2020北京首都师大附中初三一模数 学一、选择题1．若一个数的绝对值是5，则这个数是（ ）A．5B．﹣5C．±5D．0或52．2017年
我省粮食总产量695.2亿斤，居历史第二高位，695.2亿用科学记数法表示为（ ）A．695.2×108B．6.952×109C
．6.952×1010D．6.952×10113．下列运算正确的是（ ）A．2a2?a3＝2a6B．（3ab）2＝6a2b2C．
2abc+ab＝2D．3a2b+ba2＝4a2b4．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．5．如图，M、
N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示﹣1的点是（ ）A．点MB．点NC．点PD．点Q6．《九章算术》是我国古代数学的
经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中
装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两
（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）A．B．C．D．7．已知点A
（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则yx的值是（ ）A．2B．C．4D．88．黄山市某塑料玩具生产公司，为了减
少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y（万元）和月份n之间满足函数关
系式y＝﹣n2+14n﹣24，则企业停产的月份为（ ）A．2月和12月B．2月至12月C．1月D．1月、2月和12月9．如图，将
北京市地铁部分线路图置于正方形网格中，若设定崇文门站的坐标为（0，﹣1），雍和宫站的坐标为（0，4），则西单站的坐标为（ ）A．
（0，5）B．（5，0）C．（0，﹣5）D．（﹣5，0）10．关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可
能为（ ）A．2B．2.5C．3D．3.511．把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝
8，则直线AB的表达式为（ ）A．y＝﹣2x+4B．y＝﹣2x+8C．y＝﹣2x﹣4D．y＝﹣2x﹣812．已知抛物线y＝﹣x2
+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）A．﹣2B．﹣4C．2D．413．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移
至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（ ）A．5B．6C．7D．81
4．北京地铁票价计费标准如表所示：乘车距离x（公里）x≤66＜x≤1212＜x≤2222＜x≤32x＞32票价（元）3456每增加
1元可乘坐20公里另外，使用市政交通一卡通，每个自然月每张卡片支出累计满100元后，超出部分打8折；满150元后，超出部分打5折；
支出累计达400元后，不再打折．小红妈妈上班时，需要乘坐地铁15公里到达公司，每天上下班共乘坐两次，如果每次乘坐地铁都使用市政交通
一卡通，那么每月第21次乘坐地铁上下班时，她刷卡支出的费用是（ ）A．2.5元B．3元C．4元D．5元15．二次函数y＝x2+b
x的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）A
．0＜t＜5B．﹣4≤t＜5C．﹣4≤t＜0D．t≥﹣4二、填空题16．代数式有意义时，x应满足的条件是 ．17．计算：＝ ．18
．分解因式：4a2b﹣b＝ ．19．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2）．若线段AB∥x轴，且AB的长为4，则点B的坐标为
．20．关于x的不等式组的解集为1＜x＜4，则a的值为 ．21．若a2﹣2a﹣3＝0，代数式的值是 ．22．若函数y＝的函数值y
＝6，则自变量x的值为 ．23．已知P＝﹣（a≠±b），若点（a，b）在一次函数y＝x﹣1的图象上，则P的值为 ．24．计算机可以
帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（
x﹣3）＝x﹣3的解的个数为 ；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是 ．25．如图1，点P从
△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低
点，则△ABC的面积是 ．三、解答题（第1题7分，第2题8分，第3题10分，共25分）26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx
+b（k＜0），经过点（6，0），且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y＝（x＞0）的图象G交于A，B两点．（1）求直线的表达
式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当m＝2时，直接写出
区域W内的整点的坐标 ；②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．27．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低
点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发
现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2
）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外
一点P（M，O，N三点不共线，且点P，O在直线MN的异侧），当∠MPN+∠MON＝180°时，则称点P是线段MN关于点O的关联点．
图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．（1）如图2，已知M（，），N（，﹣），在
A（1，0），B（1，1），C（，0）三点中，是线段MN关于点O的关联点的是 ；（2）如图3，M（0，1），N（，﹣），点D是线段
MN关于点O的关联点．①∠MDN的大小为 ；②在第一象限内有一点E（m，m），点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，
并直接写出点E的坐标；③点F在直线y＝﹣x+2上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标x的取值范围．参考答案一、选择题（每小题3
