2023年高考数学（理）模拟试卷
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分．满分150分考试时间120分钟．
第卷 (选择题共60分)
一选择题：本大题共12小题每小题5分共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·＝( )
A. B. C．3 D．5
答案 D
解析 解法一：z＝2＋i＝2－i
∴z·＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.
解法二：z＝2＋iz·＝|z|2＝5.故选D.
2．(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0，1,2}，B＝{－1,0,1}，则(UA)∩B＝( )
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
答案 A
解析 U＝{－1,0,1,2,3}A＝{0,1,2}UA＝{－13}．又B＝{－1,0,1}(?UA)∩B＝{－1}．故选A.
3．(2019·湛江二模)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
答案 B
解析 由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．
4．(2019·内蒙古呼和浩特市高三3月第一次质量普查)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为 ( )
A．9 B．27 C．54 D．81
答案 B
解析 根据题意设等比数列{an}的公比为q若2a2为3a1和a3的等差中项则有2×2a2＝3a1＋a3变形可得4a1q＝3a1＋a1q2即q2－4q＋3＝0解得q＝1或3；又a2－a1＝2即a1(q－1)＝2则q＝3a1＝1则an＝3n－1则有a4＝33＝27.故选B.
5．(2019·绍兴市适应性试卷)函数f(x)＝(x3－x)ln |x|的图象是( )
答案 C
解析 因为函数f(x)的定义域关于原点对称且f(－x)＝－(x3－x)ln |x|＝－f(x)函数是奇函数图象关于原点对称排除B函数的定义域为{x|x≠0}由f(x)＝0得(x3－x)ln |x|＝0即(x2－1)ln |x|＝0即x＝±1即函数f(x)有两个零点排除Df(2)＝6ln 2>0排除A.故选C.
6．(2019·四川省内江二模)如果执行下面的程序框图，输出的S＝110，则判断框处为( )
A．k<10? B．k≥11? C．k≤10? D．k>11?
答案 C
解析 由程序框图可知该程序是计算S＝2＋4＋…＋2k＝＝k(k＋1)由S＝k(k＋1)＝110得k＝10则当k＝10时k＝k＋1＝10＋1＝11不满足条件所以条件为“k≤10？”．故选C.QQ：2724878
7．(2019·九江二模)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829～1905)首先发现，所以以他的名字命名，其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如题图设BC＝2以B为圆心的扇形的面积为＝又ABC的面积为××2×2＝勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积即为×3－2＝2π－2故在勒洛三角形中随机取一点此点取自等边三角形的概率为＝故选B.
8．(2019·淄博一模)已知M(－4,0)，N(0,4)，点P(x，y)的坐标x，y满足则·的最小值为( )
A. B. C．－ D．－
答案 C
解析 由点P(xy)的坐标xy满足
作出可行域如图中阴影部分
则·＝(x＋2)2＋(y－2)2－8的最小值为点A(－2,2)到直线3x－4y＋12＝0的距离的平方再减8由d＝＝可得(x＋2)2＋(y－2)2－8的最小值为－.故选C.
9．(2019·临沂一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝2，bsinA＝acos，则b＝( )
A．1 B. C. D.
答案 C
解析 在ABC中由正弦定理得＝得bsinA＝asinB又bsinA＝acosasinB＝acos即sinB＝cos＝cosBcos－sinBsin＝cosB－sinBtanB＝又B(0，π)，∴B＝.在ABC中a＝3c＝2由余弦定理得b＝＝＝.故选C.
10．(2019·山东济南高三3月模拟)若函数f(x)＝sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 0≤x≤π，∴－≤ωx－≤ωπ－而f(x)的值域为发现f(0)＝sin＝－
∴≤ωπ－≤整理得≤ω≤.则ω的最小值为.故选A.
11．(2019·石家庄模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线右支上一点，线段AF1交左支于点B，若AF2BF2，且|BF1|＝|AF2|，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．3
答案 B
解析 因|BF1|＝|AF2|设|AF2|＝3t
则|BF1|＝tt>0，
由双曲线的定义可得QQ：2724878
|BF2|＝|BF1|＋2a＝t＋2a|AF1|＝|AF2|＋2a＝3t＋2a
则|AB|＝|AF1|－|BF1|＝2t＋2a
由AF2BF2，可得(2a＋2t)2＝(3t)2＋(t＋2a)2
解得t＝a则在直角三角形ABF2中cosA＝＝＝
在AF1F2中可得cosA＝
＝＝化为c2＝a2则e＝＝＝.故选B.
12．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 由x2＋y2＝1＋|x|y当x＝0时y＝±1；当y＝0时x＝±1；当y＝1时x＝0±1.故曲线C恰好经过6个整点：A(0,1)B(0，－1)C(1,0)，D(1,1)，E(－1,0)F(－1,1)所以正确．由基本不等式当y>0时x2＋y2＝1＋|x|y＝1＋|xy|≤1＋所以x2＋y2≤2所以≤故正确．如图
由知长方形CDFE面积为2三角形BCE面积为1所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3故错误．故选C.
