2021北京昌平初三（上）期中数 学(A)2021.10本试卷共8页，三道大题，28个小题，满分100分。考试时间120分钟。考生务必 将
答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效◎考试结束后，请交回答题卡。一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项
，符合题意的选项只有一个1．（2分）如果，那么下列比例式中正确的是 A．B．C．D．2．（2分）抛物线的顶点坐标是 A．B．C．D
．3．（2分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为，就称这个矩形为黄金矩形．若矩形为黄金矩形，宽，则长为 A．1B．C．2D．
4．（2分）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为 A．B．C．D．5．（2分）如图，中，，
，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是 A．B．C．D．6．（2分）如图，在中，是的中点，交于点，则与的
面积比为 A．B．C．D．7．（2分）二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为 A．B．C．D．8．（2分）已知二次函数，
点，、点，是图象上两点，下列结论正确的是 ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2
分）请写出一个开口向下且过点的抛物线表达式为 ．10．（2分）如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，
则的长是 ．11．（2分）把二次函数化为的形式，那么 ．12．（2分）如图，在中，点，分别在，上，且．若，，，则的长为 ．13．
（2分）已知抛物线有点和，则 ．（用“”，“ ”，“ ”填写）14．（2分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，
平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为，
则大树的高度是 ．15．（2分）已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：0245013560059当时，自变量的取值范
围是 ．16．（2分）如图，将等边折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，点，分别在和边上．若，，则周长为 ，的值为 ．三、解答题
（本题共12小题，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）17．（5分）已知：
二次函数．（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）画出它的图象．18．（5分）如图，，相交于的点，且．求证：．19
．（5分）二次函数的图象如图所示，求此二次函数表达式．20．（5分）如图是边长为1的正方形网格，△的顶点均在格点上．（1）在该网格
中画出△△的顶点均在格点上），使△△；（2）说明△和△相似的依据，并直接写出的度数．21．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横
坐标与纵坐标的对应值如下表所示：0100（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）
当时，直接写出的取值范围．22．（5分）如图，在中，，是斜边上的高．（1）求证：；（2）若，，求的长．23．（6分）如图，人工喷泉
有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为．（1）建
立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；（2）求水流的落地点到水枪底部的距离．24．（6分）如图，在中，连接，是边上一点，连接并延
长，交的延长线于，且．（1）求证：；（2）如果，，求的值．25．（6分）下面给出六个函数解析式：，，，，，．小明根据学习二次函数的
经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式
，它们都具有共同的特点，可以表示为形如： ，其中为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数
的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当为
正数）时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小④函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是 ；（4）结合
函数图象，解决问题：若关于的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为 ．26．（6分）已知抛物线．（1）直接写出该抛物线的对称
轴，以及抛物线与轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过，两点．①若，判断与的大小关系并说明理由；②若，两点在抛物线的对称轴两侧，且，
直接写出的取值范围．27．（7分）在等腰直角中，，是线段上一动点（与点、不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点．（1）
若，求的大小（用含的式子表示）．（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下
定义：如果，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点．（1）在点，，，中， 的“关联点”在函数的图象上
；（2）如果一次函数图象上点的“关联点”是，求点的坐标；（3）如果点在函数的图象上，其“关联点” 的纵坐标的取值范围是，求实数的取
值范围．2021北京昌平初三（上）期中数学(A)参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选
项只有一个1．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：、由比例的性质，得与不一致，故不符合题意；、由比例的性质，得与不一致，
故不符合题意；、由比例的性质，得与不一致，故不符合题意；、由比例的性质，得与一致，故符合题意；故选：．【点评】本题考查了比例的性质
，利用比例的性质是解题关键．2．【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【解答】解：抛物线的解析式为，其顶点坐标为．故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．3．【分析】根据黄金分割点的定义，求解即可．【解答】解：
矩形是黄金矩形，，，，故选：．【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做
线段的黄金分割点．4．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得
：；再向上平移5个单位长度，得：，故选：．【点评】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入
函数解析式求得平移后的函数解析式．5．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：、根据平行线截得的三角
形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不
符合题意；、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本
选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．6．【分析】先根据平行四边形
的性质得，，而是的中点，，再证明，然后根据相似三角形的性质可计算的值．【解答】解：四边形为平行四边形，，，是的中点，；，，．故选：
．【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本
图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．7．【分
析】根据图象得出二次函数的顶点坐标是，与轴的交点坐标是，设二次函数的解析式是，再求出即可．【解答】解：从图象可知：二次函数的顶点坐
标是，与轴的交点坐标是，设二次函数的解析式是，把代入得：，解得：，所以，故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数
法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．8．【分析】由二次函数可知对称轴为，当时，点与点在对称轴的左边
，或点在左侧，点在对称轴的右侧，且点离对称轴的距离比点离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．【解答】解：二次函数，抛物
线开口向上，对称轴为，，当时，点与点在对称轴的左边，或点在左侧，点在对称轴的右侧，且点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大，，故选：
．【点评】本题考查了二次函数的性质，灵活应用与2的关系确定点、点与对称轴的关系是解决本题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2
分）9．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点得出即可．【解答】解：开口向下且过点的抛物线
解析式，可以设顶点坐标为，故解析式为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目
，答案不唯一．10．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：，，，，，，解得：，故答案为
：4.5．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．11．【分析】利用配方法把二次函数的
表达式化为的形式，求出、的值各是多少，代入代数式计算即可．【解答】解：，，，．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的三种形
式，要熟练掌握三种形式之间相互转化的方法．12．【分析】由可得出，，进而可得出，再利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出的长
