上海市2023届高三第三次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．
已知，则_________2．不等式的解集为____________.3．二项式展开中的系数为___________.4．若一个球
的表面积为，则该球的半径为____________5．直线被圆所截得的弦长为______．6．已知方程的两个虚根满足，则的值是__
_________.7．若直线与直线平行，则实数a的值为_________.8．定义集合．若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，
则实数的取值范围为___．9．函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是_______．10．
甲和乙等六名志愿者参加进博会，，，，五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加
方法的种类为_____________.（结果用数字表示）11．如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______12
．已知函数f（x）的定义域为R，当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），且对任意的x∈R，均有f（x+2）＝2f（x），若不等
式f（x）在x∈（﹣∞，a]上恒成立，则实数a的最大值为_____．二、单选题13．直线（t是参数）与圆（是参数）的位置关系是（
）A．相交B．相切C．相离D．与实数k的值有关14．“”是“方程表示椭圆”的（?）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必
要条件D．既不充分也不必要条件15．已知数据,,，是上海普通职(，)个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加
上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确（?）A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大
，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不
变16．已知公差小于零的等差数列的前项和为，且，则使成立的最大正整数为（?）A．B．C．D．三、解答题17．设台体上、下底面积分别
为和，上下底面的距离为.求证： 18．已知函数．(1)当时，求此函数在R上的最大值，并写出取最大值时相应自变量的值；(2)写出此函
数的单调增区间（不需要证明）；(3)设函数的图象与x轴交于不同的两点A、B，与y轴交于点C，是否存在实数a，使得的面积为？若存在，
求出a的值；若不存在，请说明理由.19．某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，
点O是半圆的圆心，在圆弧上取点C、D，使得，把四边形ABCD建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB，BC，CD和D
A组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且；(1)当时，求四边形ABCD的面积；(2)求塑胶跑道的总长l关于的函数关系式；(3)
当为何值时，塑胶跑道的总长l最短，并求出l的最小值．（答案保留2位小数）20．已知椭圆C的方程为，点P(a，b)的坐标满足，过点P
的直线l与椭圆交于A?B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.21．欧拉对函
数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数
，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；(2)若是上的倒函
数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.参考
答案：1．【分析】利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以，故答案为：.2．【分析】由一元二次不等式的解法求解，【详解】恒
成立，原不等式可化为，即，解得，故答案为：3．【分析】利用二项式定理，写出展开式的通项即可求解.【详解】二项式的展开式为，令，解得
，所以展开中的系数为，故答案为：4．【分析】设球的半径为，代入球的表面积公式得答案．【详解】解：设球的半径为，则，得，即或（舍去）
．故答案为：．5．【分析】根据所给圆，确定圆心以及半径，再结合点线距离即可求解.【详解】依据题意得圆心为，半径，圆心到直线的距离.
则直线被圆截得的弦长为.故答案为：6．【分析】由题意设，，利用根与系数的关系结合，求得与的值，则可求．【详解】方程程的两个虚根为、
，可设，．，，因为，，联立解得：，．．故答案为：．7．【解析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况.
【详解】由题意得,即,解得或.当时，两直线方程都为：，两直线重合;当时，两直线方程分别为：,两直线平行.故答案为：.【点睛】本题考
查利用两直线的平行求参数，属基础题，易错点是忽视重合的情况的排除.8．【分析】画出可行域，由斜率型和截距型目标函数进行求解即可.【
详解】二元一次不等式组表示的可行域如图：则集合为表示图中阴影区域（含边界）的点集，∴，∴，∴若恒成立，则恒成立，∵表示过阴影区域（
含边界）内一点与定点的直线的斜率，即，∴当与重合时，取最小值，∴；又∵存在，使得成立，∴的最小值，设，则，当时，画出，平移即得到，
当目标函数与边界重合时，在轴的截距取最大值，即取最小值，∴的最小值，∴，综上所述，的取值范围为．故答案为：．9．【分析】因为函数没
有奇偶性，所以一次项系数不为零；因为函数在定义域上不单调，所以二次项系数不为零，且对称轴在区间内；又因为二次函数在开区间上有最大值
，所以二次项系数小于零，求出a的取值范围.【详解】因为函数没有奇偶性，所以，即；又因为函数在上不单调，所以且；又因为二次函数在开区
间上有最大值，所以，综上，解得.故答案为：.10．1680【分析】先求出没有条件限制的分配方法种数，再求出甲和乙在同一个岗位服务的
分配方法种数，利用间接法，即可得解.【详解】依题意得，有且只有2人分到一组，然后再分到五个不同的岗位，则有种方法，甲和乙在同一个岗
位服务的分配方法有种，所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有种，故答案为：1680.11．【分析】选取为基底，其他向量用基底表示再运
算．【详解】由题意，∴，∴．故答案为：12．【分析】由,即可得,则,因为当时,值域为,则当时,值域为,则当,,由恒成立进而求得即可
【详解】由题,,令,则,则,即,令,则,则,以此类推,则,设,则,因为当时,易得值域为,则当时,值域为.所以,令,则,，因为在恒成
立,所以故答案为：【点睛】本题考查换元法对值域和解析式的应用,考查转化思想,考查二次函数的图象与性质的应用13．A【解析】把参数方
程化为普通方程后再利用点在圆内可得两者的位置关系.【详解】直线（t是参数）过点，圆的普通方程为：，因为，故直线与圆相交，故选：A.
【点睛】思路点睛：参数方程化为普通方程，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等，注意根据参数的形式合理选择方法.
