上海市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：_________
__一、填空题1．函数的定义域为______．2．已知集合，或，则_________．3．二项式的展开式中，含的项的系数为___．
4．已知向量，则向量的单位向量______．5．求值：_________．6．已知某地最近12天的平均气温（单位：℃）为12，13
，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，则这12天平均气温的70%分位数为______℃.7．已知角的终边经
过点，则__________．8．已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的侧面积为___________.9．已知，且，
则的最大值为___________10．甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率是，乙胜的概率也是.则在一次五局三胜制的比赛中，甲队以获胜的
概率是___________.11．已知为数列的前项和，，，平面内三个不共线的向量，，满足，若点，，在同一直线上，则______.
12．设为平面上一定点，为动点，则当由0变化到时，线段扫过的面积是______.二、单选题13．“”是“方程组有唯一解”的（?）条
件.A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要14．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与
BE是异面直线；③CN与BM成60°；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（?）A．①②③B．②④C．③④D．②③④
15．已知，则“”是“”的（?）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．不等式x2＋
ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（?）A．{a|a>4或a<－4}B．{a|－4 4}D．{a|－4≤a≤4}三、解答题17．若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.(1)
求和的调和中项；(2)已知调和数列，，，求的通项公式.18．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，△是边长为2的等边三角形，，
．(1)设中点，求证：平面；(2)求平面和平面所成锐二面角的大小．19．某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、
右两侧与后侧内墙各保留框的通道，沿前侧内墙保留宽的空地，设矩形温室的一边长为，蔬菜种植面积为（如图所示.）（1）建立关于的函数关系
式；（2）当矩形室温的长和宽分别为多少时，蔬菜的种植面积大，并求出最大值.20．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部
手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量x低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元；当年销售量x不
低于40万部时，每销售1万部手机的收入万元(1)写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；(2)年销售量为多少万部时，利润最
大，并求出最大利润．21．已知函数的定义域为，值域为．若，则称为“型函数”；若，则称为“型函数”．(1)设，，试判断是“型函数”还
是“型函数”；(2)设，，若既是“型函数”又是“型函数”，求实数的值；(3)设，，若为“型函数”，求的取值范围．参考答案：1．【分
析】直接根据题意列出不等式即可.【详解】由题意得，则定义域为，故答案为：.2．，或【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.【详解】
因为集合，或，所以，或，故答案为：，或3．【分析】先写出二项式的展开式的通项，然后令的次数为求出，进而可得系数.【详解】二项式的展
开式的通项为，令，得，所以含的项的系数为.故答案为：.4．【分析】计算出，从而可得出，即可求出向量的坐标.【详解】，，因此，向量的
单位向量.故答案为：.【点睛】本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论“与非零向量同向的单位向量为”的应用是解题的关键
，考查计算能力，属于基础题.5．125【分析】方法一，根据复数模的性质求解即可；方法二，先利用复数的乘法计算，再计算其模长.【详解
】方法一：根据复数模的性质.方法二：，所以.故答案为：125.6．17【分析】先把数据由小到大进行排列，再求出70%分位数为第9个
数据的气温，即可求解.【详解】解：这12天的平均气温的数据按照从小到大的顺序排列为：12，12，13，14，15，15，16，17
，17，18，18，19，， 这12天平均气温的70%分位数为第9个数据的气温，即17℃.故答案为：.7．【分析】利用任意角的三角
函数的定义，求得的值．【详解】设坐标原点为，由题意可得：，故.故答案为：.8．【分析】根据圆锥侧面展开图与圆锥侧面的关系求出圆锥底
面圆半径即可计算得解.【详解】设圆锥底面圆半径为r，则该圆锥底面圆周长为，因圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则半圆弧长为，依题意
，，解得，显然圆锥的母线长，则圆锥侧面积，所以圆锥的侧面积为.故答案为：9．【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，结合同角三
角函数的基本关系式以及一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】因为，所以，则，所以，即，即，即，解得，所以的最大值为．故答案为：
10．【分析】分三种情况，甲胜第1、2、4场，胜第1、3、4场和胜第2、3、4场，求出相应的概率，相加后求出答案.【详解】甲队以3
:1获胜，说明只打4场比赛.甲队获胜的可能有三种：胜第1、2、4场；胜第1、3、4场；胜第2、3、4场.每一种情况的概率为，所以甲
