解题的关键．18. 【答案】﹣5≤x＜2．【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可.【详解】解：
解不等式①，得 x＜2，解不等式②，得x≥﹣5，∴原不等式组的解集为﹣5≤x＜2．【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的求解，解题
的关键是熟知不等式的解法.19.【答案】见详解．【解析】【分析】由等腰三角形的性质得出，然后根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质
得出，通过等量代换得到，最后利用同位角相等，两直线平行即可证明结论．详解】∵， ．∵垂直平分，∴，，，．【点睛】本题主要考查等腰三
角形的性质，垂直平分线的性质和平行线的判定，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和平行线的判定是解题的关键．20. 【答案】（1
）m＜2；（2）m=0.【解析】【分析】根据根的判别式直接确定m的范围，通过第一问中确定的m的范围，结合m为非负整数，直接代入进去
m存在的两个值来验证方程的根是否都是整数来确定m值.【详解】(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0.∴△=16-8m＞0.∴m
＜2 (2)∵m＜2，且m为非负整数，∴m=0或1 当m=0时，方程为x2-4x=0，解得x1=0，x2=4，符合题意；当m=1时
，方程为x2-4x+2=0，根不是整数，不符合题意，舍去.综上m=0【点睛】本题考查了学生通过根的判别式来确定一元二次方程中待定系
数范围，掌握代入法解题是解决此题的关键.21.【答案】(1)证明见解析；(2)OE=5.【解析】【分析】（1）由题干可知四边形AB
CD是平行四边形，且 ,可证明四边形ACED是平行四边形，又AC⊥BC，可证明四边形ACED是矩形；（2）由（1）可得∠E=90°
，在Rt△ADE中根据定理可得，OE=BD，根据BD的长度可计算出OE的长度.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴
AD=BC，，又∵ ，∴AD=CE∴四边形ABCD是平行四边形，又∵，∴∠ACE=90°，∴四边形ACED是矩形.(2)∵对角线A
C，BD交于点O，∴点O是BD的中点，∵四边形ACED是矩形，∴∠E=90°，在Rt△ADE中根据定理可得OE=BD，又∵BD=1
0，∴ OE=5，故答案为5.【点睛】此题考查了矩形的判定与性质．熟练运用矩形和直角三角形的定理是解题的关键．22.【答案】（1）
；（2）【解析】【详解】试题分析：将代入直线中，即可求得的值，得到，将代入中，即可求出反比例函数的解析式.由得，、,,,，MN∥x
轴,表示出, ，列出方程，求出的值即可.试题解析：（1）将代入直线中，得， ，∴，将代入中，得，，∴.（2）如图由得，、,∴,∴,
∵，MN∥x轴,∴, ，∴，∴，解得，.23. 【答案】（1）见解析；（2）补全图形见解析，DE=【解析】【分析】（1）连结OD，
根据圆周角定理得到∠ADO+∠ODB=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠ODB，于∠CDA+∠ADO=90°；（2）根据切
线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，推出AD∥OE，∠OEB=∠ADC，即可解决问题；【详解】解：（1）证明：如图，连接OD， ∵
AB为直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，又∵∠CDA=∠CBD，而∠CBD=∠ODB，∴∠ODB =∠CDA
，∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）如图所示，连接EO．∵EB为⊙O切线，ED为切线，∴
∠OED=∠OEB，BE=DE,∵AD⊥BD，OE⊥BD，∴AD∥OE，∴∠CDA=∠OED=∠OEB，∴tan∠OEB=,∵AB
=6，∴OB=3，∴BE=DE=.【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质、勾股定理；熟练掌握
切线的判定与性质，由三角函数和证明三角形相似是解决问题（2）的关键．24. 【答案】（1）①15.0平方米；②见解析；（2）675
棵【解析】【分析】（1）①根据条形图可得2017年该市人均公共绿地面积是14.5，根据折线图可得出2018年该城市人均公共绿地面积
