天津市2023届高三下学期二模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．设集
合，集合，则（?）A．B．C．D．2．“”是“”成立的（?）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条
件3．函数的图象可能是（?）．A．B．C．D．4．如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的
众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为，则（?）A．B．C．D．5．已知，，，则的大小关系为（?）A
．B．C．D．6．一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（?）A．1B．C．2D．7．已知双曲线C：）
过点，且渐近线方程为，则双曲线C的方程为（?）A．B．C．D．8．已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（?）A．B
．C．D．9．已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（?）A．B．C．D．二、填空题10．是虚数单位，复数的虚部是_
_____.11．直线与圆交，两点，若为等边三角形，则的值为______．12．从8名老师和6名学生中选出5名代表，要求老师和学生
各至少一名，则不同的选法共有______种．13．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是_________三、双空题14．某专
业资格考试包含甲?乙?丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙?丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合
格的科目数为X，则___________；___________.15．已知向量满足分别是线段的中点，若，则______；若点为上
的动点，且，则的最小值为______.四、解答题16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E
在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离．17．已知函数．（1）求的最小正周
期和对称中心；（2）求在区间最大值和最小值18．已知函数．(1)求的单调区间和极值；(2)若是函数的极值点．（ⅰ）证明：；（ⅱ）讨
论在区间上的零点个数．19．已知数列满足：，.（1）求数列的通项；（2）若，求数列的前项和；（3）设，，求证：.20．已知椭圆C：
的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的方程；(2)过点且不过点的直线与椭圆C交于A，B两点，直线
AE与直线交于点M.试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.参考答案：1．D【分析】分别解出集合和集合，再根据交集的定义即
可得到答案.【详解】由题得则，，故选：D．2．B【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为 解得或，所以“”是“”
成立的必要不充分条件，故选：B3．D【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质.【详解】令得即
，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；函数有意义满足解得或，当时函数无意义，排除B、C选项；对D选项：函数的定义域符合，零点
个数符合，又∵当与及时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；故选：D4．B【解
析】根据频率分布直方图读出众数a，计算中位数b，平均数c，再比较大小.【详解】由频率分布直方图可知：众数；中位数应落在70-80区
间内，则有：，解得：；平均数??=4.5+8.25+9.75+22.5+21.25+4.75=71所以故选：B【点睛】从频率分布直
方图可以估计出的几个数据：(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以
频率后相加；(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．5．A【分析】根据指对数互化，利用对数函数
的性质判断a、b、c的大小.【详解】由题设，，又，而，则，综上，.故选：A6．B【详解】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，
即，根据圆心角公式，即，所以解得，，那么高考点：圆锥的面积7．A【分析】由点代入双曲线和渐近线方程，联立得到的方程组，求解即可.【
详解】点代入双曲线，焦点在轴上，渐近线方程为，所以解得，故双曲线的方程为.故选：A.8．C【分析】讨论、时，取最大值时的值，由其周
期性找到第三个最大值对应的值，由此确定的取值范围.【详解】当时，，当时，第1次取到最大值，当时，，当时，第2次取到最大值，由知：当
时，第3次取到最大值．∴．故选：C【点睛】关键点点睛：讨论的范围，通过确定第二、三个最大值对应的值，进而得到的取值范围.9．D【分
析】分析可知，对实数的取值进行分类讨论，确定函数在上的零点个数，然后再确定函数在上的零点个数，可得出关于实数的不等式（组），综合可
得出实数的取值范围.【详解】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.函数的对称轴为直线，.所以，函数在上单调递减，在上
单调递增，且.①当时，即当时，则函数在上无零点，所以，函数在上有个零点，当时，，则，由题意可得，解得，此时不存在；②当时，即当时，
函数在上只有一个零点，当时，，则，则函数在上只有个零点，此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；③当时，即当时，函数在上有个零点，
