2020北京西城初三（上）期末数学备考训练圆（教师版）一．选择题（共17小题）1．如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且＝，∠A＝40°，
则∠CEB的度数为（ ）A．50°B．80°C．70°D．90°2．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，
E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（ ）A．16B．14C．12D．103．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦
，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（ ）A．34°B．46°C．56°D．66°4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两
点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（ ）A．55°B．45°C．35°D．25°5．如图，A
B是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（ ）A．5B．C．3D．6．如
图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB＝90°，OP＝6，则OC的长为（ ）A．12B．C．D
．7．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的
度数为（ ）A．30°B．45°C．50°D．70°8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE＝12
0°，那么∠B等于（ ）A．130°B．120°C．80°D．60°9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝100°，则∠
ACB的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．80°10．若两个圆的半径分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是
（ ）A．内含B．内切C．相交D．外切11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC的度数为（ ）A．20
°B．40°C．60°D．80°12．如果两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．外离B．外切C．
相交D．内切13．如图，正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为O，EF与GH是此外接圆的直径，EF＝4，AD⊥GH，EF⊥GH，则
图中阴影部分的面积是（ ）A．πB．2πC．3πD．4π14．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠ACB＝75°，点D是BC边上一
动点，以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长为（ ）A．B．C．1.5D．15．如图，在
⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D＝30°，BD＝2，则AE的长为（ ）A．2B．3C．4D．516．若正六边形的边
长等于4，则它的面积等于（ ）A．B．C．D．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C
（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（ ）A．2B．C．D．二．填空
题（共12小题）18．如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂
直的方向走到上，就能找到的中点 C．老师肯定了他的想法．（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点C；（2）这位同学确定点C所用方法
的依据是 ．19．如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．（1）点O到
直线l距离的最大值为 ；（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．20．如图，⊙O的半径等于4
，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于 ．21．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内
，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为 ．22．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分
别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB＝60°，则△PAB的周长为 ．23．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为
了修复这块残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（2）写出作图的依据： ．24．阅读下面材料：在学习《圆》
这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏
的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两
点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠
OBP＝90°，其依据是 ；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是 ．25．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B
（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，（1）线段OP的长等于
（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为 ．26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕
点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A''落在AB边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ．27．扇形的半径
为9，且圆心角为120°，则它的弧长为 ．28．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP＝2，∠APB＝60°．若点C在
⊙O上，且AC＝，则圆周角∠CAB的度数为 ．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝20°，则∠A＝ °．三．解答题（共1
7小题）30．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．31．如图，A
B是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．（1）求证：FD是
⊙O的切线；（2）若BD＝8，sin∠DBF＝，求DE的长．32．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交
于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tanB＝，求半圆的半径．33．如图，AB
是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD＝∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB＝弧
CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sinD＝，求线段AF的长．34