在2017年的基础上增长3.4%，进而求出即可；②利用①中所求，画出条形图即可；（2）根据40名同学2019年参与植树的情况，求出
平均值，即可估计300名同学在2019年共植树棵数，【详解】解：（1）①14.5×（1+3.4%）≈15.0，答：2018年该市人
均公共绿地面积是15.0平方米；②补全条形统计图如下：（2）每人平均植树=2.25（课），则估计他所在学校的300名同学在2015
年共植树300×2.25=675棵．【点睛】本题需利用条形统计图与折线统计图综合应用以及利用样本估计总体，根据图形获取正确信息是解
题关键．25. 【答案】（1）4，0；（2）见解析；（3）1.1或3.7【解析】【分析】（1）当x=2时，PM⊥AB，此时Q与M重
合，BQ=BM=4，当x=4时，点P与B重合，此时BQ=0．（2）利用描点法画出函数图象即可；（3）根据直角三角形30度角的性质，
求出y=2，观察图象写出对应的x的值即可；【详解】（1）当x＝2时，PM⊥AB，此时Q与M重合，BQ＝BM＝4，当x＝4时，点P与
B重合，此时BQ＝0．故答案为4，0．（2）函数图象如图所示：（3）如图，在Rt△BQM中，∵∠Q＝90°，∠MBQ＝60°，∴∠
BMQ＝30°，∴BQ＝BM＝2，观察图象可知y＝2时，对应的x的值为1.1或3.7．故答案为1.1或3.7．【点睛】本题考查圆的
综合题，垂径定理，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题.26. 【答案】
（1）x=2，（0，3）；（2）（，0），（，0）；（3）：0＜m＜或m＞1【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴为求得对称轴方程
，令x=0，可得与y轴的交点坐标；（2）令m=2，y=0，解方程即可得出与x轴的交点坐标；（3）分别将抛物线经过点A、与x轴只有一
个交点时的图像画出，结合图像讨论m的取值范围.【详解】解：（1）∵，∴对称轴的方程为，令x=0，y=3，∴与y轴交点坐标为（0，3
）；（2）∵m=2，令y=0，则，解得，，∴抛物线与x轴交点坐标为（，0），（，0）；（3）由题意可得：，可得抛物线经过点（0，3
），（4，3），不经过点B，抛物线对称轴为直线x=2，A（1，0），B（4，0），如图1，当抛物线开口无限小时，即m无限大，抛物线
与△ABC有两个交点；如图2，当抛物线经过点A时，抛物线与△ABC恰好有3个交点，此时，将点A（1，0）代入，解得：m=1；如图3
，当抛物线与x轴只有1个交点时，抛物线与△ABC恰好有3个交点，此时，，解得：m=或0（舍）；综上：若抛物线与△ABC的三条边一共
有个交点时，m的取值范围是：0＜m＜或m＞1.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，图像与系数的关系，解题的关
键是结合图像讨论抛物线与三角形有不同交点数时候的情况.27.【答案】（1）60°；AB的中点处；BE=DE；（2）BE=DE，理由
见解析；（3）A、B、D在以E为圆心的同一个圆上，画图和理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，由直角三角形及等边三角形
的性质即可得出结论；（2）画出图形，根据题意证明AD=BD，再由△ADE是等边三角形，得出∠BDE=60°，即△BDE为等边三角形
，可得结论；（3）根据题意画出图形，猜想：BE=DE，取AB的中点F，连接EF，由∠ACB=90°，∠ABC=30°，可知∠1=6
0°，CF=AF=AB，故△ACF是等边三角形，再由△ADE是等边三角形可得出∠CAD=∠FAE，由全等三角形的判定定理可知△AC
D≌△AFE，故∠ACD=∠AFE=90°．由F是AB的中点，可知EF是AB的垂直平分线，进而可得出△ADE是等边三角形，故DE=
AE，BE=DE，可得点E在BD的垂直平分线上，即可证明.【详解】解：（1）如图，∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=6
0°，∵△ADE是等边三角形，∴AE=CE，∴点E落在AB的中点处；∴AE=CE=BE=DE，故答案为：60°；AB的中点处；BE
=DE；（2）BE=DE，∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=30°=∠ABC=∠CAD，∴AD=BD，∵△ADE是
等边三角形，∴DE=AD，∴DE=DB，∵∠C=90°，∴∠ADC=∠ADE=60°，∴∠BDE=60°，∴△BDE为等边三角形，