．【解答】解：，，，，，即，．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．1
3．【分析】分别把、点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．【解答】解：时，，时，，．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的
坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．14．【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可
求得树高．【解答】解：，，，，即，，故答案为：8．【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应
边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，作出草图，观察图象知：当时，
．【解答】解：当时，；当时，；直线与抛物线的交点为和，画出草图如下：当时，，当时，自变量的取值范围是：．故答案为：．【点评】本题考
查了二次函数与不等式：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，作出
草图运用数形结合思想求解．16．【分析】由已知求得，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，，再证明，由相似三角形周长的比等于相似
比，即可得出结果．【解答】解：是等边三角形，，，，，由折叠的性质可知：，，，，即周长为10，故答案为：10；，，，，，，，．故答案
为：．【点评】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证
明三角形相似是解决问题的关键．三、解答题（本题共12小题，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每
小题5分，共68分）17．【分析】（1）根据顶点式可直接求得其顶点坐标及对称轴；（2）可分别求得抛物线与轴、轴的交点坐标，利用描点
法可画出函数图象．【解答】解：（1）二次函数，抛物线的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为轴；（2）在中，令可得．解得或1，令可得，
结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键
，即在中，其对称轴为，顶点坐标为．18．【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【解答】证明：，相交于的点，，又，．【点评】此题考查
相似三角形的判定，关键是根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答．19．【分析】根据图象确定经过抛物线的三个点，利用待定系数法计算
即可．【解答】解：由图象可知，抛物线经过、、，设抛物线的解析式为：，则，解得，，则抛物线的解析式为：，即．【点评】本题考查的是求二
次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．20．【分析】（1）把△的边长缩小一半，画出三角形即可．（2）利用两边成比例夹角相等两三
角形相似证明即可．【解答】解：（1）如图，△即为所求．（2），，，，，，△△．的度数为．【点评】本题考查作图相似变换，解题的关键是
掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．21．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶
点式，然后把点代入求出即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据、时的函数值即可写出的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得
二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把点代入，得，故抛物线解析式为，即；（2）如图所示：（3），当时，，当时，，又对称轴
为，当时，的取值范围是．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件
，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．22．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证
明即可．（2）利用相似三角形的性质证明，可得结论．【解答】（1）证明：，，，，，，．（2）解：，，，，，，，．【点评】本题考查射影
定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．23．【分析】（1）建立以所在直线为轴
、所在直线为轴的直角坐标系，根据顶点设其解析式为，把代入求得的值，据此可得其函数解析式；（2）求得时的值可得答案．【解答】解：（1
）如图，以所在直线为轴、所在直线为轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点的坐标为、点，设抛物线的解析式为，将点代入，得：，解得：
，则抛物线的解析式为，（2）当时，有，解得：（舍或，，答：水流的落地点到水枪底部的距离为．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题
的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．24．【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，结合可得
出，再由即可证出；（2）由，利用相似三角形的性质可求出的长度，由可得出，再利用三角形的性质及即可求出的值．【解答】（1）证明：四边
形是平行四边形，，．，．，；（2）解：，，即，．，，，即．又，．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题
的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出；（2）牢记相似三角形对应边的比相等．25．【分析】（1）观察这些函数解析
式，它们都具有共同的特点，即可以表示；（2）用描点法将这个函数的图象补充完整即可；（3）观察图象即可得结论；①函数图象关于轴对称；
②有些函数既有最大值，或有最小值；③存在某个函数，当为正数）时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；④函数图象与轴公共点的个数只
可能是0个或2个；（4）观察函数图象即可得结论．【解答】解：（1）①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：
，，，是常数，故答案为：，，，是常数，．（2）图象如图1所示．（3）观察图象可知：①函数图象关于轴对称，正确；②有些函数既有最大值
，同时也有最小值，不正确；③存在某个函数，，当为正数）时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，正确；④函数图象与轴公共点的个数只
可能是0个或2个或4个，错误．故答案为①③．（4）观察图2可知，关于的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为，0．故答案为，
0．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的最值，解决本题的关键是准确画出函数图象并根据图象回答问题．26．【分析】（1）由
对称轴公式即可求得抛物线的对称轴，令，求得函数值，即可求得抛物线与轴的交点坐标；（2）①由，可得点，点在对称轴直线的左侧，由二次函
数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．【解答】解：（1），对称轴为直线，令，则，抛物线与轴的交点坐标为，（2）
，，．①当时，，，．，两点都在抛物线的对称轴的左侧，且，抛物线开口向下，在抛物线的对称轴的左侧，随的增大而增大．；②若点在对称轴直
线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，由题意可得，不等式组无解，若点在对称轴直线的左侧，点在对称轴直线的右侧时，由题意可得：，，综上所
述：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想
解决问题是本题的关键．27．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接，作，由证明，得
出，是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）；理由如下：，是等腰直角三角形，，，，，；（2）；理由
如下：连接，作，如图所示：，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，，．方法二：也可以延长到，使得．则易证．，即．【点评】本题考查
了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键
．28．【分析】（1）点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，将点的坐标代入函数，看是否在函数图象上，即可求解；（2）当时，点，则；当时，点，则，解方程即可求解；（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点” 的纵坐标的取值范围是，而，函数图象只需要找到最大值（直线与最小值（直线直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束．都符合要求，只要求出关键点即可求解．【解答】解：（1）点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，将点的坐标代入函数，得和在此函数图象上，故答案为：、；（2）当时，点，则，解得：（舍去）；当时，点，，解得：，点；（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点” 的纵坐标的取值范围是，而，函数图象只需要找到最大值（直线与最小值（直线直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束．都符合要求，即，解得：（舍去负值），观察图象可知满足条件的的取值范围为．【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型． 2 / 2 |
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