2021北京密云初三（上）期末数 学一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的．1. 抛物线
的顶点坐标是（ ）A. B. C. D. 2. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、
DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH的长为（ ）A. 0
.6B. 1.2C. 2.4D. 3.63. 已知点是反比例函数图像上的两点，则（ ）A. B. C. D. 4. 将的各边长都缩
小为原来的，则锐角A的正弦值（ ）A. 不变B. 缩小为原来的C. 扩大为原来的2倍D. 缩小为原来的5. 如图，二次函数的图像经
过点，，，则下列结论错误的是（ ）A. 二次函数图像的对称轴是B. 方程两根是，C. 当时，函数值y随自变量x的增大而减小D. 函
数的最小值是6. 如图，AB是的直径，C，D是上的两点，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中有
两点A（-2，0）和B（-2，-1），以原点O为位似中心作△COD，△COD与△AOB的相似比为2，其中点C与点A对应，点D与点B
对应，且CD在y轴左侧，则点D的坐标为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，AB是的直径，，P是圆周上一动点（点P与点A、点B
不重合），，垂足为C，点M是PC的中点．设AC长为x，AM长为y，则表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ）A B. C. D.
二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留）10. 已知中
，D是BC上一点，添加一个条件使得，则添加的条件可以是_________．11. 已知点是反比例函数图像上的两点，其中，则____
_____．12. 如图，中，E是AD中点，BE与AC交于点F，则与的面积比为_________．13. 二次函数的最小值是___
______．14. 如图，是上三点，，垂足为D，已知，，则BC长为_________．15. 如图是某商场自动扶梯的示意图，自动
扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD=_
________m．（结果保留根号）．16. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“
今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直
角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为____步．三、解答题（本题共52分，其中17-
21每题5分，22题6分，23-25题每题7分）17. 计算：18. 已知抛物线经过两点A（4，0），B（2，-4）．（1）求该抛
物线的表达式；（2）在平面直角坐标系xOy内画出抛物线的示意图；（3）若直线y=mx+n经过A，B两点，结合图象直接写出不等式的解
集．19. 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．（1）求证：△ABD∽△DCE；（
2）求∠ADE的度数．20. 如图，四边形ABCD中，，，，，求AD的长．21. 已知双曲线与直线交于，．（1）求k，m值；（2）
将直线，平移得到：，且与双曲线围成封闭区域内（不含边界）恰有3个整点（把横纵坐标均为整数的点称为整点）结合图象，直接写出b的取值范
围．22. 如图，AB是直径，C、D是圆上两点，CD=BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F．（1）求证：EF是
的切线；（2）若AE-3，，求的半径．23. 已知抛物线与y轴交于点P，将点P向右平移4个单位得到点Q，点Q也在抛物线上．（1）抛
物线的对称轴是直线 ；（2）用含的代数式表示b；（3）已知点，，抛物线与线段MN恰有一个公共点，求的取值范围．24. 如图，矩形A
BCD中，AD>AB，DE平分∠ADC交BC于点E，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．（
1）①补全图形；②设∠EAB的度数为，直接写出∠AOE的度数（用含的代数式表示）．（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之
间数量关系，并证明．25. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P是图形M上的任意一点，Q是图形N上任意一点，如
果P，Q两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N的“最小距离”，记作d（M，N）．已知的半径为1．（1）如图，P（4，3），
则（点，）= ，d（点P，）= ．（2）已知A、B是上两点，且弧AB的度数为60°．①若轴且在x轴上方，直线，求d（，AB）的值；
②若点R坐标为（，1），直接写出点d(点R，AB）的取值范围．参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，
其中只有一个选项是符合题意的．1. 抛物线顶点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的顶点式，可
直接写出顶点坐标．【详解】解：∵抛物线的解析式为：，∴其顶点坐标为（?2，?1）．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟
知二次函数的顶点式的特征是解答此题的关键．2. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为CD、
DE，直线l5被l1，l2，l3所截得的两条线段分别为FG、GH．若CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，则GH的长为（ ）A 0.
6B. 1.2C. 2.4D. 3.6【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得＝，代入数值即可求得的值【详解】∵直线l
1∥l2∥l3，∴＝，∵CD＝1，DE＝2，FG＝1.2，∴＝，∴GH＝2.4，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌
握平行线分线段成比例是解题的关键．3. 已知点是反比例函数图像上的两点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】
直接利用反比例函数的性质求解即可．【详解】，∴反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内都是y随着x的增大而减小， ，故选：D．【
点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．4. 将的各边长都缩小为原来的，则锐角A的正弦值（ ）A.
