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直到最近，所有已知的非周期性平铺都至少使用了两种形状，而长期以来，寻找只使用一种形状的平铺一直是个主要问题。最近这个问题已经解决了，尽管仅仅有个条件限制...... 作者：Bill Casselman（比尔·卡塞尔曼）不列颠哥伦比亚大学 2023-6-1 译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2023-6-3
显示非周期性帽子平铺初始的剪纸 “但我们无论怎样分析规则和不规则之间的区别，最终都必能解释审美体验的基本事实，即快乐介于无聊和困惑之间。” -- E. H. Gombrich，在《秩序感 The sense of order》 https:///details/senseoforderst00gomb （第9页顶部） 爆炸新闻。就在本专栏即将发布时，下文所述原始构造的作者宣布了一种不使用反射瓦片的新非周期性瓦片。详情参阅Kaplan的新网页 https://cs./~csk/spectre/ 或新提交的arXiv文章 https:///abs/2305.17743 通过一组二维形状对平面密铺（tiling，又译平铺）是指通过全等形状副本对整个平面划分，其中没有重叠或间隙。一个常见的例子是正六边形的平铺：
用正六边形平铺平面 并非所有形状都可以完成密铺。例如，平铺平面的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形。正八边形需要正方形填充，形成另一种常见图案。
用八边形和正方形平铺平面 这些例子是周期性的（periodic）——它们在一组完全离散的平移下是不变的。从数学的角度来看，更有趣的是非周期性（aperiodic）平铺，它在任何平移下都不是不变的。非周期平铺中最著名的是彭罗斯瓷砖（Penrose tiling），五边形在发挥了作用：
彭罗斯平铺 彭罗斯平铺使用两种形状，粗菱形（thick rhombus）和细菱形（thin rhombus）。
细菱形
粗菱形 直到最近，所有已知的非周期性平铺都至少使用两种形状，长期以来，寻找只使用一种形状的平铺一直是一个主要问题。最近这个问题已经解决了，尽管只有一个条件：
帽子非周期性平铺 制作这种瓷砖的单一形状类似于一顶帽子。从某种意义上说，它是一种相当基本的形状，因为它非常适合平面的标准六边形平铺：
六边形瓷砖内的一顶帽子 此构造归功于四位作者大卫·史密斯、约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯、克雷格·S·卡普兰和查姆·古德曼-施特劳斯。他们已经在arXiv上发布了一篇关于它的长篇文章 https:///abs/2303.10798 ，并且大概最终会在专业期刊上发表。当它首次出现时，它得到了《卫报》和《纽约时报》等很多媒体的关注。可能引起这种关注的一件事是瓷砖被昵称为“爱因斯坦”（einstein）。这与著名物理学家无关。“ein”这个词在德语中是“一”的意思，而“Stein”在德语中是“石头”的意思，例如被吸收到游戏代币名字“Spielstein”这个词中。 然而，正如我所说，断言它只使用单个瓷砖是有条件的。确实如此，因为该瓷砖的两个面都被用到了。在下图中，镜像的瓷砖是彩色的：
帽子平铺中的镜像瓷砖 事实上，镜像瓷砖在理解这种瓷砖的结构方面发挥着重要作用。因此，尽管这是一个非凡且有价值的结构，但它仍然没有解决通过单一形状找到非周期性平铺的问题。 在这篇文章的其余部分，我想做的只是让大家了解一下新帽子平铺的独特之处。而不是回答诸如此类的问题：这个结构是如何被发现的？有变体吗？确切地说，为什么它是非周期性的？这些都非常困难，至少在arXiv论文中得到了部分回答。但即使实现我有限的意图也不是一项简单的任务。在这样做的过程中，我基本上会略微扩展史密斯等人的阐述。 瓷砖的结构 让我们更仔细地观察平铺，看看是否可以辨别出某种模式。很快就会变得明显的一件事是镜像帽子的邻域都是相似的。此类最重要的观察结果是该邻域中的三个非镜像的帽子总是形成全等的三元组：
帽子平铺中的帽子簇 我将这些四顶帽子组称为H簇（H-cluster）。 现在我想到了几件事。一个是 H 簇的三元组内经常出现单项帽子。另一个是 H 簇的最近角落是由三个帽子组成的组，它们在 120°旋转下不变：
帽子平铺中的帽子簇 这些扩展到更大的六顶帽子组，在 120°旋转下仍然不变：
帽子平铺中的帽子簇 此时剩下来未作标记的部分相当简单。未标记的瓷砖要么是孤立的帽子，要么是夹在两个 H 簇之间的几顶帽子。值得注意的结论是，平铺中的帽子可以分为四种类型的集群之一，因此我们通过这四种类型得出了一个新的平铺：
按帽子簇平铺 这些簇中的每一个都可以与一个更简单的图形相结合，称为元瓷砖（metatile） 。它们被命名为（显然是任意的命名） T 、 H 、 P和F。
四种元瓷砖 其中三个形状在某种旋转下是不变的，而底层的帽子组则不是。所以它们必须保持跟踪方向（如下图中箭头所示）。 簇的平铺产生了元瓷砖的平铺！
元瓷砖的平铺 从帽子到元瓷砖的这种转变是明确构建平面平铺的主要步骤，尽管转变方式并不明显。 膨胀和紧缩 元瓷砖本身可以组成超瓷砖（supertile） ...
