【几何最值】转换线段，巧解最值

前言

几何最值常见类型我们都已熟知，伴随题型的不断归纳与总结，命题也在不断进化，今天介绍一类，用简单的转换线段，解决看似复杂的几何最值．

01

初识

首先登场的是2022年宿迁中考的选择压轴

对于单线段最值问题，通常可以考虑探究动点轨迹，本题可以用“瓜豆原理”，何为瓜豆，简单说，动点的变换，即动点轨迹的变换，此处变换包括平移、对称、旋转、放缩等，OB可以理解为点OA绕点O顺时针旋转45°并放大为原来的根号2倍所得，将点A轨迹绕点O顺时针旋转45°并放大为原来的根号2倍即为B点轨迹．尽管对于双曲线的旋转我们有点陌生，但也能分析出当B点落在x轴上时，此时OB最小．

对最值问题的惯性思维可能会导致我们忽略了等腰直角三角形基本的性质，即三边之比1:1：根号2，∴OA取到最小值时，OB即取到最小值，由此解决问题．

此例即标题所说，转换线段，观察到OA与OB间固定的比例关系，将OB最值问题转化为更容易求的OA最值，从而实现简化问题．

02

再遇

类似的案例比如2021年镇江的填空压轴

由题意可得△BPD是顶角为120°的等腰三角形，可得BD＝根号3倍的BP，可将BD最大值转化为BP最大值，显然当P点与A点重合时最大，由题意求出BA的值为9，可得BD最大值即为9根号3．

本题若是求BD的最小值，或许会更有趣一些．

03

思考

接下来该上点难度了，来看这样一个题目：

如果本题求的是最大值，可以考虑连接AC，即为“定边对直角”，以AC为半径，AC中点O为圆心构造辅助圆，G点轨迹是圆上一段圆弧，可得BG的最大值即为BD的长．

但问题问的是最小值，如果依然考虑G点轨迹，那么就得确定G点轨迹到底是哪一段圆弧，它的边界在哪？会稍微费点事，所以此题还可以怎么做呢？来让我们看看真题本尊吧：

答案已经在题目中了，分别过BD作AG的垂线，垂足分别记为P、Q，则BG＝根号2BP，考虑到BP²+DQ²=4²，∴当DQ最大时，BP取到最小值，显然当DE⊥AG时，即点E与点Q重合，此时DQ最大，问题可解．

本题如果单拎出来，转换线段的思路并不好想，因为不容易发现∠AGB=45°，而设计成一个解答题，有了前面的问题作铺垫，一切就显得顺理成章．

看完了这个题目，我们可以思考，“转换线段”这样的思路，需要有什么样的已知条件呢？

04

应用

最后，了解完前面的内容，可以思考2022无锡的填空压轴：

由△CDB≌△CEA，可得旋转角都相等，即∠F=60°，由“定边对定角”可得F点轨迹是△ABC外接圆的一段圆弧，但若不能确定圆弧的两个端点，亦无法由轨迹得到最值．

对于此处∠F=60°的结果，考虑过点A作AH⊥BF于点H，可得AF＝（2根号3/3）AH，∴当AH最小时，AF即最小．考虑到CD绕着点C旋转，可得当CD⊥BD时，AH取到最小值，连接CF，用△CDF≌△CEF，即可解决问题，AF的最小值为4－根号3．

结束语：由以上例子，对于之前提出的问题：“转换线段”这样的思路，需要有什么样的已知条件呢？我想应该有了自己的答案了吧，存在与所求线段相关的特殊角，可构造特殊三角形，利用边的比例关系转化线段．

最后，暑期即将来临，安利一位苏州地区非常优秀的老师，若有需要欢迎联系咨询~