不变B. 缩小为原来的C. 扩大为原来的2倍D. 缩小为原来的【答案】A【解析】【分析】根据正弦的定义计算即可求解．【详解】设A
C＝b，AB＝c，BC＝a，∴当各边长都缩小为原来的时，，， ， ∴∴锐角A的正弦值不变，故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数的
定义，解题的关键是熟练掌握正弦的定义．5. 如图，二次函数的图像经过点，，，则下列结论错误的是（ ）A. 二次函数图像的对称轴是B
. 方程的两根是，C. 当时，函数值y随自变量x的增大而减小D. 函数的最小值是【答案】D【解析】【分析】A：由点A、B的坐标得到
二次函数图象的对称轴，即可求解；B：由函数图象知，与x轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），即可求解；C：抛物线的对称轴为x=1，
根据对称轴左侧函数的增减性，即可求解；D：由点A、B、C的坐标求出抛物线表达式，即可求解．【详解】解：A：由点A、B的坐标知，二次
函数图象的对称轴是x=（3-1）=1，故不符合题意；B：由函数图象知，与x轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），故方程ax2＋bx
＋c=0的两根是，，故不符合题意；C：抛物线的对称轴为x=1，从图象看，当x＜1时，函数值y随自变量x的增大而减小，故不符合题意；
D：设抛物线的表达式为，当x=0时，y=a（0＋1）（0-3）=-1，解得a=，故抛物线的表达式为y=（x＋1）（x-3），当x=
1时，函数的最小值为，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟
悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．6. 如图，AB是的直径，C，D是上的两点，，则的度数为（
）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据AB是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出，最后利用直角三角形两锐
角互余即可得出答案．【详解】解：∵AB是的直径，．∵和都是所对圆周角，，， 故选：C．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆
周角定理及其推论的内容是解题的关键．7. 如图，在平面直角坐标系中有两点A（-2，0）和B（-2，-1），以原点O为位似中心作△C
OD，△COD与△AOB的相似比为2，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴左侧，则点D的坐标为（ ）A. B. C.
D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质即可得出答案．【详解】∵B（-2，-1），以原点O为位似中心作△COD，△C
OD与△AOB的相似比为2，点D与点B对应，且CD在y轴左侧，∴点D的横坐标为，纵坐标为，∴点D的坐标为，故选：B．【点睛】本题主
要考查位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键．8. 如图，AB是的直径，，P是圆周上一动点（点P与点A、点B不重合），，垂足为C
，点M是PC的中点．设AC长为x，AM长为y，则表示y与x之间函数关系的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
【分析】证明∠PAC＝∠BPC，则，进而求解．【详解】解：∵AB是直径，则∠APB=90°，则∠BPC＋∠APC=90°而∠APC
＋∠PAC=90°，∴∠PAC=∠BPC，则tan∠PAC=tan∠BPC，∴，即，∵点M是PC的中点，则，则，∴（0 可知y与x之间的函数图像不是一次函数，故排除C，当x=1时，，故排除D，当x=3时，，故排除A，故选：B．【点睛】本题考查动点问题
的函数图像，确定函数的表达式是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的
弧长是_____（结果保留）【答案】【解析】【分析】已知扇形的圆心角为，半径为2，代入弧长公式计算．【详解】解：依题意，n=，r=
2，∴扇形的弧长=．故答案为：．【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．10. 已知中，D是BC上一点，添
加一个条件使得，则添加的条件可以是_________．【答案】（本题答案不唯一）【解析】【分析】由相似三角形的判定定理即可求解．【
详解】添加：∠B＝∠DAC在△ABC和△DAC中,∵∠BAC＝∠C，∠B＝∠DAC∴△ABC∽△DAC故答案为：∠B＝∠DAC（答
案不唯一）【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．11. 已知点是反比例函数图像上的两点，其中
，则_________．【答案】0【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把两个点的坐标分别代入解析式得出：， ，然后利
用即可求解．【详解】∵点是反比例函数图像上的两点，∴，∵∴故答案为：0【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌
握反比例函数图象上点的满足反比例函数解析式．12. 如图，中，E是AD中点，BE与AC交于点F，则与的面积比为_________．
【答案】【解析】【分析】由平行四边形的性质可知AE∥BC，可证△AEF∽△CBF，相似比为，由相似三角形的性质可求与的面积比．【详
解】解：∵平行四边形ABCD中，AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关
键是由平行线得出相似三角形，利用相似比求相似三角形的面积．13. 二次函数的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】求
开口向上的抛物线的最小值即求其顶点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．【详解】∵二次函数y=x2-2x-3可化为y=（x-1）