．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM． （1）求证：AM
＝BM；（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的长．35．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB＝．点C，E分别在⊙O上，且
OC⊥AB于点D，∠E＝30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的
度数．36．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠
PCE＝∠PEC；（2）若AB＝10，ED＝，sinA＝，求PC的长．37．如图，在⊙O中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD与
⊙O相切，切点分别为点C，点D，连接CD交AB于点E．如果⊙O的半径等于3，tan∠CPO＝，求弦CD的长．38．如图，在⊙O中，
弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，OC＝3OE，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．（1）请
依题意补全图形；（2）求证：∠AOC＝∠DBC；（3）求的值．39．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，AB＝12，
cosA＝．（1）求OC的长；（2）点E，F在⊙O上，EF∥AB．若EF＝16，直接写出EF与AB之间的距离．40．如图，AB是⊙
O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是
⊙O的切线；（2）若＝，求cos∠ABC的值．41．阅读下面材料：定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图
形．问题：⊙O的半径为1，画一个⊙O的关联图形．在解决这个问题时，小明以O为原点建立平面直角坐标系xOy进行探究，他发现能画出很多
⊙O的关联图形，例如：⊙O本身和图1中的△ABC（它们都是封闭的图形），以及图2中以O为圆心的 （它是非封闭的形），它们都是⊙O的
关联图形．而图2中以P，Q为端点的一条曲线就不是⊙O的关联图形．参考小明的发现，解决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O的关联图形是
（填序号）；①⊙O的外切正多边形；②⊙O的内接正多边形；③⊙O的一个半径大于1的同心圆．（2）若图形G是⊙O的关联图形，并且它是
封闭的，则图形G的周长的最小值是 ；（3）在图2中，当⊙O的关联图形的弧长最小时，经过D，E两点的直线为y＝ ；（4）请你在备用图
中画出一个⊙O的关联图形，所画图形的长度l小于（2）中图形G的周长的最小值，并写出l的值（直接画出图形，不写作法）．42．如图，A
B是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．43
．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（
2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若MN?MC＝8，求⊙O的直径．44．平面直角坐标系xOy中，原点O是正三角形ABC外接
圆的圆心，点A在y轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转α角，得到△A′B′C′，点A′、
B′、C′分别为点A、B、C的对应点．（1）当α＝60°时，①请在图1中画出△A′B′C′；②若AB分别与A′C′、A′B′交于点
D、E，则DE的长为 ；（2）如图2，当A′C′⊥AB时，A′B′分别与AB、BC交于点F、G，则点A′的坐标为 ，△FBG的周长
为 ，△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为 ．45．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与⊙O的交点为D，
DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若OE与AD交于点F，，求的值．46．已知：⊙O是△A
BC的外接圆，点M为⊙O上一点．（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM＝1，CM＝2，求AM的长；（2）若△ABC为等腰直角三角
形，∠BAC＝90°，BM＝a，CM＝b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．2020北京西城初三（上）期
末数学备考训练圆（教师版）参考答案一．选择题（共17小题）1．如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且＝，∠A＝40°，则∠CEB
的度数为（ ）A．50°B．80°C．70°D．90°【分析】根据圆周角定理得到∠A＝∠C＝40°，由三角形外角的性质即可得到结
论．【解答】解：∵＝，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理
是解题的关键．2．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（
）A．16B．14C．12D．10【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5，于是得到△AB
C的周长＝2+2+5+5＝14，【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD
＝BE，CE＝CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．【点评】本题
考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝
34°，那么∠BAD等于（ ）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可
求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角
定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，
AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（ ）A．55°B．45°C．35°D．25°【分析】推出Rt△ABC，求出∠
B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠B＝35
°，∴∠ADC＝∠B＝35°．故选：C．【点评】本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周
角．5．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（ ）A．5B．
C．3D．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解：设⊙O的半径为r，则OA＝r，OC
＝r﹣1，∵OD⊥AB，AB＝4，∴AC＝AB＝2，在Rt△ACO中，OA2＝AC2+OC2，∴r2＝22+（r﹣1）2，r＝，故
选：D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，是常考题型，熟练掌握垂径定理是关键，垂直于弦的直径平分弦；确定一个直角三角形，设未知
数，根据勾股定理列方程解决问题．6．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB＝90°，OP＝6，
则OC的长为（ ）A．12B．C．D．【分析】连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC＝45°，进而可得
△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．【解答】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∵⊙C与∠A
OB的两边分别相切，∠AOB＝90°，∴∠POC＝45°，∴OP＝CP＝6，∴OC＝＝6，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质定
