【原】跳表详解

我们知道如果一个数组是有序的，查询的时候可以使用二分法进行查询，时间复杂度可以降到 O(logn) ，但如果链表是有序的，我们仍然是从前往后一个个查找，这样显然很慢，这个时候我们可以使用跳表（Skip list），跳表就是多层链表，每一层链表都是有序的，最下面一层是原始链表，包含所有数据，从下往上节点个数逐渐减少，如下图所示。

跳表的特性：

• 一个跳表有若干层链表组成；

• 每一层链表都是有序的；

• 跳表最下面一层的链表包含所有数据；

• 如果一个元素出现在某一次层，那么该层下面的所有层都必须包含该元素；

• 上一层的元素指向下层的元素必须是相同的；

• 头指针 head 指向最上面一层的第一个元素；

跳表节点的插入

如果是单链表只需要找出待插入节点的前一个节点即可，但在跳表中不光要插入到原始链表中，在他上面的某些层也有可能需要插入，实现方式有随机性和确定性两种选择，其中随机性一般比较常见。比如要在跳表中插入一个元素，可以随机生成一个数字 level ，从 level 层往下每层都要插入。所以跳表中节点不光有 next 属性，还有 down 属性，他指向下一个节点的引用，先来看下跳表的节点类。

 // 跳表的节点类。
 public class SkipListNode {
     // 跳表节点的值，在实际应用中节点类可以加个泛型，这里为了方便介绍，直接使用 int 类型。
     public int val;
     public SkipListNode next;// 指向后面一个节点。
     public SkipListNode down;// 指向下面一层的相同节点。
 
     public SkipListNode(int val, SkipListNode next) {
         this.val = val;
         this.next = next;
    }
 }

在跳表中我们还需要定义一个最大值 MAX_LEVEL ，就是跳表的最大层级数不能超过这个值。我们再来看下索引层级的随机函数，他主要用于在插入节点的时候从第几层开始插入，他是随机的，越往上机率越小，这也符合跳表的特性，越往上节点越少，最大值不能超过 MAX_LEVEL  。

 // 索引层级随机函数。
 private int randLevel() {
     int level = 1;// 1 的概率是0.5，2的概率是0.25，3的概率是0.125，4的概率是0.0625，……
     // Math.random()每次会生成一个 0 到 1 之间的随机数
     while (Math.random() < 0.5f && level < MAX_LEVEL)
         level++;
     return level;
 }

在跳表中每一层都有一个头节点，头节点不存储任何数据，其中 head 是最上面一层的头节点，跳表的插入，删除以及查找都是从他开始的，如果想要获取下面一层的头节点，可以通过 head.down 获取。跳表的插入总共分为 3 步：

第一步：在跳表节点插入之前先判断上面的层级有没有创建，如果没有创建，需要先创建，如下图所示。

第二步：如果创建了层级或者插入的层级小于跳表的层数，需要找到每一层待插入节点的前一个节点，如下图所示。

第三步：从上往下插入节点，链表的插入可以参考单向链表，插入的节点除了连接 next 指针以外，还要连接 down 指针。

来看下代码：

 public void add(int num) {
     int level = randLevel();// 从第几层开始插入，随机数。
     // 记录待插入节点的前一个节点。
     SkipListNode[] preNodes = new SkipListNode[level];
 
     // 第一步：如果跳表层数比较少，在上面添加，层数至少为 level 。
     if (curLevelCount < level) {
         SkipListNode beforeHead = head;
         head = new SkipListNode(-1, null);// 更新 head 节点。
         SkipListNode curHead = head;
         // 在上面添加每层的头节点。
         for (int i = curLevelCount; i < level - 1; i++) {
             SkipListNode node = new SkipListNode(-1, null);
             curHead.down = node;
             curHead = node;
        }
         // 最后创建的链表头节点和之前的头节点连在一起。
         curHead.down = beforeHead;
    }
 
     // 第二步：从上往下查找每层待插入节点的前一个节点。
     SkipListNode pre = head;
     // 上层不需要插入的跳过。
     for (int i = curLevelCount - 1; i >= level; i--)
         pre = pre.down;
     // 从当前层往下每层都要插入该节点，找出每层待插入节点的前一个节点。
     for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
         while (pre.next != null && pre.next.val < num)
             pre = pre.next;
         preNodes[i] = pre;// 记录前一个节点。
         pre = pre.down;
    }
 