2-4，∴最小值是-4．考点：本题考查二次函数最值问题点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配
方法，第三种是公式法．14. 如图，是上三点，，垂足为D，已知，，则BC长为_________．【答案】【解析】【分析】连接OB，
先由垂径定理得BD=CD，再由勾股定理求出BD=，即可得出答案．【详解】解：连接OB，如图所示：∵BC⊥OA，∴BD=CD，∵OB
=OA=3，AD=1，∴OD=OA-AD=2，∴BD=，∴BC=2BD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟
练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．15. 如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测
得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）．【答案】【解
析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到BC＝AC＝6cm，根据三角函数定义即可求解．【详解】解：∵∠BAC＋∠AB
C＝∠BCD＝60°，又∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝AC＝6cm，在Rt△BCD中，cm故答案为：．【点睛】本题
考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，坡度坡角问题、含30°角的直角三角形，解题的关键是掌握仰俯角的定义，求得BC＝AC＝6cm．
16. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几
何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多
少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为____步．【答案】【解析】【分析】连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理
列方程求解即可．详解】解：连接，如下图：由题意可得：，，∴四边形为矩形，又∵∴矩形为正方形设半径为，则∴，∴解得故答案为：【点睛】
此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．三、解答题（本题共52分，其中17-21每题
5分，22题6分，23-25题每题7分）17. 计算：【答案】【解析】【分析】先进行二次根式化简、求三角函数值、绝对值化简，再计算
．【详解】解：原式【点睛】本题考查了包含二次根式、三角函数值、绝对值的实数运算，解题关键是准确的进行二次根式化简，知道特殊角三角函
数值．18. 已知抛物线经过两点A（4，0），B（2，-4）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系xOy内画出抛物线的
示意图；（3）若直线y=mx+n经过A，B两点，结合图象直接写出不等式的解集．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】
（1）根据待定系数法将点A、B坐标代入解析式即可求解；（2）根据二次函数解析式画出函数图象即可；（3）根据已求的图象即可求解．【详
解】解：（1）∵抛物线经过两点∴解得：∴该抛物线的表达式为；（2）画出函数图象，如图所示：（3）由图象可知：即抛物线图象在直线y=
mx＋n图象的上方，即点A、B之间的部分符合题意，∴不等式的解集：．【点睛】本题考查待定系数法求解析式、二次函数的图象和性质，正确
画出二次函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键．19. 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3
，CE＝6．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）求∠ADE的度数．【答案】（1）见解析 （2）∠ADE＝90°【解析】【分析】（
1）根据两边对应成比例夹角相等证明两三角形相似即可；（2）根据（1）的结论可得∠BAD＝∠EDC，进而求得∠ADB+∠EDC＝90
°，进而求得的度数【小问1详解】证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，∴∠ABD＝∠DCE＝90°．∵AB＝1，BD＝2，
CD＝3，CE＝6，∴＝，＝．∴＝．∴△ABD∽△DCE；【小问2详解】由（1）知，△ABD∽△DCE，则∠BAD＝∠EDC．∵∠
BAD+∠ADB＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°．∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDC＝90°．【点睛】本题考查了相似三
角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20. 如图，四边形ABCD中，，，，，求AD的长．【答案】【解析】【分
析】首先在中利用求出AC的长度，然后在中再利用即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌
握特殊角的三角函数值是解题的关键．21. 已知双曲线与直线交于，．（1）求k，m值；（2）将直线，平移得到：，且与双曲线围成的封闭
区域内（不含边界）恰有3个整点（把横纵坐标均为整数的点称为整点）结合图象，直接写出b的取值范围．【答案】（1），；（2）或【解析】
【分析】（1）由A点坐标可求出反比例函数解析式，从而求出B点的坐标，即可得出结论；（2）作图并观察，若直线在直线的下方时，则有整点
（1，1），（0，0），（-1，-1），若直线在直线的上方时，则有整点（-2，0），（-1，1），（0，2），据此解答即可．【详解
】解：（1）∵点在双曲线上，∴，∴，∴双曲线的表达式为，∵点在双曲线上，∴，∴，；（2）如图所示，当直线在直线的下方时，，当直线在
直线的上方时，，∴b的取值范围是：或．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查待定系数法求解析式，数形结合的思想是