理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△POC是等腰直角三角形是解题关键．7．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△AB
C中，∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（ ）A．30°B．45°C．50°D．
70°【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A＝80°，根据圆周角定理得到∠D＝∠A＝80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．【
解答】解：∵∠ABC＝70°，∠ACB＝30°，∴∠A＝80°，∴∠D＝∠A＝80°，∵D是的中点，∴，∴BD＝CD，∴∠DBC＝
∠DCB＝＝50°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键
．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE＝120°，那么∠B等于（ ）A．130°B．120°C
．80°D．60°【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC＝180°，又由∠ADC+∠ADE＝180°，即可求得∠B
＝∠ADE＝120°．【解答】解：∵∠ADC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADE＝120°．故选：B．
【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝1
00°，则∠ACB的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】已知⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝100°，
根据圆周角定理可求得∠ACB的度数．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝5
0°．故选：B．【点评】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．10．若两个圆的半径
分别为2和1，圆心距为3，则这两个圆的位置关系是（ ）A．内含B．内切C．相交D．外切【分析】由两个圆的半径分别为2和1，圆心之
间的距离是3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵两个圆的半径分别为2
和1，圆心之间的距离是3，又∵2+1＝3，∴这两个圆的位置关系是外切．故选：D．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌
握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC的度
数为（ ）A．20°B．40°C．60°D．80°【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，根据圆周角定理，即可求得
答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定
理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．如果两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，那么这两个圆的位置关系是（ ）A．外
离B．外切C．相交D．内切【分析】因为2+3＝5，两圆半径之和等于圆心距，所以两圆外切．【解答】解：∵2+3＝5，∵已知圆心距为5
，∴两圆外切．故选：B．【点评】本题利用了外切时，圆心距＝两圆半径的和．13．如图，正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为O，EF
与GH是此外接圆的直径，EF＝4，AD⊥GH，EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由于
圆是中心对称图形和轴对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，即可求解．【解答】解：由于圆是中心对称图形和轴对称图形，则阴影部
分的面积等于大圆的四分之一．故阴影部分的面积＝×π×4＝π．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及圆的面积求法，利用了圆是
中心对称图形和圆面积公式求出是解题关键．14．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠ACB＝75°，点D是BC边上一动点，以AD为直径
作⊙O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值为1，则AB的长为（ ）A．B．C．1.5D．【分析】首先连接OE，OF，过O
点作OH⊥EF，垂足为H，可求得半径OE的长，又由当AD为△ABC的边BC上的高时，AD最大时为直径，OE最大，OH最大，EF最小
，可求得AD的长，由三角函数的性质，即可求得AB的长．【解答】解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∴EH＝FH
＝EF＝×1＝，∵在△ADB中，∠B＝60°，∠ACB＝75°，∴∠BAC＝45°，∴∠EOF＝2∠BAC＝90°，∵OE＝OF，
∴∠EOH＝∠EOF＝45°，∴OE＝＝，∵当AD为△ABC的边BC上的高时，AD最大时为直径，OE最大，OH最大，EF最小，∴A
D＝2OE＝，∴AB＝＝．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，
注意掌握数形结合思想的应用．15．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D＝30°，BD＝2，则AE的长为（ ）A
．2B．3C．4D．5【分析】先根据直角三角形的性质求出BE及DE的长，再连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣BE，在Rt△ODE中
利用勾股定理求出r的值，进而可得出AE的长．【解答】解：∵AB⊥CD，∠D＝30°，BD＝2，∴△BDE是直角三角形，∴BE＝BD
＝×2＝1，∴DE＝＝＝，连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣BE＝r﹣1，在Rt△ODE中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣
1）2+（）2，解得r＝2，∴AE＝OA+OE＝2+（2﹣1）＝3．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形
的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（ ）A．B．C．D．
【分析】边长为4的正六边形可以分成六个边长为4的正三角形，计算出正六边形的面积即可．【解答】解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、
E，得到△ODE，∵∠DOE＝360°×＝60°，又∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED＝（180°﹣60°）÷2＝60°，则△OD
E为正三角形，∴OD＝OE＝DE＝4，∴S△ODE＝OD?OM＝OD?OE?sin60°＝×4×4×＝4．正六边形的面积为6×4＝
24．故选：B．【点评】此题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，不仅要熟悉正六边形的性质，还要熟悉正三角形的面积公式．17．
如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，2），⊙C的圆心为点C（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段D
A与y轴交于E点，则△ABE面积的最小值是（ ）A．2B．C．D．【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最