14．B【分析】根据方程表示椭圆，且2，再判断必要不充分条件即可.【详解】解：方程表示椭圆满足 ，解得，且2所以“”是“方程表示椭
圆”的必要不充分条件.故选：B15．B【分析】根据题意，结合平均数，中位数，方差的定义，即可判断出结果.【详解】因为数据,,，是上
海普通职(，)个人的年收入，而是世界首富的年收入，则会远大于,,，，故这个数据的平均值大大增加，但中位数可能不变，有可能稍微变大，
但由于数据的集中程度也受到比较大的影响，数据更加离散，则方差变大.故选B【点睛】本题主要考查平均数、中位数、以及方差，熟记概念及其
意义即可，属于常考题型.16．D【分析】利用等差数列的前项和公式及一元二次不等式的解法即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为
，则由，得，解得，所以等差数列的前项和为，因为，，所以，解得，又，所以使成立的最大正整数为.故选：D.17．证明见解析【分析】设顶
点P到平面的距离为，根据相似得出，即可根据计算化简证明.【详解】如图所示：棱台可以看作由棱锥截成，设顶点P到平面的距离为，根据平行
四边形ABCD与相似可得：，则，则，，，，，故棱台的体积.18．(1)当时，函数在R上有最大值为(2)时函数的单调增区间为，时函数
的单调增区间为(3)存在，此时，理由见解析【分析】（1）时，利用配方法可得答案；（2）分、讨论，结合抛物线的性质可得答案；（3）令
得点坐标，设，令利用求出的范围，利用韦达定理求出，求出可得答案.【详解】（1）当时，，函数的图象为开口向下对称轴为的抛物线，所以当
时，函数在R上有最大值为；（2）函数图象的对称轴为， 当时，函数的单调增区间为，当时，函数的单调增区间为；（3）令得，所以，因为函
数的图象与x轴交于不同的两点A、B，设，令，所以，解得或，，，所以，所以，解得，，符合题意，所以存在，此时.19．(1)（平方千米
）(2)(3)时，塑胶跑道的总长l最短，最小值千米．【分析】（1），，由三角形面积公式求得三个三角形面积后可得四边形面积；（2），
，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得的表达式；（3）利用二倍角公式化简函数式为关于的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得
最小值．【详解】（1）连接，因为，又，则，所以，，，所以（平方千米）；（2）由（1）知，，，所以（千米）．（3），，，所以，即时，
．时，，，时，，所以时，取得最小值千米．20．（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）先把两点和点的坐标设出来，再分两点的横坐标相
等和不相等两种情况分别设出直线的方程，再利用两点既在直线上又再椭圆上，可以找出两点坐标之间的关系，最后利用中点公式，即可求得点的轨
迹方程（注意要反过来检验所求轨迹方程是否满足已知条件）；（2）先找到曲线与轴的交点以及与轴的交点，再对的取值分别讨论，分析出与坐标
轴的交点的个数（注意点的坐标满足）.【详解】（1）设点A?B的坐标分别为(x1，y1)?(x2，y2)，点Q的坐标为Q(x，y)，
当时，设直线斜率为k，则l的方程为y=k(x-a)+b，由已知 ①，， ②y1=k(x1-a)+b③，y2=k(x2-a)+b，?
④①②得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.⑤③+④得y1+y2=k(x1+x2)-2ka+2b，?⑥
由⑤?⑥及，得点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0，?⑦当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一
定落在x轴，即Q的坐标为(a，0)，显然点Q的坐标满足方程 ⑦综上所述，点Q的坐标满足方程2x2+y2-2ax-by=0，设方程⑦
所表示的曲线为l.则由得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0，因为Δ=8b2(a2+-1)，由已知，所以当a2+=1时，Δ=
0，曲线l与椭圆C有且只有一个交点P(a，b)；当a2+<1时，Δ<0，曲线l与椭圆C没有交点，因为(0，0)在椭圆C内，又在曲线
l上，所以曲线l在椭圆C内，故点Q的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0；（2）由，得曲线l与y轴交于点(0，0)?(0，b)
；由，得曲线l与x轴交于点(0，0)?(a，0)；当a=0，b=0，即点P(a，b)为原点时，(a，0)?(0，b)与(0，0)重
合，曲线l与x轴只有一个交点(0，0)；当a=0且0<|b|≤时，即点P(a，b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点(a，0)
与(0，0)重合，曲线l与坐标轴有两个交点(0，b)与(0，0)；同理，当b=0且0<|a|≤1时，即点P(a，b)不在椭圆C外且
在除去原点的x轴上时，曲线l与坐标轴有两个交点(a，0)与(0，0)；当0<|a|<1且0<|b|<时，即点P(a，b)在椭圆C内
且不在坐标轴上时，曲线l与坐标轴有三个交点(a，0)?(0，b)与(0，0).【点睛】解答圆锥曲线问题的策略：1、参数法：参数解决
定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关
系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点
或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.21．(1)是倒函数，不是倒函数，理由见解析(2)没有，理由见解析(3)证明
见解析【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；（2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存
在定理可得出结论；（3）推导出函数为上的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.【详解
】（1）解：函数的定义域为，对任意的，，所以，函数为倒函数，函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，故函数不是倒函数.（2）
解：当时，则，由倒函数的定义可得，由满足倒函数的定义，当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，故当时，，当时，，若函数有整数解
，则，设，则函数在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，即，故方程无整数解.（3）解：因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，所以，，任取、且，则，所以，，，所以，，所以，函数为上的增函数，因为，故函数为上的奇函数.当时，即，则，所以，，即“”“”；若，则，所以，，即.所以，“”“”.因此，是的充要条件.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.试卷第11页，共33页答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页 |
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