队获胜的概率就是把这三种情况的概率加起来，也就是，故答案为：.11．8【分析】由题意得出an﹣1+an+1＝an，由Sn为数列{a
n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，得到数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，由此能求出S20
19【详解】因为（1﹣an）（an﹣1+an+1）（n≥2，n∈N），A，B，C在同一直线上， 则an﹣1+an+1+1﹣an＝
1，∴an﹣1+an+1＝an，∵Sn为数列{an}的前n项和，a1＝2，a2＝4，∴数列{an}为：2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2
，2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，…即数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，﹣2，﹣4，﹣2，∵2019＝6×33
6+3，∴S2019＝336×（2+4+2﹣2﹣4﹣2）+2+4+2＝8．故答案为：8【点睛】本题考查数列的前n项和的求法，考查周
期数列、共线向量性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12．【分析】由题意
点P在半径为1，圆心在原点的单位圆上，结合图形，利用面积差求解即可.【详解】由可知，点P在半径为1，圆心在原点的单位圆上，如图，，
点P运动到，则，扇形面积为,而，,故线段扫过的面积为,故答案为：.13．C【分析】二元一次方程组有唯一解与系数行列式不为零互为充要
条件可得正确结果.【详解】解：由于二元一次方程组有唯一解，则系数行列式，故“”是“方程组有唯一解”的充要条件，故选C.【点睛】本题
考查二元一次方程组有唯一解的充要条件，一般转化为系数行列式不等于零来处理，是基础题.14．C【分析】根据平面展开图可得原正方体，根
据各点的分布逐项判断可得正确的选项．【详解】由平面展开图可得原正方体如图所示：由图可得：为异面直线，与不是异面直线，故①②错误；连
接，则为等边三角形，而，故或其补角为与所成的角，因为，故与所成的角为，故③正确；因为，又平面，所以，故平面又平面，所以，则④正确；
综上，正确命题的序号为：③④．故选：C．15．B【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】由，可
得或，即或，所以由“”推不出“”，由“”可推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．16．A【分析】由已知可得只需不等式
x2＋ax＋4<0有解，即，计算即可得解.【详解】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝
a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.故选:A.17．(1)(2)【分析】（1）根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求
出，得到答案；（2）根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，从而求出，得到的通项公式.【详解】（1）设和的
调和中项为，依题意得：、、成等差数列，所以，解得：，故和的调和中项为；（2）依题意，是等差数列，设其公差为，则，所以，故.18．(
1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、勾股定理进行证明即可；（2）证明即为面和平面所
成二面角的平面角，再解三角形即可．【详解】（1）证明：取中点为，连接，，如下所示：则在等边三角形中，，又因为，，面，所以面，因为面
，所以，又，所以，，所以，即，又，、面，所以面；（2）设平面平面，又//，平面，平面，所以//平面，又平面，所以//，所以////
，又，所以，又，所以，所以即为面和平面所成二面角的平面角，由（1）知，，所以△为等腰直角三角形，故面和平面所成锐二面角为．19．(
1) (2) 当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜的种植面积最大，最大值为【分析】(1)由题得，化简即得解；（2）利用基本不等式求最值
和长与宽.【详解】（1）（2）?当且仅当即时等号成立当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜的种植面积最大，最大值为【点睛】本题主要考查函数
的应用和解析式的求法，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．(1)(2)38万部时，最大
利润为7170万元.【分析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最
大值的大小，即得最大利润.【详解】（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），故利润，而，故，整理得，；（2）时，，开口向下的抛物
线，在时，利润最大值为；时，，其中，在上单调递减，在上单调递增，因为 ，故 时，取得最小值故在 时，y取得最大值 而，故年销售量为
38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.21．(1)是“型函数”；(2)(3)．【分析】(1)利用基本不等式以及双勾函数的性
质求出函数的值域可求解；(2)分和结合函数的单调性分类讨论求解；(3)分不同的取值结合“型函数”的定义即可求范围.【详解】（1）当
时，，当且仅当时取等号，由于，所以函数的值域为，因为，所以，所以是“型函数”；（2），定义域为，由题意得函数的值域也为，显然，否则值域不可能由负到正，当时，在上单调递增，则，得；当时，在上单调递减，则，得；（3），，由题意得函数的值域，当时，的最小值，当时，的最小值，当时，的最小值，当时，的最大值，当时，的最大值，故满足的不等组为（无解）或或或（无解），因为，由点所在的可行域，得当时，取最大值，最大值为2，当与相切，即时，取最小值，最小值为1，因此的取值范围是．试卷第11页，共33页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页答案第11页，共22页 |
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