陕西省2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：_______
_______一、单选题1．若全集U={-2，1，2，5}，集合A={1，2，5}，B={-2，1，2}，则=（?）A．{-2，5
}B．{-2，1，2}C．{1，2}D．{2}2．复数的虚部为（?）A．B．C．D．3．下列命题中，真命题的个数为（?）①若，则；
②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直；③所有单位向量都相等；④若，则、、三点共线；⑤若点到平面内两个定点的距离之
和是一个定值，则点的轨迹为椭圆；A．1B．2C．3D．44．已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为
16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（?）A．这五位同学年龄的平均数变为19B．这五位同学年龄的方差变为3.8C．这五位
同学年龄的众数变为19D．这五位同学年龄的中位数变为195．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人
血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，
则最长需要在多少小时后再次注射此药品（，结果精确到0.1）（?）A．2.7B．2.9C．3.1D．3.36．下面命题中不正确的是（
?）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件D．设，，则“且
”是“”的充要条件7．数列中，，则的值为（?）A．B．C．D．8．已知扇形的周长为6，圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为（?）A
．2B．4C．6D．89．已知α，β是两个不同平面，a，b是两条不同直线，则下列命题正确的是（?）A．若，，则B．若，，，则C．若
，，，则D．若，，，则10．在中，角、、的对边分别为、、，若，的面积为，则的最小值为（?）A．B．C．D．11．过点可作三条直线与
曲线相切，则实数a的取值范围为（?）A．B．C．D．12．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（?）A．B．
C．D．二、填空题13．已知直线：，与双曲线：的一条渐近线垂直，则__________.14．已知x，y满足约束条件，则的最大值是
___________.15．在三棱锥中，平面，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________.16．已知函数，若函数恰有4个
不同的零点，则实数的取值范围是________.三、解答题17．已知是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列.(1)求数列的通项公
式；(2)设，求数列的前项和.18．某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一第一学期期中考
试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区间为：.(1)求图中的值；(2)利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中
考试的平均分（同一分组的成绩用该组区间的中点值做代表）；(3)若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本
估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线.19．如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，，的中点．(1)
证明：平面；(2)求二面角的正弦值．20．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的
上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．21．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间
；(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.22．已知直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线的极坐标方程为．(1)求的直角坐标方程与的参数方程；(2)若与相交于不同的两点，求的值．23．已知函数．(1)求不等式的解集；(
2)设时，的最小值为M．若正实数a，b，满足，求的最小值.参考答案：1．A【分析】由交集，补集定义可得答案.【详解】因A={1，2
，5}，B={-2，1，2}，则.又U={-2，1，2，5}，则.故选：A2．B【分析】由复数除法法则计算后，根据复数定义可得．【
详解】，所以的虚部为，故选：B．3．B【解析】根据相等向量的定义可判断①；由零向量的定义可判断②；由单位向量的定义可判断③；向量共
线且有相同起点可判断④；根据椭圆定义可判断⑤.【详解】①相等向量是指大小相等方向相同的两个向量，若，则的方向不一定相同，错误；②零
向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直，正确；③所有单位向量模长相等，但是方向不一定相同，错误；④若，且两个向量有共同
的起点A，则、、三点共线；⑤在同一平面内，点到两个定点的距离之和是一个定值，并且这个定值大于两个定点之间的距离，则点的轨迹为椭圆，
比如定值等于两个定点之间的距离，轨迹为线段，所以错误；故选：B.【点睛】本题考查向量的有关概念、椭圆的定义，关键点是熟练掌握向量的
有关概念和性质、椭圆的定义，考查了学生对基本概念的理解.4．B【分析】利用平均数、中位数、方差的定义及性质注意判断即可．【详解】解
：甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为16，方差位0.8，三年后，这五位同学年龄的平均数变为，故A正
确；这五位同学的方差不变，仍为0.8，故B错误．这五位同学年龄的众数变为，故C正确；这五位同学年龄的中位数变为，故D正确；故选：B
．5．C【分析】根据题意列出关于的式子，根据对数的运算性质即可求解.【详解】设注射个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则，由得
： 故的最大值为3.1,故选：C6．C【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断
选项B的正误．【详解】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对；对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存
在，则”，故B对；对于C，“且”“”，但“”推不出“且”，所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错；对于D，且，则“”是“”的充要
条件，故D对；故选：C．7．B【分析】将代入，再利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.【详解】.故选：B.8．B【分析】利用
扇形的周长与圆心角求出扇形的半径，然后利用扇形的弧长公式计算即可.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，则周长为6得：，所以扇
形的弧长为：，故选：B.9．C【分析】分别利用线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理判断即可.【详解】对于,若
，，则或，故错误，对于,若，，时，可能与相交，但不垂直，即不一定，故错误，对于,由平面与平面垂直的性质定理可知，若，，，时，则，若