第卷 (非选择题共90分)
二填空题：本大题共4小题每小题5分共20分．
13．(2019·烟台一模)已知(a－x)(2＋x)5的展开式中x3的系数为40，则实数a的值为________．
答案 3
解析 (a－x)(2＋x)5＝(a－x)(32＋80x＋80x2＋40x3＋10x4＋x5)的展开式中x3的系数为40a－80＝40a＝3.
14．(2019·揭阳一模)在曲线f(x)＝sinx－cosx，x的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．
答案 x－y－1＝0
解析 由f(x)＝sinx－cosx得f′(x)＝cosx＋sinx＝sin
由sin＝1得sin＝
∵x∈，∴x＋，
∴x＋＝即x＝0.切点为(0－1)切线方程为y＋1＝x即x－y－1＝0.
15．(2019·唐山一模)在四面体ABCD中，AB＝BC＝1，AC＝，且ADCD，该四面体外接球的表面积为________．
答案 2π
解析 如图AB＝BC＝1AC＝AB⊥BC，又ADCD，∴AC的中点即为外接球的球心外接球的半径为
∴S球＝4π×＝2π.
16．(2019·河南省十所名校高三尖子生第二次联考)若函数y＝f(x)的图象存在经过原点的对称轴，则称y＝f(x)为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有________．(填写所有正确结论的序号)
y＝y＝cos；y＝ln (ex＋1)．
答案
解析 对于y＝ex(x≤0)的反函数为y＝ln x(0
对于令y＝f(x)＝cos则f(－x)＝cos＝cos＝cos＝f(x)所以函数y＝cos是偶函数它的图象关于y轴对称故是“旋转对称函数”.QQ：2724878
对于y＝ln (e＋1)>ln e＝x当x→＋∞时y→x，则函数y＝ln (e＋1)的图象只可能关于直线y＝x对称又y＝ln (e＋1)>ln 1＝0当x→－∞时y→0，这与函数y＝ln (e＋1)的图象关于直线y＝x对称矛盾故不是“旋转对称函数”．
三解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答．第2223题为选考题考生根据要求作答．
(一)必考题：60分．QQ：2724878
17．(本小题满分12分)(2019·四川攀枝花高三第二次统考)已知数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝2n－1(nN，n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解 (1)当n≥2时由于an－an－1＝2n－1a1＝1
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2
又a1＝1满足上式故an＝n2(nN)．
(2)bn＝＝＝
＝.
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
18．(本小题满分12分)(2019·石家庄质量检测)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，A1C＝BC.
(1)求证：A1B平面AB1C；
(2)若ABB1＝60°，CBA＝CBB1，ACB1C，求二面角B－AC－A1的余弦值．
解 (1)证明：因为侧面ABB1A1为菱形
所以A1BAB1，记A1B∩AB1＝O连接CO
因为A1C＝BCBO＝A1O
所以A1BCO，又AB1∩CO＝O
所以A1B平面AB1C.
(2)解法一：因为CBA＝CBB1，AB＝BB1BC＝BC所以CBA≌△CBB1，所以AC＝B1C.
又O是AB1的中点所以COAB1，
又A1BCO，A1B∩AB1＝O
所以CO平面ABB1A1.
令BB1＝2因为ABB1＝60°侧面ABB1A1为菱形AC⊥B1C，O为AB1的中点
所以CO＝1.
如图以O为坐标原点OB所在的直线为x轴OB1所在的直线为y轴OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系．
则O(0,0,0)A(0，－1,0)B(，0,0)，C(0,0,1)，A1(－0,0)，
所以＝(1,0)，＝(0,1,1)＝(－1,0)，＝(0,1)．
设平面ABC的法向量为n1＝(xy，z)，
则即
令x＝1则n1＝(1－)，
同理可得平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，－)
cos〈n1，n2〉＝＝－
由图知二面角B－AC－A1为钝角
所以二面角B－AC－A1的余弦值为－.
解法二：因为CBA＝CBB1，AB＝BB1BC＝BC
所以CBA≌△CBB1，
所以AC＝B1C.
设AB＝2因为ABB1＝60°侧面ABB1A1为菱形所以AA1＝AB1＝2OA＝OB1＝1OB＝OA1＝.
又ACB1C，所以CO＝1AB＝B1C＝
又A1C＝BCO为A1B的中点所以BC＝A1C＝2所以ABC为等腰三角形A1AC为等腰三角形．
如图取AC的中点M连接BMA1M，则BMA1为二面角B－AC－A1的平面角．
在BMA1中可得BM＝A1M＝A1B＝2
所以cosBMA1＝＝－
所以二面角B－AC－A1的余弦值为－.