解题关键．22. 如图，AB是的直径，C、D是圆上两点，CD=BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F．（1）求证
：EF是的切线；（2）若AE-3，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，AD，由等腰三角形的性质
得出∠CAD=∠DAB，∠ADO=∠DAB，由直角三角形的性质可得出EF⊥OD，则可得出结论；（2）设EF=4k，AF=5k（k＞
0），则AE=3k，求出k=1，证明△FOD∽△FAE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．【详解】解：（1）证明：连接OD，A
D∵∴∵∴∴∵∴∴∴∴∴是的切线（2）在中，∴∵∴设，（），解得∵∴∴∵，∴∴∴∴解得：【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定
理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握切线的判定．23. 已知抛物线与y轴交于点P，将点
P向右平移4个单位得到点Q，点Q也在抛物线上．（1）抛物线的对称轴是直线 ；（2）用含的代数式表示b；（3）已知点，，抛物线与线段
MN恰有一个公共点，求的取值范围．【答案】（1）2；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）先求得点P的坐标，再根据平移的性质得到点
Q的坐标；由于点P、点Q的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；（2）根据对称轴公式即可求得；（3）根据题意，可以画出相应
的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3a与y轴交于点P，∴P（0，
3a），∵将点P向右平移4个单位得到点Q，∴Q（4，3a）；∵P与Q关于对称轴x=2对称，∴抛物线对称轴直线x=2，故答案为2；（
2）∵抛物线的对称轴是直线∴∴；（3）解：由（2）知，抛物线的表达式为令，解得：∴抛物线经过和设点，在抛物线上，则，，故此点M在R
上方①当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，需满足点N与点S重合（如图1）或点N在点S下方（如图2），即，解得：，即②当时，，故此点
N在点S下方，此时抛物线与线段恰有一个公共点（如图3）综上所述：的取值范围是：或【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次
函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD中，AD>AB，DE平分∠ADC交BC于点E，将线段AE绕点A
逆时针旋转90°得到线段AF，连接EF，AD与FE交于点O．（1）①补全图形；②设∠EAB的度数为，直接写出∠AOE的度数（用含的
代数式表示）．（2）连接DF，用等式表示线段DF，DE，AE之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析
【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②首先根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质得出，然后通过等量代换得出，最后利用即可求
解；（2）延长DE，AB交于点G，首先利用矩形的性质和角平分线的定义得出，则，进而得出，根据勾股定理有，然后再通过等量代换即可得出
．【详解】（1）①如图，②∵将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，， ． ∵四边形ABCD是矩形，∴． ， ， ；（2），
证明：延长DE，AB交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴．∵平分，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴．【点睛】本题
主要考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握这些性质及定理是解题的关键．25. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M
，N，给出如下定义：P是图形M上的任意一点，Q是图形N上任意一点，如果P，Q两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N的“最小
距离”，记作d（M，N）．已知的半径为1．（1）如图，P（4，3），则（点，）= ，d（点P，）= ．（2）已知A、B是上两点，且弧AB的度数为60°．①若轴且在x轴上方，直线，求d（，AB）的值；②若点R坐标为（，1），直接写出点d(点R，AB）的取值范围．【答案】（1）1，4；（2）①1；②≤d(点R，AB）≤【解析】【分析】（1）根据定义可知，（点，）=r，d（点P，）=PO-r，求解即可；（2）①假设设点B在点A右侧，AB与轴交于点P，连接OA、OB，可求得∴，直线与轴交于点C，与轴交于点D，则点，，继而求出，可知点B到CD的距离就是AB与直线的“最小距离”，然后过点O作，垂足为E，即可求得；②d(点R，AB）最短为：OR-r，最长为：OR+r，求出OR即可求解．【详解】解：（1）（点，）=r=1，d（点P，）=PO-r=，故答案为：1，4；（2）①如图，不妨设点B在点A右侧，AB与轴交于点P，连接OA、OB，∵AB的度数为，∴，∴，∴，设直线与轴交于点C，与轴交于点D，则点，，∴，∴，∴，观察图形可知，点B到CD的距离就是AB与直线的“最小距离”，过点O作，垂足为E，∵，∴，∴，∴；②d(点R，AB）最短为：OR-r，最长为：OR+r，∵，∴≤d(点R，AB）≤．【点睛】本题考查点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，解题的关键是综合运用相关知识解决问题． 1 / 1 |
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