时，直线与平面不垂直，故错误，对于C. 若，则两平面的法向量互相垂直，因为，，所以，正确故选：C.10．C【分析】求出角的值，利用
三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值.【详解】因为且，则，因为，所以，，由余弦定理可得，所以，，当且仅
当时，等号成立，故的最小值为.故选：C.11．D【分析】求导得到导函数，设切点为，得到切线方程，代入点坐标得到，设，计算函数的极值
，得到答案.【详解】，，设切点为，则切线方程为，切线过点，，整理得到，方程有三个不等根.令，则，令，则或，当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，极大值，极小值，函数与有三个交点，则，的取值范围为.故选：D12．C【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以
及式子的结构特征进行分析.【详解】因为，所以，令，所以，对函数求导：，?由有：，由有：，所以在单调递增，在单调递减，因为，由有：，
故A错误；因为，所以，由有：，故D错误；因为，所以，因为，所以，所以，故C正确；令 有：=，当，.所以在单调递增，当时，，即，又，
所以，因为，所以，因为在内单调递减，所以，即，故B错误.故选：C.13．4【分析】求得双曲线的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系
，即可求得结果.【详解】对双曲线：，其渐近线方程为，对直线：，且斜率为，根据题意可得，解得.故答案为：.14．2【分析】根据不等式
组作出可行域，再由目标函数的几何意义可求得其最大值.【详解】解：由已知作出可行域如下图所示，由得，则在点处取得最大值2.故答案为：
2.15．【分析】由已知中平面， ，可得：三棱锥外接球等同于以 为长宽高的正方体的外接球，进而得到答案．【详解】∵平面，，故三棱锥
外接球等同于以 为长宽高的正方体的外接球，故三棱锥外接球的表面积 ，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，根据已知借助正
方体模型求出球的半径，是解答的关键．属于中档题．16．【解析】本题首先可根据函数解析式得出函数在区间和上均有两个零点，然后根据在区
间上有两个零点得出，最后根据函数在区间上有两个零点解得，即可得出结果.【详解】当时，令，得，即，该方程至多两个根；当时，令，得，该
方程至多两个根，因为函数恰有4个不同的零点，所以函数在区间和上均有两个零点，函数在区间上有两个零点，即直线与函数在区间上有两个交点
，当时，；当时，，此时函数的值域为，则，解得，若函数在区间上也有两个零点，令，解得，，则，解得，综上所述，实数的取值范围是，故答案
为：.【点睛】本题考查根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，考查函数最值的应用，考查推理能力与
计算能力，考查分类讨论思想，是难题.17．(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件可得出关于的等式，解出的值，再
利用等差数列的通项公式即可求得的表达式；（2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得.【详解】（1）设等差数列的公差为，，则，，
且，又因为、、成等比数列，所以，即，又，解得，所以.（2）由（1）知，所以.18．(1)(2)73(3)82.5【分析】（1）由频
率分布直方图的所有长方形的面积之和等于1，即可求出答案；（2）由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；（3）由频率分布直方图
可知，区间占5%，区间占20%，估计“优秀”档次的分数线在之间，由此即可求出答案.【详解】（1）由题意得，，解得：；（2）估计该校
此次期中考试平均分为；（3）由频率分布直方图可知，区间占5%，区间占20%，估计“优秀”档次的分数线为：.19．(1)证明见解析(
2)【分析】（1）连接ME，，证明四边形MNDE为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）连接，，设，，以O为原
点，可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）连接ME，，∵M，E分别为，BC中点，∴ME为的中位线，∴且
，因为且，所以四边形为平行四边形，所以且，又N为中点，∴且，∴，，∴四边形MNDE为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面；（2）连
接，，设，，由直四棱柱性质可知：平面ABCD，∵四边形ABCD为菱形，∴，则以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则：，，，
，，取AB中点F，连接DF，则，∵四边形ABCD为菱形且，∴为等边三角形，∴，又平面ABCD，平面ABCD，∴，又平面，∴平面，即
DF⊥平面，∴为平面的一个法向量，且，设平面的一个法向量为，又，，∴，令，则，，∴平面的一个法向量为∴，∴，∴二面角的正弦值为．2
0．(1)(2)【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.
【详解】（1）由题意得，，，，，，椭圆的标准方程为．（2）依题意，知，设，．联立消去，可得．，即，，，．，．，，整理，得，解得或（
舍去）．直线的方程为．21．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方
程；（2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（3）由可得，令，分析可知直线与函数在上的图
象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，，，所以，，，故曲线在点处的切
线方程为.（2）解：，则.当时，，在上单调递增；当时，由，得，若，则；若，则.当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当
时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为.（3）解：当时，由可得，令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点，，当时，，
此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点
，因此，实数的取值范围是.22．(1)曲线；直线（为参数）(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则可直接得到曲线的直角坐标
方程；根据直线所过点和倾斜角可求得直线参数方程；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，根据直线参数方程中参数的几何意义可知所求为，结合韦达定理可求得结果.【详解】（1）由得：，，即，即曲线的直角坐标方程为：.过点，且倾斜角为，的参数方程为：（为参数）.（2）将参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，即，设对应的参数分别为，则，，，，，.23．(1)(2)【分析】（1）首先对不等式化简，再由零点分段讨论即可得到原不等式的解；（2）首先求得的最小值为M，再由基本不等式即可求得的最小值.【详解】（1），可化为，当时，不等式化为，解得，此时；当时，不等式化为，恒成立，此时；当时，不等式化为，解得，此时．综上所述，不等式的解集为；（2）．当时取.∴，即．∴，当且仅当，即，时取等号．∴的最小值为．答案第11页，共22页试卷第11页，共33页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页 |
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