短，此时AD与⊙相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，即可得到△ADC的面积；易证得△AEO∽△ACD，根据
相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△AOE的面积，进而可得出△AOB和△AOE的面积差，由此得解．【解答】解：若△ABE的
面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；Rt△ACD中，CD＝1，AC＝OC+OA＝3；由勾股定理，得：AD＝2；∴S
△ACD＝AD?CD＝；易证得△AOE∽△ADC，∴＝（）2＝（）2＝，即S△AOE＝S△ADC＝；∴S△ABE＝S△AOB﹣S△
AOE＝×2×2﹣＝2﹣；故选：D．【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△
BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．二．填空题（共12小题）18．如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站
在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点 C．老师肯定了他的想法．（1）请按照这
位同学的想法，在图中画出点C；（2）这位同学确定点C所用方法的依据是 垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧 ．【分析】
（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线即可得；（2）根据垂径定理可得．【解答】解：（1）如图所示，点C即为所求．（2）这位同学确定点
C所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧，故答案为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理及线段中垂线的尺规作图．19．如图，⊙O的半径是5，点A在⊙
O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．（1）点O到直线l距离的最大值为 7 ；（2）若M，N是直线
l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为 ．【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l
距离的最大，于是得到结论；（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，
∵l⊥PA，∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，最大值为AO+AP＝5+2＝7；（2）如图2，∵M，N是
直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，线段MN是⊙O的直径，∵l⊥PA，∴∠APO＝90°，∵AP＝2，OA＝5，∴OP＝
＝，故答案为：7，．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．20．如图，⊙O的半径等于4，如果
弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于 2 ．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，
又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△
OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的
直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．21．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB
⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为 1 ．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于
N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥
MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴t
an∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃
），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB
＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系
，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角
形，特殊四边形解决问题．22．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若
∠APB＝60°，则△PAB的周长为 3 ．【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB，推出△
PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA＝AO＝，于是得到结论．【解答】解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA
⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB，而∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，△PAB是等边三角形，∴PA＝AO＝，∴
△PAB的周长＝．故答案为：3．【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键
．23．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（2）写
出作图的依据： 线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆 ．【分析】（1）直接在圆形残片上确
定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；（2）利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．【解答】（1）如图所示，点O即为所求作
的圆心；（2）作图的依据：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．【点评】此题主要考查了应
用设计与作图以及线段垂直平分线的性质，正确把握垂径定理的性质是解题关键．24．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置
了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连
接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB
．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是
直径所对的圆周角是90° ；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是 经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线 ．【分析
】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是：直径所对的
圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的
圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法
是解题关键．25．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣m，0），B（m，0）（其中m＞0），点P在以点C（3，4）为圆心，半径等于2的
圆上，如果动点P满足∠APB＝90°，（1）线段OP的长等于 m （用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为 3 ．【分析】（1）