     // 第三步：节点插入，插入的时候不光有 next 指针，而且还有 down 指针。
     SkipListNode topNode = null;
     // 把新建节点 node 插到该层下面的每一层。
     for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
         // 创建新节点。
         SkipListNode node = new SkipListNode(num, preNodes[i].next);
         // 链表的插入，参见单向链表的插入。
         preNodes[i].next = node;
         // 上下也要连接。
         if (topNode != null)
             topNode.down = node;
         topNode = node;
    }
     if (level > curLevelCount)// 更新跳表的层级，用来记录当前跳表的层级。
         curLevelCount = level;
 }

跳表的查询

跳表的查询从最上面一层开始，每层往后查找，如果后面没有节点了或者后面的节点值比要查找的大，就往下面查找，如果找到返回 true ，如果没找到返回 false ，如下图所示。

来看下代码：

 // 查找值为 target 的节点。
 public boolean search(int target) {
     SkipListNode pre = head;
     while (pre != null) {
         // 如果当前节点值小于 target ，需要到右边查找，如果右边没有节点就到下边查找。
         if (pre.val < target) {
             if (pre.next == null)// 右边没有节点，到下边查找
                 pre = pre.down;
             else
                 pre = pre.next.val > target ? pre.down : pre.next;
        } else if (pre.val == target) {// 如果找到直接返回。
             return true;
        } else {
             return false;// 如果当前节点值大于 target ，说明没有，直接返回 false 。
        }
    }
     return false;
 }

跳表节点的删除

节点的删除和添加类似，也是先从上往下找到待删除节点的前一个节点，因为单链表中节点的添加和删除都需要前一个节点。找到之后从当前层往下每一层都要删除，如果上面一层的节点都被删除完了，还需要把上层的链表清空，如下图所示。

来看下代码：

public boolean remove(int num) {
     // 删除链表和插入链表类似，都是需要先找到插入或删除链表的前一个节点。
     int topIndex = -1;// 从当前层开始往下每层都要删除。
     // 查找待删除节点的前一个节点，从上面一层开始查找。
     SkipListNode pre = head;
     for (int i = curLevelCount - 1; i >= 0; i--) {
         while (pre.next != null && pre.next.val < num)
             pre = pre.next;
         // 如果找到就终止查找，表示在当前层以及他下面的所有层都要删除该节点。
         if (pre.next != null && pre.next.val == num && topIndex == -1) {
             topIndex = i;
             break;
        }
         if (pre.down == null)// 如果跳表中没有要删除的节点，返回 false 。
             return false;
         pre = pre.down;// 当前层没找到就往下一层继续查找。
    }
 
     if (topIndex == -1)// 如果跳表中没找到要删除的节点，返回 false 。
         return false;
 
     // 从 topIndex 层开始，他下面的每一层都要删除。
     for (int i = topIndex; i >= 0; i--) {
         if (pre.next != null)// 节点删除，参考单向链表删除。
             pre.next = pre.next.next;
         pre = pre.down;// 继续下一层的删除。
         if (pre != null)// 找到待删除节点的前一个节点。
             while (pre.next != null && pre.next.val != num)
                 pre = pre.next;
    }
     // 如果上面一层的节点被删除完了，要更新 curLevelCount 的值 ，还要更新 head节点。
     SkipListNode cur = head;
     while (curLevelCount > 1 && cur.next == null) {
         cur = cur.down;
         head = cur;
         curLevelCount--;
    }
     return true;
 }

最后我们再来看下完整代码：

public class SkipList1 {
 
     // 打印跳表。
     private static void printLinked(SkipList1 skipList) {
         SkipListNode cur = skipList.head;
         while (cur != null) {
             SkipListNode tmp = cur.next;
             while (tmp != null) {
                 System.out.print(tmp.val + ",");
                 tmp = tmp.next;
            }
             System.out.println();
             cur = cur.down;
        }
    }
 
     // 跳表的最大层数。
     private int MAX_LEVEL = 16;
 
     // 当前跳表的最大层级。
     private int curLevelCount = 1;
 
     // 初始化定义一个头节点，指向最上面一层的第一个元素，头节点不存储任何数据。
     private SkipListNode head;
 
     public SkipList1() {// 构造函数。
         head = new SkipListNode(-1, null);
    }
 
     // 查找值为 target 的节点。
     public boolean search(int target) {
         SkipListNode pre = head;
         while (pre != null) {
             // 如果当前节点值小于 target ，需要到右边查找，如果右边没有节点就到下边查找。
             if (pre.val < target) {
                 if (pre.next == null)// 右边没有节点，到下边查找
                     pre = pre.down;
                 else
                     pre = pre.next.val > target ? pre.down : pre.next;
            } else if (pre.val == target) {// 如果找到直接返回。
                 return true;
            } else {
                 return false;// 如果当前节点值大于 target ，说明没有，直接返回 false 。
            }
        }
         return false;
    }
 
     public void add(int num) {
         int level = randLevel();// 从第几层开始插入，随机数。
         // 记录待插入节点的前一个节点。
         SkipListNode[] preNodes = new SkipListNode[level];
 