∴BE=DE；（3）如图为所画图形，猜想：A、B、D在以E为圆心的同一个圆上，理由是：设AB中点为F，连接CF，EF，∵∠ACB=
90°，∠ABC=30°，∴∠1=60°，CF=AF=AB，∴△ACF是等边三角形．∴AC=AF，∵△ADE是等边三角形，∴∠2=
60°，AD=AE，∴∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠CAD=∠FAE，在△ACD和△AFE中，，∴△ACD≌△
AFE（SAS），∴∠ACD=∠AFE=90°，∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线，∴BE=AE，∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，∴BE=DE，∴点E在BD的垂直平分线上，∴A、B、D在以点E为圆心的同一个圆上.【点睛】本题考查的是等边三角形的性
质及直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．28. 【答案】（1）①12；②
（0，2）或（0，4）；（2）4-3≤m≤4+3或-4-3≤m≤4-3.【解析】【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的
相关矩形周长，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的长与宽，进而可求出该矩形的周长；②由定义可知，AC必为正方形的
对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再将A（1，0）代入y=kx+b，即可
求出b的值，从而可得点C的坐标，求出抛物线的表达式即可得到点D的坐标；（2）由定义可知，EF必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为
正方形，即直线EF与x轴的夹角为45°，由因为点F在圆O上，所以该直线EF与圆O一定要有交点，由此可以求出点E的横坐标的范围．【详
解】解：（1）①∵A（1，0），B（2，5）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的长与宽分别为5和1，∴点A，B的“相关矩形”的周长
为2×（5+1）=12；②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹
角为45°，设直线AC的解析为：y=x+m或y=-x+n把（1，0）代入y=x+m，∴m=-1，∴直线AC的解析为：y=x-1，把
（1，0）代入y=-x+n，∴n=1，∴y=-x+1，∴直线AC的表达式为y=x-1或y=-x+1，∵点C在直线x=3上，代入，∴点C的坐标为（3，2）或（3，-2），当点C坐标为（3，2）时，A（1，0），代入中，，解得，∴抛物线表达式为：，与y轴交点为（0，2）；当点C坐标为（3，-2）时，A（1，0），代入中，，解得，∴抛物线表达式为：，与y轴交点为（0，4）；∴抛物线与y轴的交点D的坐标为（0，2）或（0，4）；（2）设直线EF的解析式为y=kx+b，∵点E，F的“相关矩形”为正方形，∴由定义可知：直线EF与x轴的夹角为45°，∴k=±1，∵点F在⊙O上，∴当直线EF与⊙O有交点时，点E，F的“相关矩形”为正方形，当k=1时，作⊙O的切线AD和BC，且与直线EF平行，其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC，设点E（m，3），把E代入y=x+b，∴b=3-m，∴直线EF的解析式为：y=x+3-m，∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，OA=4，∴OD=4， ∴D（0，4），同理可得：B（0，-4），∴令x=0代入y=x+3-m，∴y=3-m，∴-4≤3-m≤4，∴4-3≤m≤4+3，当k=-1时，把E（m，3）代入y=-x+b，∴b=3+m，∴直线MN的解析式为：y=-x+3+m，同理可得：-4≤3+m≤4，∴-4-3≤m≤4-3；综上所述，当点E，F的“相关矩形”为正方形时，点E横坐标取值范围是：4-3≤m≤4+3或-4-3≤m≤4-3.【点睛】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来． 1 / 1 |
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