分，共45分）1．【分析】当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；所以若一个数的绝对
值是5，则这个数是±5，据此判定即可．解：若一个数的绝对值是5，则这个数是±5．故选：C．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×1
0n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同
．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：695.2亿＝6.952×1010．故选：C．3．【分析】根
据整式的运算法则即可求出答案．解：（A）原式＝2a5，故A错误；（B）原式＝9a2b2，故B错误；（C）2abc与ab不是同类项，
故C错误；故选：D．4．【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．解：∵
解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集为：x＞3，在数轴上表示不等式组的解集为：故选：B．5．【分析】先求
出的范围，再求出﹣1的范围，即可得出答案．解：∵3.5＜＜4，∴2.5＜﹣1＜3，∴表示﹣1的点是Q点，故选：D．6．【分析】根据
题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝
13两，根据等量关系列出方程组即可．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故选：D．7．【分析】直接利用关于原点对称点
的性质得出x，y的值进而得出答案．解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，∴x﹣2+x+4＝0，y﹣5＝﹣3
，解得：x＝﹣1，y＝2，则yx＝2﹣1＝．故选：B．8． 【分析】根据题意可知停产时，利润为0和小于0的月份都不合适，从而可以解
答本题．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24＝﹣（n﹣2）（n﹣12），1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0
时，n＝1，故选：D．9． 【分析】首先利用已知点确定原点位置，进而得出答案．解：如图所示：西单站的坐标为：（﹣5，0）．故选：D
．10．【分析】根据判别式的意义得到△＝12﹣4×（a﹣2）＞0，然后解不等式即可．解：∵关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不
相等的实数根，∴△＝12﹣4×（a﹣2）＞0，解得a＜．观察选项，只有A选项符合题意．故选：A．11．【分析】由题意知，直线AB的
斜率，又已知直线AB上的一点（m，n），所以用直线的点斜式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．解：∵直线AB是直线y＝﹣2
x平移后得到的，∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其斜率不变）∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）①把点（m，n）代入①
并整理，得y＝﹣2x+（2m+n）②∵2m+n＝8③把③代入②，解得y＝﹣2x+8，即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．故选：B．
12．【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解；解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过
（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可
得n＝﹣4；故选：B．13．【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形AB
CO的面积，解：B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积，S
＝2×3＝6；故选：B．14． 【分析】根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可．解：小红妈妈每天的上下班的费用分别为5
元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8＝4元，故选：C．15．【分析】先
求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜
4时﹣4≤y＜5，进而求解；解：∵对称轴为直线x＝2，∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以
看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，∵﹣1＜x＜4，∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，∴﹣4≤t＜5；故选：B．二、填空
题（每小题3分，共30分）16．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．解：代数式有意义时，x﹣8＞0，解得：x＞8
．故答案为：x＞8．17．【分析】本题涉及有理数的乘方、算术平方根、特殊角三角函数3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算
，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式＝3+（﹣1）﹣2×＝3﹣1﹣1＝1故答案为1．18．【分析】原式提取b，再利用平方
差公式分解即可．解：原式＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）19． 【分析】根据平
行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况列式求出点B的横坐标，即可得解．解：∵点A的坐
标为（﹣3，2），线段AB∥x轴，∴点B的纵坐标为2，若点B在点A的左边，则点A的横坐标为﹣3﹣4＝﹣7，若点B在点A的右边，则点
A的横坐标为﹣3+4＝1，∴点B的坐标为（﹣7，2）或（1，2）．故答案为：（﹣7，2）或（1，2）．20．【分析】分贝求出不等式
组中两个不等式的解集，根据题意得到关于a的方程，解之可得．解：解不等式2x+1＞3，得：x＞1，解不等式a﹣x＞1，得：x＜a﹣1
，∵不等式组的解集为1＜x＜4，∴a﹣1＝4，即a＝5，故答案为：5．21．【分析】由a2﹣2a﹣3＝0可得a2﹣2a＝3，根据整
