线段差（带系数）的最大值，动点

正方形ABCD，边长AD=6，以点B为圆心、3为半径做圆。P为圆上一动点，连接PD、PC，求PD-PC/2的最大值。

【分析】

转化成不带系数的线段差，利用三角形两边之差小于第三边可轻松求取，因此去掉系数是本题的关键一步。

如上图，连接PB，注意到PB=3，而BC=AD=6，

显然BP/BC=1/2，可以考虑以∠PBC为公共角，构造相似三角形，

如上图，在BC上找一点C'，令BC'/BP=BP/BC=1/2

而∠PBC是公共角，因此，△PBC’∽△C'BP

 所以PC'/PC=BP/BC= 1/2

所以PC'=PC/2，BC'=BP/2=3/2

待求式PD-PC/2就转化为PD-PC'

连接C'D，在△PDC'中，PD-PC'<DC'(三角形两边之差小于第三边)

又因为点P是圆B上的动点，当P运动到DC'与圆的交点时，可取最大值和最小值，

如上图，所示，当点P在G处时，PD-PC/2可取最小值DG；当点P在H处时，PD-PC/2可取最大值DC'

【求解】

在Rt△DCC'中，DC=6，CC'=BC-BC'=9/2

根据勾股定理，DC'=15/2

所以，当点P在H处时，(PD-PC/2)max=DC' = 15/2

【小结】

利用三角形两边之差小于第三边求取线段差最值问题，是常见的解题方法。

通过构造相似三角形（相同夹角且夹角两边对应成比例，三角形相似的判定定理），将系数去掉，这在解决带系数线段和的最值问题时，也是常用的方法之一。