则函数在上有个零点，则，解得，此时；④当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时，.综上所述，实数的取值范
围是.故选：D.【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解
不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个
函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10．【分析】由复数模的定义和复数的除法法则计算．【详解】
．虚部为-2.故答案为：．11．##【分析】结合几何关系和点到直线的距离即可求解.【详解】由条件和几何关系可得圆心到直线的距离为，
解得．故答案为：.12．1940【分析】间接求，用总数减去不符合要求的选法即可求解【详解】不考虑限制要求，所有不同的选法有全选教师
的选法有，全选学生的选法有所以至少一名教师一名学生的选法有故答案为：13．【分析】将在上有解转化为至少有一个负数解，构造画出图像，
平移图像即可.【详解】由题知，可将在上有解，转化为至少有一个负数解，构造，画出图形，如图：当时，与相交于点，要使与相交于轴左侧，则
需满足，在函数不断左移的过程中，若与左侧曲线相切，则有，即，对应的，即，解得，则，故答案为：.14．；##.【分析】根据独立事件概
率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.【详解】；，，，所以，故答案为：；15． ．【分析】由得是平行四边形，把用表示后，由数量
积的运算求得，同样用表示后平方可求得模，由向量的线性运算得，利用三点共线得出，代入，化简后引入函数，由导数求得其最小值．【详解】因
为，所以是平行四边形，由题意,,即，， ，，，，又共线，所以，即，在线段上，因此，，令，则，时，，递减，时，，递增，所以，所以的最
小值为．故答案为：；．16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）证明、，由线面垂直的判定定理可证明平面，即证；（2）由勾股定理
求出△ACD1各个边长，设点到平面的距离为，由即可求解.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为四边形是矩形，，所以四边形是正方形
，所以，又平面，平面，，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为，，为的中点，所以，，，，所以，，设点到平面的距离为，由可得：，即，
解得：，所以点E到面ACD1的距离为.17．（1）最小正周期；称中心为，；（2）；．【分析】（1）先利用三角恒等变换公式对函数化简
变形得，从而可求出其最小正周期和对称中心；（2）由求出，然后结合正弦函数的性质可求出函数的最值【详解】（1），所以的最小正周期，由
题意，，解得，，所以称中心为，；（2）∵，∴，∴，∴当，即，；当时，即，．18．(1)函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无
极小值.(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.（2）（ⅰ）
计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑，，三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到
零点个数.【详解】（1），，取得到，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故函数在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小
值.（2）（ⅰ），，，故，设，函数单调递增，，.根据零点存在定理知.（ⅱ），，，设，，当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，故
函数在上无零点；当时，，设，，设，则，当时，，当时，故在单调递增，在上单调递减，，，，故存在使，当时，，单调递增；当时，，单调递减
.，故，，故函数在上有1个零点.综上所述：在区间上的零点个数为2【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极
值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到
的关键思路.19．（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）采用叠加法可直接求出（2）通项为等差乘等比的形式，采用错位相减法
可求得（3）复杂题型的裂项需要先进行试值，经检验．符合裂项公式，再采用叠加法求值即可．【详解】（1）因为，所以当时，；又，故．（2
）由（1）及题设知：，所以，所以，所以.（3）由（1）及题设知：，所以所以，即，所以．又是递增数列，所以的最小值为，即证.【点睛】
错位相减法一定要注意位置对应关系及两式相减后的符号正负．数列求恒成立问题基本上是通过叠加法、放缩法、裂项法、构造函数法等相关方法求
得．20．(1)；(2)直线BM与直线DE平行，理由见解析.【分析】（1）根据题意建立方程组，进而解出a,b，然后得到答案；（2）
讨论直线AB的斜率不存在和存在两种请，若斜率存在，设其方程为，进而求出点M的坐标，然后将直线方程代入椭圆并化简，进而结合根与系数的
关系得到并化简，进而解得问题.(1)由已知可得解得，，所以椭圆C的标准方程是.(2)直线BM与直线DE平行.证明如下：当直线AB的斜率不存在时，则，，所以直线AE的方程为，所以，所以.又因为直线DE的斜率，所以.当直线AB的斜率存在时，设其方程为.设，，则直线AE的方程为.令，得点.由得，易知，所以，，直线BM的斜率.，所以.综上，直线BM与直线DE平行.【点睛】本题第（2）问运算量较大，但根据题意容易想到应当判断两条直线的斜率关系，于是设出直线方程并代入椭圆方程化简，进而运用根与系数的关系解决问题.试卷第11页，共33页答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页 |
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