根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果；（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；根据勾股定理求出OC，即可得出结果．【解答】
解：（1）∵∠APB＝90°，A（﹣m，0），B（m，0），∴OP为Rt△ABP斜边上的中线，∴OP＝ AB＝OB＝m；故答案为：
m；（2）当P为OC与⊙C的交点时，OP最小；作CM⊥x轴于M，如图所示：则∠OMC＝90°，∴OC＝＝5，∴OP＝5﹣2＝3；故
答案为：3．【点评】本题考查了坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）中需要通过作辅助线
得出当P为OC与⊙C的交点时，OP最小是解决问题的关键．26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将
△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A''落在AB边上时，旋转角α的度数是 60 度，阴影部分的面积为
．【分析】连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边
长，进而得出图形面积即可．【解答】解：∵AC＝A′C，且∠A＝60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′＝60°，∴∠A′CB
＝90°﹣60°＝30°，∵∠CA′D＝∠A＝60°，∴∠CDA′＝90°，∵∠B′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝90°﹣30°
＝60°，∴∠CB′D＝30°，∴CD＝CB′＝CB＝×2＝1，∴B′D＝＝，∴S△CDB′＝×CD×DB′＝×1×＝，S扇形B′
CB＝＝，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了扇形面积应用以及三角形面积求法和勾股定理应用等知识，本题的关
键是弄清所求的阴影面积等于扇形减去三角形面积27．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为 6π ．【分析】直接利用弧长的
计算公式计算即可．【解答】解：弧长是：＝6π．故答案是：6π．【点评】本题考查了弧长的计算公式，正确记忆公式是关键．28．如图，P
A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP＝2，∠APB＝60°．若点C在⊙O上，且AC＝，则圆周角∠CAB的度数为 15°或75
° ．【分析】首先连接AB，根据题意，可求得∠OAB＝30°，OA＝1，又由AC＝，由勾股定理的逆定理即可证得△OAC是等腰直角三
角形，即可求得∠OAC的度数，继而可求得答案．【解答】解：连接AB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且∠APB＝60°，∴
∠PAO＝∠PBO＝90°，∠OPA＝∠APB＝30°，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝120°，∵OA＝OB
，∴∠OAB＝∠OBA＝＝30°，∵OP＝2，∴OA＝OP＝1；∵AC＝，OA＝OC＝1，∴AC2＝OA2+OC2，∴△AOC是直
角三角形，∴∠OAC＝45°；①如图1，若点C在劣弧AB上时，∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝45°﹣30°＝15°；②如图2，若点
C在优弧AB上时，∠CAB＝∠OAC+∠OAB＝45°+30°＝75°．∴圆周角∠CAB的度数为：15°或75°．故答案为：15°
或75°．【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类
讨论思想的应用．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC＝20°，则∠A＝ 70 °．【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠O
CB＝∠OBC＝20°，再根据圆周角定理，在同圆与等圆中同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半，即可得出答案．【解答】解：∵⊙O是△A
BC的外接圆，∠OBC＝20°，OB＝CO，∴∠OCB＝∠OBC＝20°，∴∠BOC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠A＝
70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了圆周角定理的性质以及等腰三角形的性质与三角形内角和定理等知识，熟练地应用圆周角定理
是解决问题的关键．三．解答题（共17小题）30．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2
）求∠ADC的度数．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连
接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】
解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°
，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠
D＝135°．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．31．如图，AB是⊙O的直
径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）若BD＝8，sin∠DBF＝，求DE的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBF，由等腰三角形的性
质得到∠ABD＝∠ODB，等量代换得到∠DBF＝∠ODB，推出∠ODF＝90°，根据切线的判定定理得到结论；（2）连接AD，根据圆
周角定理得到∠ADE＝90°，根据角平分线的定义得到∠DBF＝∠ABD，解直角三角形得到AD＝6，求得DE＝．【解答】解：（1）连
接OD，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠ABD＝∠DBF，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠DBF＝∠ODB，∵∠DBF
+∠BDF＝90°，∴∠ODB+∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴FD是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠
ADE＝90°，∵BD平分∠ABC交AC于点E，∴∠DBF＝∠ABD，在Rt△ABD中，BD＝8，∵sin∠ABD＝sin∠DBF
＝，∴AD＝6，∵∠DAC＝∠DBC，∴sin∠DAE＝sin∠DBC＝，在Rt△ADE中，sin∠DAC＝，∴DE＝．【点评】本
题考查了切线的判定和性质，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．32．如图，AB是半圆的直径，过
圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，ta
nB＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（
2）先求出sinB，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的
弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝O
B，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是
半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tanB＝，设AC＝2k，则BC＝3k，根据勾股定理得，AB＝k，∴sinB＝＝，
∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sinD＝sin