         // 第一步：如果跳表层数比较少，在上面添加，层数至少为 level 。
         if (curLevelCount < level) {
             SkipListNode beforeHead = head;
             head = new SkipListNode(-1, null);// 更新 head 节点。
             SkipListNode curHead = head;
             // 在上面添加每层的头节点。
             for (int i = curLevelCount; i < level - 1; i++) {
                 SkipListNode node = new SkipListNode(-1, null);
                 curHead.down = node;
                 curHead = node;
            }
             // 最后创建的链表头节点和之前的头节点连在一起。
             curHead.down = beforeHead;
        }
 
         // 第二步：从上往下查找每层待插入节点的前一个节点。
         SkipListNode pre = head;
         // 上层不需要插入的跳过。
         for (int i = curLevelCount - 1; i >= level; i--)
             pre = pre.down;
         // 从当前层往下每层都要插入该节点，找出每层待插入节点的前一个节点。
         for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
             while (pre.next != null && pre.next.val < num)
                 pre = pre.next;
             preNodes[i] = pre;// 记录前一个节点。
             pre = pre.down;
        }
 
         // 第三步：节点插入，插入的时候不光有 next 指针，而且还有 down 指针。
         SkipListNode topNode = null;
         // 把新建节点 node 插到该层下面的每一层。
         for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
             // 创建新节点。
             SkipListNode node = new SkipListNode(num, preNodes[i].next);
             // 链表的插入，参见单向链表的插入。
             preNodes[i].next = node;
             // 上下也要连接。
             if (topNode != null)
                 topNode.down = node;
             topNode = node;
        }
         if (level > curLevelCount)// 更新跳表的层级，用来记录当前跳表的层级。
             curLevelCount = level;
    }
 
     public boolean remove(int num) {
         // 删除链表和插入链表类似，都是需要先找到插入或删除链表的前一个节点。
         int topIndex = -1;// 从当前层开始往下每层都要删除。
         // 查找待删除节点的前一个节点，从上面一层开始查找。
         SkipListNode pre = head;
         for (int i = curLevelCount - 1; i >= 0; i--) {
             while (pre.next != null && pre.next.val < num)
                 pre = pre.next;
             // 如果找到就终止查找，表示在当前层以及他下面的所有层都要删除该节点。
             if (pre.next != null && pre.next.val == num && topIndex == -1) {
                 topIndex = i;
                 break;
            }
             if (pre.down == null)// 如果跳表中没有要删除的节点，返回 false 。
                 return false;
             pre = pre.down;// 当前层没找到就往下一层继续查找。
        }
 
         if (topIndex == -1)// 如果跳表中没找到要删除的节点，返回 false 。
             return false;
 
         // 从 topIndex 层开始，他下面的每一层都要删除。
         for (int i = topIndex; i >= 0; i--) {
             if (pre.next != null)// 节点删除，参考单向链表删除。
                 pre.next = pre.next.next;
             pre = pre.down;// 继续下一层的删除。
             if (pre != null)// 找到待删除节点的前一个节点。
                 while (pre.next != null && pre.next.val != num)
                     pre = pre.next;
        }
         // 如果上面一层的节点被删除完了，要更新 curLevelCount 的值 ，还要更新 head节点。
         SkipListNode cur = head;
         while (curLevelCount > 1 && cur.next == null) {
             cur = cur.down;
             head = cur;
             curLevelCount--;
        }
         return true;
    }
 
     // 索引层级随机函数。
     private int randLevel() {
         int level = 1;
         // Math.random()每次会生成一个 0 到 1 之间的随机数
         while (Math.random() < 0.5f && level < MAX_LEVEL)
             level++;
         return level;
    }
 
 
     // 跳表的节点类。
     public class SkipListNode {
         // 跳表节点的值，在实际应用中节点类可以加个泛型，这里为了方便介绍，直接使用 int 类型。
         public int val;
         public SkipListNode next;// 指向后面一个节点。
         public SkipListNode down;// 指向下面一层的相同节点。
 
         public SkipListNode(int val, SkipListNode next) {
             this.val = val;
             this.next = next;
        }
    }
 }