19．(本小题满分12分)(2019·拉萨一模)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2，)在C上，且PFx轴．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝4于点M.证明：直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．
解 (1)因为点P(2)在C上且PFx轴所以c＝2设椭圆C的左焦点为E连接EP则|EF|＝2c＝4|PF|＝在RtEFP中|PE|2＝|PF|2＋|EF|2＝18所以|PE|＝3.
所以2a＝|PE|＋|PF|＝4a＝2
又b2＝a2－c2＝4
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：由题意可设直线l的方程为y＝k(x－2)
令x＝4得M的坐标为(4,2k)
由得(2k2＋1)x2－8k2x＋8(k2－1)＝0
设A(x1y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝x1x2＝.
记直线PAPB，PM的斜率分别为k1k2，k3，
从而k1＝k2＝k3＝＝k－.
因为直线l的方程为y＝k(x－2)所以y1＝k(x1－2)y2＝k(x2－2)
所以k1＋k2＝＋
＝＋－
＝2k－·.
①代入得k1＋k2＝2k－·＝2k－
又k3＝k－所以k1＋k2＝2k3
故直线PAPM，PB的斜率成等差数列．
20．(本小题满分12分)(2019·武汉一模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
()在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
()为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6827；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9545；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9973.
解 (1)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40.
(2)由题意X～N(17.40,6.92)．
()∵P(x＞μ－σ)＝＋≈0.8414
∴μ－σ＝17.40－2.63＝14.77时满足题意
即最低年收入大约为14.77千元．
()由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋≈0.9773得每个农民年收入不少于12.14千元的概率为0.9773
记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ则ξ～B(1000p)，其中p＝0.9773.
于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的概率是P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)1000－k
从而由＝1，得k1001p，
而1001p＝978.233
∴当0≤k≤978时P(ξ＝k－1)P(ξ＝k)
当979≤k≤1000时P(ξ＝k－1)P(ξ＝k)．
由此可知在走访的1000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.
21．(本小题满分12分)(2019·长春三模)已知aR，函数f(x)＝＋aln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若x＝2是f(x)的极值点，且曲线y＝f(x)在两点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))(x1
解 (1)f′(x)＝－＋＝
①当a≤0时f′(x)<0在x(0，＋∞)上恒成立
∴f(x)在(0＋∞)上单调递减；
当a>0时x∈时f′(x)<0，x∈时f′(x)>0，即f(x)在x上单调递减在x上单调递增．
(2)x＝2是f(x)的极值点
∴由(1)可知＝2a＝1.
设在P(x1f(x1))处的切线方程为y－＝(x－x1)在Q(x2f(x2))处的切线方程为y－＝(x－x2)
∵这两条切线互相平行
∴－＋＝－＋
∴＋＝.
＝－且0
∴<－<<<，∴x1∈(3,4)．
令x＝0则b1＝＋ln x1－1
同理b2＝＋ln x2－1.
解法一：＝－
∴b1－b2＝4＋ln x1－ln x2＝4－ln ＋ln .
设g(x)＝8x－2－ln x＋ln x∈，
∴g′(x)＝8－－＝＝<0
∴g(x)在区间上单调递减
∴g(x)∈，
即b1－b2的取值范围是.
解法二：x2＝
∴b1－b2＝4＋ln x1－ln x2＝－2＋ln .
令g(x)＝＋ln －2其中x(3,4)，
∴g′(x)＝－＋＝＝>0
∴函数g(x)在区间(3,4)上单调递增
∴g(x)∈，
∴b1－b2的取值范围是.
解法三：x1x2＝2(x1＋x2)
∴b1－b2＝－＋ln x1－ln x2＝＋ln ＝＋ln ＝＋ln .
设g(x)＝＋ln x
则g′(x)＝＋＝.
＝－1，∴g′(x)>0，
∴函数g(x)在区间上单调递增
∴g(x)∈，
∴b1－b2的取值范围是.
(二)选考题：10分．请考生在第2223题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
(2019·陕西模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α<π)．
(1)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
(2)若直线l经过点(1,0)，求直线l被曲线C截得的线段AB的长．
解 (1)将曲线C的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin2θ＝4ρcosθ得到曲线C的直角坐标方程为y2＝4x
故曲线C是顶点为O(0,0)焦点为F(1,0)的抛物线．
(2)直线l的参数方程为(t为参数0≤α<π)．
若直线l经过点(1,0)则α＝
∴直线l的参数方程为(t为参数)．
将其代入y2＝4x得t2＋6t＋2＝0.
设AB对应的参数分别为t1t2，则t1＋t2＝－6t1t2＝2.|AB|＝|t1－t2|＝＝
＝8.
23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]
(2019·陕西模拟)已知函数f(x)＝
的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．
解 (1)函数的定义域为R
∴|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立
设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|则m不大于函数g(x)的最小值
又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4
即函数g(x)的最小值为4m≤4.
(2)由(1)知n＝4
∴7a＋4b＝(6a＋2b＋a＋2b)＝
≥
＝
当且仅当a＋2b＝3a＋b即b＝2a＝时取等号．
7a＋4b的最小值为.
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