B＝，在Rt△CDF中，sinD＝＝，∴cosB＝设CF＝2m，DF＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m
2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF＝，在Rt△BOF中，BF＝＝k，∴BC＝BF+CF＝k+＝3k，∴k＝8，∴OB＝k＝4
【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．33．如图，AB是⊙O的
直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD＝∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB＝弧CE，连
接AE并延长与DC的延长线交于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，sinD＝，求线段AF的长．【分析】（1
）连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，即∠1+∠3＝90°．根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2．得到∠DCB+∠3
＝90°．于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到OD＝5，AD＝8．根据圆周角定理得到∠2＝∠4．推出OC∥AF．根据相似三角
形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠1+∠3＝90°．∵OA＝O
C，∴∠1＝∠2．∵∠DCB＝∠BAC＝∠1．∴∠DCB+∠3＝90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OCD
中，OC＝3，sinD＝．∴OD＝5，AD＝8．∵＝，∴∠2＝∠4．∴∠1＝∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF＝
．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．34．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥
AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM． （1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊥BM，DE＝8，
∠N＝15°，求BC的长．【分析】（1）由垂径定理可求得AF＝BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM＝BM；（2）连接AO，B
O，可求得∠ACB＝60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM
中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【解答】（1）证明：∵直径DE⊥AB于点F，∴AF＝BF，∴AM＝BM；（2）连接AO，BO
，如图，由（1）可得 AM＝BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF＝∠MBF＝45°，∴∠CMN＝∠BMF＝45°，∵AO＝BO，DE⊥A
B，∴∠AOF＝∠BOF＝，∵∠N＝15°，∴∠ACM＝∠CMN+∠N＝60°，即∠ACB＝60°，∵∠ACB＝．∴∠AOF＝∠A
CB＝60°．∵DE＝8，∴AO＝4．在Rt△AOF中，由，得AF＝，在Rt△AMF中，AM＝BM＝＝．在Rt△ACM中，由，得C
M＝，∴BC＝CM+BM＝+．【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，在（2）中注意在不同的直角三角形中利用勾股定理是解题的关键
．35．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB＝．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E＝30°，连接OA．（1）求OA的长；（
2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的度数．【分析】（1）根据垂径定理求出AD的长，根据圆周角定理求
出∠AOD的度数，运用正弦的定义解答即可；（2）作OH⊥AF于H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠OAF的度数，分情况计算
即可．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，AB＝，∴AD＝DB＝2，∵∠E＝30°，∴∠AOD＝60°，∠OAB＝30°，∴OA＝＝4
；（2）如图，作OH⊥AF于H，∵OA＝4，OH＝2，∴∠OAF＝45°，∴∠BAF＝∠OAF+∠OAB＝75°，则∠BAF′＝∠
OAF′﹣∠OAB＝15°，∴∠BAF的度数是75°或15°．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦
的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，
注意分情况讨论思想的应用．36．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于
点E．（1）求证：∠PCE＝∠PEC；（2）若AB＝10，ED＝，sinA＝，求PC的长．【分析】（1）由弦切角定理可知∠PCA＝
∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB＝90°．由同角的余角相等可知∠AED＝∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE＝∠PEC
；（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC＝8，AE＝，由等腰三角形三线合一的性质可知EF＝，
然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．【解答】解：（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA＝
∠B．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠A+∠B＝90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED＝90°．∴∠AED＝∠B．∵∠
PEC＝∠AED，∴∠PCE＝∠PEC．（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．∵AB＝10，sinA＝，∴BC＝AB?＝6
．∴AC＝＝8．∵DE＝，sinA＝，∴AE＝．∴EC＝AC﹣AE＝8﹣＝．∵PC＝PE，PF⊥EC，∴EF＝．∵∠AED＝∠PE
F，∠EDA＝∠EFP，∴△AED∽△PEF．∴，．解得：EP＝．∴PC＝．【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三
角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED∽△PEF是解题的关键．37．如图，在⊙O中，点P在
直径AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为点C，点D，连接CD交AB于点E．如果⊙O的半径等于3，tan∠CPO＝，求弦
CD的长．【分析】根据切线的性质得出OC⊥PC，PC＝PD，∠OPC＝∠OPD，CD⊥OP，CD＝2CE．根据tan∠CPO＝，得
出tan∠OCE＝tan∠CPO＝，设OE＝k，则CE＝2k，OC＝k．根据已知得出k＝3，解得k＝3．从而得出CE＝6．就可求得
CD＝12．【解答】解：连接OC．∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为点C，点D，∴OC⊥PC，PC＝PD，∠OPC＝∠OPD．CD
⊥OP，CD＝2CE． ∵tan∠CPO＝，∴tan∠OCE＝tan∠CPO＝，∴设OE＝k，则CE＝2k，OC＝k．∵⊙O的半径
等于3，∴k＝3，解得k＝3．∴CE＝6．∴CD＝2CE＝12．【点评】本题考查了切线的性质同角的余角相等，解直角三角形等，熟练掌