...它们本身可以聚集成更大的超瓷砖...
超瓷砖的平铺 ...一直到无穷。 关键是，如果只给一块非常大的超瓷砖，可以构建它包含的所有超瓷砖（它的后代），然后重复这个过程，直到到达底层的元瓷砖，可以放帽子的地方。通过这种方式，可以以一致的方式构建任意大的帽子补丁，并且一些非常普遍的推理可保证整个平面的覆盖存在，即使你当然无法构建它。起初，史密斯等人似乎非同寻常提出了这个方案，但实际上它是一种众所周知的非周期性平铺技术的变体——例如彭罗斯平铺。从帽子/元瓷砖/超瓷砖的一层上升到主宰它的一层被称为膨胀（inflation），而下降到它所主宰的一层被称为紧缩（deflation） 。不过，此处实现的版本有一个全新且值得注意的特性 - 不同层中的瓷砖不是相似的形状，而是与后代和父母相比有一点儿变形。 超瓷砖的参数 那么现在我们要问：给定元瓷砖的平铺，如何构建支配它的超瓷砖的平铺？更一般地说，如何从一个超瓷砖平铺到达主宰它的一层？以及到达它主宰的那一层？ 在这个事情中出现的所有超瓷砖都具有相同的一般外观——史密斯等人称为一个固定的组合配置。它们可用少量参数表征：长度 a、x、y、一个向量 z₀（以及旋转）和一个角度 e。
除了z. 之外的所有方向都与以角度e倾斜的六边形的边缘对齐。某些节点（node）是一个配置及其后代中的顶点，并且配置由这些节点与向量 z* 一起确定。一个配置的超瓷砖及其后代并不相似，正如彭罗斯平铺，但史密斯等人说，基本长度的比率渐近为 τ = (1 + √5)/2。这些配置层的存在，以及史密斯等人发现的事实，在我看来是一种奇迹。 不同层级的配置如何相互作用，特别是如何构造任何有限的配置序列，应该从下图中大致清楚：
各平铺层 按照此图，可以使用两层共有的节点，以配置中的路径定位每一层中的点。例如，假设我们给出了标记为灰色的配置，并且想要找到较高层的配置（红色）的参数。这意味着我们得到了节点 A。
下图中画出了几代的F-瓷砖。形状变化不大，正如我所说，在极限情况下，某一代中的数字是上一代中按与黄金比例相关的常数缩放的数字。倾斜度从 0° 开始，然后迅速收敛到一个固定角度，大致为 -7°。
这是一个不同的版本，重新缩放了瓷砖以便进行比较：
瓷砖形状比较 收敛是显而易见的。奇怪的是，也许有点令人困惑，初始（元）瓷砖和后续（超）瓷砖之间的差异如此之大。 总结 绘制任何非周期性瓷砖集的基本问题是构造非局部的。也就是说，无法在很远的地方开始铺设不涉及一些计算的瓷砖。此外，只能在必须预先固定的有界区域中绘制瓦片。对于帽子，过程是这样的：
一块超瓷砖
超瓷砖的后代 然后它的后代的后代......
超瓷砖的后代的后代 最终，你将看到元瓷砖：
元瓷砖 用帽子簇代替它们：
帽子簇 进一步阅读 小乐数学科普：解密非周期单瓦片——克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）访谈 【彭罗斯瓷砖】
【帽子】
此页面提供了一组涉及瓷砖的图形，但对它们的使用非常缺乏限制。（这与罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）如何对他的瓷砖施加强大的版权保护形成对比。https://www./library/detail.aspx?g=e1f72f7b-f75a-4b2c-b9c8-2c2e8ed6e095 ）
例如，此网页包含可提供给 3D 打印机以制作帽子瓷砖的文件。（本专栏顶部照片中的瓷砖是由不列颠哥伦比亚大学物理机械车间 https://phas./3d-printing-services 的技术总监 Mladen Bumbulovic 用其中之一制作的。）
论文的 arXiv 预印本，其中构建和分析了帽子平铺。这篇令人印象深刻的论文的大部分内容都致力于对各种主张的详细证明，这些主张相当复杂。许多涉及计算机辅助，以逐个消除困难。
这表明与帽形平铺相关的 X 射线光谱是离散的，与许多其他非周期性平铺相关的 X 射线光谱也是如此。这些结果将非周期性平铺与数学的主流联系起来。 原文链接：https://mathvoices./featurecolumn/2023/06/01/hat-tricks/ 让数学 更加 易学易练， 易教易研， 易赏易玩， 易见易得， 易传易及。 |
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