体代入，可得答案．解：∵a2﹣2a﹣3＝0，∴a2﹣2a＝3．∴＝＝．故答案为：．22．【分析】把y＝6直接代入函数y＝即可求出自
变量的值．解：把y＝6代入函数y＝，先代入上边的方程得x＝±2，再代入下边的方程x＝3，故x＝2或﹣2或3，故答案为x＝2或﹣2或
3．23．【分析】根据分式的减法可以化简P，然后根据点（a，b）在一次函数y＝x﹣1的图象上，可以得到a﹣b的值，然后代入化简后的
P，即可求得P的值．解：P＝﹣＝＝＝＝，∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣1的图象上，∴b＝a﹣1，得a﹣b＝1，∴当a﹣b＝1时，
原式＝＝1，故答案为：1．24．【分析】利用图象，通过函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象的交点个数判断方程x2（x
﹣3）＝x﹣3的解的个数；利用函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象与直线y＝1的交点位置可判断m、n的大小关系．解：函数y＝x
2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与
直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y＝1的交点的横坐标，如图，由图象得m＜n．故答案为3，m＜n．
25．【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．解
：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5，即BC＝5，由于M是曲线部分
的最低点，∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP＝4，∴由勾股定理可知：PC＝3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∵图象右端点函数值为
5，∴AB＝BC＝5∴PA＝3，AP＝PC＝3，∴AC＝6，∴△ABC的面积为：×4×6＝12故答案为：12三、解答题（第1题7分
，第2题8分，第3题10分，共25分）26．【分析】（1）借助直线与x轴、y轴的交点坐标表示出直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边
长，利用面积是9，求出直线与y轴的交点为C（0，3），利用待定系数法求出直线的表达式；（2）①先求出当m＝2时，两函数图象的交点坐
标，再结合图象找到区域W内的整点的坐标；②利用特殊值法求出图象经过点（1，1）、（2，1）时，反比例函数中m的值，结合图象得到在此
范围内区域W内整点有3个，从而确定m的取值范围为1≤m＜2．解：如图：（1）设直线与y轴的交点为C（0，b），∵直线与两坐标轴围成
的三角形的面积是 9∴×6?|b|＝9，b＝±3．∵k＜0，∴b＝3．∵直线 y＝kx+b 经过点（6，0）和（0，3），∴直线的
表达式为y＝﹣x+3；（2）①当m＝2时，两函数图象的交点坐标为方程组的解，∴A（3﹣，），B（3+，），观察图象可得区域W内的整
点的坐标为（3，1）；②当y＝图象经过点（1，1）时，则 m＝1．当y＝图象经过点（2，1）时，则 m＝2．∴观察图象可得区域W内
的整点有3个时1≤m＜2．27． 【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．（2）写
出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣
3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数
H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．法二：联立函数H解析式与抛物线
解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．解：（1）∵y＝
mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3（2）∵抛物线G：y＝
m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，
y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数
关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y
＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣
m﹣3＝﹣3∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA∴点P纵坐标的取值范围为﹣
4＜yP＜﹣3法二：整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）
≠0∴m＝＞0∵x＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵yP＝﹣x﹣2∴﹣4＜yP＜﹣328． 【分
析】（1）由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN的中点为圆心，为半径的圆上，所以点C满足条件；（2）①如图3﹣1中，作NH⊥
x轴于H．求出∠MON的大小即可解决问题；②如图3﹣2中，结论：△MNE是等边三角形．由∠MON+∠MEN＝180°，推出M、O、
N、E四点共圆，可得∠MNE＝∠MOE＝60°，由此即可解决问题；③如图3﹣3中，由②可知，△MNE是等边三角形，作△MNE的外接
圆⊙O′，首先证明点E在直线y＝﹣x+2上，设直线交⊙O′于E、F，可得F（，），观察图形即可解决问题；解：（1）由题意线段MN关于点O的关联点的是以线段MN的中点为圆心，为半径的圆上，所以点C满足条件，故答案为C．（2）①如图3﹣1中，作NH⊥x轴于H．∵N（，﹣），∴tan∠NOH＝，∴∠NOH＝30°，∠MON＝90°+30°＝120°，∵点D是线段MN关于点O的关联点，∴∠MDN+∠MON＝180°，∴∠MDN＝60°．故答案为60°．②如图3﹣2中，结论：△MNE是等边三角形．理由：作EK⊥x轴于K．∵E（m，m），∴tan∠EOK＝，∴∠EOK＝30°，∴∠MOE＝60°，∵∠MON+∠MEN＝180°，∴M、O、N、E四点共圆，∴∠MNE＝∠MOE＝60°，∵∠MEN＝60°，∴∠MEN＝∠MNE＝∠NME＝60°，∴△MNE是等边三角形．③如图3﹣3中，由②可知，△MNE是等边三角形，作△MNE的外接圆⊙O′，易知E（，1），∴点E在直线y＝﹣x+2上，设直线交⊙O′于E、F，可得F（，），观察图象可知满足条件的点F的横坐标x的取值范围≤xF≤． 1 / 1 |
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