握切线的性质，以及作出辅助线构建直角三角形是关键．38．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点，
OC＝3OE，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．（1）请依题意补全图形；（2）求证：∠AOC＝∠DBC；（3）求的
值．【分析】（1）根据题意画出相应的图形即可；（2）根据弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，得到∠DBC＝2∠ABC，再外角性质
及等腰三角形的性质得到∠AOC＝2∠ABC，等量代换即可得证；（3）利用同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由（2）中结论，利用
两对角相等的三角形相似得到三角形AOE与三角形DBM相似，由相似得比例列出关系式，把OC＝3OE，OA＝OC代入，再由对称性得到B
C＝BD，即可求出所求式子的值．【解答】（1）解：补全图形见图；（2）证明：∵弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴∠DBC＝2
∠ABC，又∵OB＝OC，∠AOC为△BOC外角，∴∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOC＝∠DBC；（3）解：∵＝，∴∠A＝∠D．又∵
∠AOC＝∠DBC，∴△AOE∽△DBM，∴＝，∵OC＝3OE，OA＝OC，∴＝＝＝，∵弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴B
C＝BD，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及轴对称的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的
关键．39．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，AB＝12，cosA＝．（1）求OC的长；（2）点E，F在⊙O上，E
F∥AB．若EF＝16，直接写出EF与AB之间的距离．【分析】（1）由垂径定理求得AC＝6；然后通过解Rt△AOC来求OC的长度；
（2）需要分类讨论：EF在圆心是下方和EF在圆心的上方两种情况．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝12，∴
AC＝AB＝6．∵在Rt△AOC中，∠ACO＝90°，cosA＝，∴OA＝10，∴OC＝＝8；（2）设直线CO交EF于点D，连接O
E．∵EF∥AB，∴OD⊥EF，ED＝EF＝8．∴在直角△OED中，根据勾股定理得到：OD＝＝＝6．如图1，CD＝OC﹣OD＝8﹣
6＝2；如图2，CD＝OC，+OD＝8+6＝14；综上所述，EF与AB之间的距离是2或14．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定
理和垂径定理．解（2）题时，要分类讨论，不要漏解．40．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A
的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若＝，求cos∠ABC的值．【分析】（1）
如图，连接OC．欲证DE是⊙O的切线，只需证得OC⊥DE；（2）由＝，可设CE＝2k（k＞0），则DE＝3k，在Rt△DAE中，由
勾股定理求得AE＝＝2k．则tan∠E＝＝．所以在Rt△OCE中，tan∠E＝＝．在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD＝＝k，故c
os∠ABC＝cos∠AOD＝＝．【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB，∴∠D
AB＝90°．∵OD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵OC＝OB，∴∠2＝∠4．∴∠1＝∠3．在△COD和△AOD中，，∴△CO
D≌△AOD（SAS）∴∠OCD＝∠DAB＝90°，即OC⊥DE于点C．∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：由＝，可
设CE＝2k（k＞0），则DE＝3k，∴AD＝DC＝k．∴在Rt△DAE中，AE＝＝2k．∴tan∠E＝＝．∵在Rt△OCE中，t
an∠E＝＝．∴＝，∴OC＝OA＝．∴在Rt△AOD中，OD＝＝k，∴cos∠ABC＝cos∠AOD＝＝．【点评】本题考查了切线的
判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．41．阅读下面材料：定义：与圆的所有
切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图形．问题：⊙O的半径为1，画一个⊙O的关联图形．在解决这个问题时，小明以O为原点建
立平面直角坐标系xOy进行探究，他发现能画出很多⊙O的关联图形，例如：⊙O本身和图1中的△ABC（它们都是封闭的图形），以及图2中
以O为圆心的 （它是非封闭的形），它们都是⊙O的关联图形．而图2中以P，Q为端点的一条曲线就不是⊙O的关联图形．参考小明的发现，解
决问题：（1）在下列几何图形中，⊙O的关联图形是 ①③ （填序号）；①⊙O的外切正多边形；②⊙O的内接正多边形；③⊙O的一个半径大
于1的同心圆．（2）若图形G是⊙O的关联图形，并且它是封闭的，则图形G的周长的最小值是 2π ；（3）在图2中，当⊙O的关联图形的
弧长最小时，经过D，E两点的直线为y＝ ﹣x﹣ ；（4）请你在备用图中画出一个⊙O的关联图形，所画图形的长度l小于（2）中图形G的
周长的最小值，并写出l的值（直接画出图形，不写作法）．【分析】（1）根据与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的关联图
形，可得答案；（2）根据圆的关联图形周长，可得封闭的关联图形，根据圆的关联图形的周长最小是它本身，可得答案；（3）根据⊙O的关联图
形的弧长最小，可得DE是圆O的切线，可得答案；（4）根据圆的关联图形的长度小于2π，可得圆的关联图形是非封闭的，可得答案．【解答】
解：（1）①⊙O的外切正多边形与圆的所有切线和割线都有公共点，故①说法正确；②⊙O的内接正多边形与圆的有的切线没有公共点，故②说法
错误；③⊙O的一个半径大于1的同心圆与圆的所有切线和割线都有公共点，故③说法正确；故答案为：①③；（2）若图形G是⊙O的关联图形，
并且它是封闭的，则图形G是它本身，图形G的周长的最小值是2π，故答案为：2π；（3）由当⊙O的关联图形的弧长最小时，得DE是圆的一
条切线且OD＝OE，设DE的解析式是y＝﹣x+b，由DE于圆相切，得．解得b＝﹣，故答案为：y＝﹣x﹣；（4）如图：画图形是非封闭
的，l长度＝π+2：．【点评】本题考查了圆的综合题，利用了圆的关联图形的定义：与圆的所有切线和割线都有公共点的几何图形叫做这个圆的
关联图形，圆的关联图形可以是封闭的，可以是非封闭的，封闭的关联图形周长的最小时是它本身，非封闭的关联图形的长度最小时半圆加两条与圆
相切且等于半径的线段．42．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若
CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，
等量代换即可得证；（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC
＝r，OE＝OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．【解答】（1）证明：如图．∵
OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，∴CE＝CD＝×4
＝2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，∴r2＝（2）2+（r﹣2
）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．43．如图
，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB＝2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点
