问题一: 一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上二级台阶,求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。 我们来分析一下:
当n等于1的时候,只需要跳一次即可,只有一种跳法,记f(1)=1
当n等于2的时候,可以先跳一级再跳一级,或者直接跳二级,共有2种跳法,记f(2)=2 当n等于3的时候,他可以从一级台阶上跳两步上来,也可以从二级台阶上跳一步上来,所以总共有f(3)=f(2)+f(1);
同理当等于n的时候,总共有f(n)=f(n-1)+f(n-2)(这里n>2)种跳法。
![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/06/1017/267464510_1_2023061005481287.png)
所以大家一看就知道这就是个斐波那契数列,只不过有一点不同的是斐波那契数列一般是以1,1,2,3,5,8,13……开始的,而我们这是以1,2,3,5,8,13……开始的,少了最前面的一个1。最代码很简单
1public static int f(int n) { 2 if (n < 3) 3 return n; 4 return f(n - 1) + f(n - 2); 5}
我们以计算f(6)为例画个图看一下计算的过程 ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/06/1017/267464510_2_20230610054812166.png)
我们看到递归会重复计算已经计算过的值,效率明显不是很高,我们还可以把计算过的值储存起来,防止重复计算,我们来看下代码
1private static int f2(int n, HashMap<Integer, Integer> map) { 2 if (n < 3) return n; 3 if (map.containsKey(n)) 4 return map.get(n); 5 int first = f2(n - 1, map); 6 int second = f2(n - 2, map); 7 int sum = first + second; 8 map.put(n, sum); 9 return sum; 10}
我们还可以把递归改为非递归的形式,看下代码
1private static int f3(int n) { 2 if (n < 3) 3 return n; 4 int first = 1, second = 2, sum = 0; 5 while (n-- > 2) { 6 sum = first + second; 7 first = second; 8 second = sum; 9 } 10 return sum; 11}
上面3种方式都可以实现青蛙跳台阶问题,那么哪种效率更高呢,我们来找个比较大的数据测试一下
1public static void main(String[] args) { 2 int step = 45; 3 long time = System.nanoTime(); 4 System.out.println(f(step)); 5 System.out.println("代码优化前时间:" + (System.nanoTime() - time)); 6 time = System.nanoTime(); 7 System.out.println(f2(step, new HashMap<Integer, Integer>())); 8 System.out.println("代码优化后时间:" + (System.nanoTime() - time)); 9 time = System.nanoTime(); 10 System.out.println(f3(step)); 11 System.out.println("代码非递归时间:" + (System.nanoTime() - time)); 12}
来看一下运行的时间 11836311903 2代码优化前时间:2221741900 31836311903 4代码优化后时间:108000 51836311903 6代码非递归时间:17600
我们看到递归优化之前运行时间是非常长的,优化之后时间大幅下降,但对于非递归来说又稍逊色了一些。
问题二: 一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上二级台阶……,也可以跳n级,求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。 我们来分析一下 一只青蛙要想跳到n级台阶,可以从一级,二级……,也就是说可以从任何一级跳到n级, ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/06/1017/267464510_3_20230610054812353.png)
所以递推公式我们很容易就能想到
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……+f(2)+f(1)+f(0);最后这个f(0)是可以去掉的,因为0级就相当于没跳,所以f(0)=0; 然后我们把f(0)去掉在转换一下: f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+……+f(2)+f(1); 所以f(n)=f(n-1)+f(n-1)=2*f(n-1);他是一个等比数列,且f(1)=1; 我们我们可以得出f(n)=2^(n-1);代码如下 1private static int f4(int n) { 2 if (n == 1) 3 return 1; 4 return f4(n - 1) * 2; 5}
或者还可以改为非递归的
1private static int f5(int n) { 2 if (n == 1) 3 return 1; 4 return 1 << (n - 1); 5}
问题三: 一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级……它也可以跳上m级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法
这道题我们要分开讨论: 1,如果n<=m;因为只能往上跳不能往下跳,所以大于n的都不可以跳,如果跳了就直接超过了,只能跳小于等于n的数字,那么这个问题就直接退到问题2了。 2,如果n>m;我们要想跳到n级台阶,我们可以从n-1级跳一步上来,或者从n-2级跳两步上来……,或者从n-m级跳m步上来,所以我们可以找出递归公式 f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-m); 进一步可以推出: f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-m) + f(n-m-1); 化简结果为:
f(n) = 2f(n-1) - f(n-m-1);(n>m) 所以代码我们要分为两部分,一部分是n>m,另一部分是n<=m,我们来看下代码 1public static int f6(int n, int m) { 2 if (n <= 1) 3 return 1; 4 //总台阶大于跳的最高级台阶 5 if (n > m) 6 return 2 * f6(n - 1, m) - f6(n - 1 - m, m); 7 //回退到上面的问题二了 8 return 2 * f6(n - 1, n); 9}
斐波那契数列又称黄金分割数列,他有很多的特性,比如兔子的繁殖,他的通项公式如下 ![](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2023/06/1017/267464510_4_20230610054812509.png)
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