上面代码中虽然上下两个节点的值是一样的，但我们还是创建了不同的对象，实际上我们只需要创建一个对象即可，上下关系不在是 down ，而是一个数组。

来看下代码：

public class SkipList2 {

// 打印跳表的值，由于level是随机生成的，所以同样的数据每次打印都会不一样，
// 如果想调试，可以让level变成一个固定值，这样同样的数据每次打印结果都会一样了。
private static void printLinked(SkipList2 skipList) {
    SkipListNode cur = skipList.head;
    for (int i = skipList.curLevelCount - 1; i >= 0; i--) {
        // 这里是横向查找，就是当前层往后面查找，这里是第 i 层。
        SkipListNode pre = cur;
        while (pre.next[i] != null) {
            System.out.print(pre.next[i].val + ",");
            pre = pre.next[i];
        }
        System.out.println();
    }

}

// 跳表的最大层数。
private int MAX_LEVEL = 16;

// 当前跳表的最大层级。
private int curLevelCount = 1;

// 初始化定义一个头节点，指向最上面一层的第一个元素，头节点不存储任何数据。
private SkipListNode head;

public SkipList2() {// 构造函数。
    head = new SkipListNode(-1);
}

// 查找值为 target 的节点。
public boolean search(int target) {
    SkipListNode pre = head;
    // 这里for循环是逆序的，他是从最上面一层开始查找，for 循环是纵向查找，里面的while循环是横向查找。
    for (int i = curLevelCount - 1; i >= 0; i--) {
        // 这里是横向查找，就是当前层往后面查找，这里是第 i 层。
        while (pre.next[i] != null && pre.next[i].val < target)
            pre = pre.next[i];
        // 如果在当前层查找到，直接返回true。
        if (pre.next[i] != null && pre.next[i].val == target)
            return true;
    }
    return false;// 没查找到，返回false。
}

// 添加数据
public void add(int num) {
    int level = randLevel();// 需要插入第几层。
    // 每一层初始化默认为head节点。
    SkipListNode[] preNodes = new SkipListNode[level];
    for (int i = 0; i < level; i++)
        preNodes[i] = head;

    // 找到每一层待插节点的前一个节点。
    SkipListNode pre = head;
    // 从当前层往下每层都要插入该节点。
    for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
        while (pre.next[i] != null && pre.next[i].val < num)
            pre = pre.next[i];
        preNodes[i] = pre;
    }

    // 创建新节点。
    SkipListNode node = new SkipListNode(num);
    // 把新建节点 node 插到该层以及下面的所有层。
    for (int i = level - 1; i >= 0; i--) {
        // 链表的插入，参见单向链表的插入。
        node.next[i] = preNodes[i].next[i];
        preNodes[i].next[i] = node;
    }
    if (level > curLevelCount)// 更新跳表的层级。
        curLevelCount = level;
}

public boolean remove(int num) {
    // 删除链表和插入链表类似，都是需要先找到插入或删除链表的前一个节点。
    SkipListNode[] preNodes = new SkipListNode[curLevelCount];
    int topIndex = -1;// 从当前层往下都要移除。
    // 查找待删除节点的前一个节点，从最上面一层开始查找。
    SkipListNode pre = head;
    for (int i = curLevelCount - 1; i >= 0; i--) {
        while (pre.next[i] != null && pre.next[i].val < num)
            pre = pre.next[i];
        if (pre.next[i] != null && pre.next[i].val == num && topIndex == -1)
            topIndex = i;
        preNodes[i] = pre;// 记录每层待删除节点的前一个节点。
    }
    if (topIndex == -1)// 如果没找到，也就是待删除的节点在跳表中不存在，直接返回。
        return false;

    // 删除操作。
    for (int i = topIndex; i >= 0; i--)
        preNodes[i].next[i] = preNodes[i].next[i].next[i];
    // 更新索引层数，如果当前层消失了，curLevelCount要减 1 。
    while (curLevelCount > 1 && head.next[curLevelCount - 1] == null)
        curLevelCount--;
    return true;
}

// 索引层级随机函数。
private int randLevel() {
    int level = 1;// 1 的概率是0.5，2的概率是0.25，3的概率是0.125，4的概率是0.0625，……
    // Math.random()每次会生成一个 0 到 1 之间的随机数
    while (Math.random() < 0.5f && level < MAX_LEVEL)
        level++;
    return level;
}


// 跳表的节点。
public class SkipListNode {
    // 跳表节点的值，在实际应用中节点类可以加个泛型，这里为了方便介绍，直接使用 int 类型。
    public int val;

    public SkipListNode(int val) {
        this.val = val;
    }

    // 普通的链表这里是 next 节点，而跳表这里需要记录每一层的节点，所以是数组。
    public SkipListNode[] next = new SkipListNode[MAX_LEVEL];
}