M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若MN?MC＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用
∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；（2）连接M
A，MB，由圆周角定理可得∠ACM＝∠BAM，进而可得△AMC∽△NMA，故AM2＝MC?MN；等量代换可得MN?MC＝BM2＝A
M2，进而利用勾股定理求出⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2
∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵O
C是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．（2）解：连接MA、MB．（如图）∵点M是弧AB的中点，∴，∴∠ACM＝∠BAM．∵∠AMC＝
∠AMN，∴△AMC∽△NMA．∴．∴AM2＝MC?MN．∵MC?MN＝8，∴．∵AB是⊙O的直径，点M是弧AB的中点，∴∠AMB
＝90°，AM＝BM＝．∴．【点评】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用，是一道综合性的题
目，难度中等偏上．44．平面直角坐标系xOy中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在y轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原
点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转α角，得到△A′B′C′，点A′、B′、C′分别为点A、B、C的对应点．（1）当α＝60°
时，①请在图1中画出△A′B′C′；②若AB分别与A′C′、A′B′交于点D、E，则DE的长为 2 ；（2）如图2，当A′C′⊥A
B时，A′B′分别与AB、BC交于点F、G，则点A′的坐标为 （﹣，3） ，△FBG的周长为 6 ，△ABC与△A′B′C′重叠部
分的面积为 27﹣9 ．【分析】（1）根据旋转的角度作出等边三角形后即可得到正确的图形；（2）利用旋转的性质、圆的对称性及垂径定理
求得点A′的坐标，然后计算出三角形PGF的面积，用三角形ABC的面积减去3个三角形PGF的面积即可求得重叠部分的面积．【解答】解：
（1）①如图所示：②根据题意得：△A′DE、△BEF、△B′FG、△CGH、△C′IH、△ADI均为等边三角形，∴AD＝DE＝BE
，∴DE＝AB＝×6＝2，∴DE的长为 2； （2）∵A′C′⊥AB，∴BC⊥A′B′，x轴⊥A′B′，∵A′B′＝6，∴A′M
＝3，连接OA′，根据圆的对称性可知∠OA′M＝30°，∴OM＝，∴点A′的坐标为（﹣，3）；设A′B′与x轴交于点M，BC与y轴
交于点N在△BGF中，∵∠BGF＝90°，∠B＝60°，BG＝BN﹣GN＝3﹣，∴FG＝BG＝3﹣3，BF＝2BG＝6﹣2，∴△F
BG的周长＝BF+FG+BG＝6﹣2+3﹣3+3﹣＝6；在Rt△FBG中，∵∠B＝60°，∴设BG＝x，则BF＝2x，FG＝x，∴
BG+BF+FG＝3x+x＝6，解得：BG＝x＝3﹣，FG＝x＝3﹣3∴S△BGF＝BG?FG＝×（3﹣）（3﹣3）＝6﹣9，△A
BC与△A''B''C''重叠部分的面积为S△ABC﹣3S△BGF＝×6×3﹣3（6﹣9）＝．【点评】本题考查了圆的综合知识，解题的过程
中综合运用了旋转的性质、圆的对称性、垂径定理等知识，难度较大．45．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线与⊙O
的交点为D，DE⊥AC，与AC的延长线交于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若OE与AD交于点F，，求的值．【分析】（
1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD＝∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；（2）连
接BC，推出矩形ECGD，设AC＝4a，AB＝5a，求出OD、求出OG的长，推出CE＝DG，求出CE长，求出AE，证△AEF和△O
FD相似，得出比例式，代入求出即可．【解答】解：（1）证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）连接BC交OD于G，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠BAC＝＝，设AC＝4a，AB＝5a，由勾股定理得：BC＝3a，∴OA＝OD＝OB＝2.5a，∵∠ECG＝90°＝∠DEC＝∠EDG，∴四边形ECGD是矩形，∵OG为△ABC中位线，∴G为BC中点∴DE＝CG＝1.5a，∵OD∥AE，OA＝OB，∴CG＝BG，∴OG＝AC＝2a，∴DG＝EC＝2.5a﹣2a＝0.5a，∴AE＝AC+CE＝4a+0.5a＝4.5a，∵OD∥AC，∴△AEF∽△DOF，∴＝＝．【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，角平分线定义等知识点的运用，题目较好，综合性强，有一定的难度，主要培养学生综合运用所学知识进行推理的能力．46．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM＝1，CM＝2，求AM的长；（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BM＝a，CM＝b（其中b＞a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．【分析】（1）延长MB至点E，使BE＝MC，连AE，根据等边三角形性质求出AC＝AB，根据圆内接四边形的性质推出∠ABE＝∠ACM，证△ABE≌△ACM，推出AM＝AE，证等边三角形AEM，推出AE＝AM＝ME，即可推出答案；（2）分为两种情况，画出图形，延长MB至点E，使BE＝MC，连AE，根据等腰直角三角形性质推出AB＝AC，根据SAS证△ABE≌△ACM，推出AM＝AE，∠E＝∠AMC＝45°，∠AMB＝45°，求出△EAM是等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可．【解答】（1）解：延长MB至点E，使BE＝MC，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，∴∠ABE＝∠ACM，在△AEB和△AMC中，∴△AEB≌△AMC，∴∠AEB＝∠AMC，∵∠AMC＝∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），∴∠AEB＝∠ABC，∵∠AME＝∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AM＝ME＝MB+BE，∵BE＝MC，∴MB+MC＝MA＝1+2＝3．即AM的长是3．（2）解：分为两种情况：①如图，AM＝＝（a+b），理由是：延长MB至点E，使BE＝MC，连AE，由（1）知：∠ABE＝∠ACM，在△ABE和△ACM中，∴△ABE≌△ACM，∴AM＝AE，∠E＝∠AMC，∵∠AMC＝∠ABC＝45°，∠AMB＝∠ACB＝45°，∴∠E＝∠AMB＝45°，∴∠EAM＝90°，在△EAM中，ME＝MB+BE＝MB+CM＝a+b，AE＝AM，由勾股定理得：AM＝＝（a+b），即AM＝＝（a+b）．②如图，在CM上截取CN＝BM，连接AN，∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM，∴∠ABM＝∠ACN，在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，∵∠BAC＝∠BAN+∠CAN＝90°，∴∠BAN+∠BAM＝90°，∴∠MAN＝90°，则△MAN是等腰直角三角形，∵MN＝CM﹣CN＝CM﹣BM＝b﹣a，由勾股定理得：AM＝AN＝＝（b﹣a），即AM＝（b﹣a）．即AM的长是（a+b）或（b﹣a）．【点评】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质等知识点的运用，关键是正确作辅助线推出AM＝BM+CM，两小题证明过程类似，都是通过作辅助线把AM、BM、CM放在一个三角形中，求出三者之间的关系，题目比较好，有一点难度． 1 / 1 |
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