辽宁省葫芦岛市2023届高三（文科）第二次模拟考试数学试卷一、单选题1．已知集合，则（?）A．B．C．D．2．已知复数z满足，则（?）A．1
B．C．D．53．命题“，”的否定是（?）A．，B．，C．，D．，4．采购经理指数（），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总
、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一
，具有较强的预测、预警作用.如图为国家统计局所做的我国2018年月份的采购经理指数（）的折线图，若指数为，则说明与上月比较无变化，
根据此图，下列结论正确的个数为（?）①2018年1至12月的指数逐月减少；②2018年1至12月的指数的最大值出现在2018年5月
份；③2018年1至12月的指数的中位数为；④2018年1月至3月的月指数相对6月至8月，波动性更大.A．1B．2C．3D．45．
如图的框图中，若输入，则输出的的值为（?）A．B．C．D．6．在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正
方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为A．B．C．D．7．已知函数在R上为减函数，则实数的取值范围为（?）.A．B．C
．D．8．已知抛物线：的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，若、的中点在轴上的射影分别为，，且，则抛物线的准线方程为A．
B．C．D．9．将函数的图象向右平移个单位长度单位后得函数图象，若为偶函数，则（?）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在
区间上单调递减D．在区间上单调递增10．在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球
的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（?）A．B．C．D．11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的
是（?）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数
根，则m的取值范围是12．设为常数，，，则（?）A．B．C．满足条件的不止一个D．恒成立二、填空题13．二十四节气歌是古人为表达人
与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智
慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中
的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______．14．已知函数f（x）=，则f（1）=
____，函数y=f（x）的定义域为 ____15．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是___________.三、双
空题16．定义：数列{an}，{bn}满足＝，则称数列{bn}为{an}的“友好数列”.若数列{an}的通项公式an＝3n+1，n
∈N，则数列{an}的“友好数列“{bn}的通项公式为______；记数列{bn﹣tn}的前n项和为Sn.且Sn≤S6，则t的取
值范围是_______.四、解答题17．为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该
田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如下.（千克）24568（千克）3004004
00400500（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归
模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克?附：相关系数公式，参
考数据：．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．18．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题
．问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足___________．(1)求角A的大小；(2)若D为线段延长线上的一点
，且，求的面积．19．如图，在直角梯形ABCD中，，，，沿对角线BD将折至的位置，记二面角的平面角为.(1)当时，求三棱锥的体积；
(2)若E为BC的中点，当时，求二面角的正弦值.20．已知椭圆（）的离心率为，且经过点(1)求椭圆的方程；(2)过作两直线与抛物线
（m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线，的斜率分别为，①求证：为定值；②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是
，说明理由．21．已知函数(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调区间；(3)设，若函数在区间上存在极值点，求的取值
范围.22．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：(α为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，
取相同单位长度的极坐标系，直线l：ρ.(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的
距离相等，分别求出这三个点的极坐标．23．已知函数的图象关于原点对称，且当时，(1)试求在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据
图象写出它的单调区间.参考答案：1．B【分析】运用集合与集合的包含关系分析即可.【详解】由题意知，，所以.故选：B.2．A【分析】
利用复数除法运算求得，由此求得【详解】，.故选：A3．C【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详
解】“，”的否定是“，”.故选：C4．C【解析】根据折线图分析极差、中位数数据得解【详解】1月到5月PMI指数有增有减，所以① 错
误；2018年5月的指数的最大，所以② 正确；根据折线图，，所以③ 正确；1月至3月的月指数极差为，6月至8月的月指数极差为，故1
月至3月的月指数波动性更大，所以④ 正确；故选：C【点睛】统计中样本极差、方差体现数据波动性情况，中位数、平均数体现样本数据整体水
平情况，属于基础题.5．B【解析】根据程序框图逐步计算即可.【详解】输入,,进入循环体：,,判定为否；,,判定为否；,,判定为否；
,,判定为是；输出.故选：B【点睛】本题主要考查了根据程序框图的输入结果计算输出结果问题,属于基础题.6．A【详解】试题分析：要使
方形的面积介于25cm2与49 cm2之间，需使线段AP的长介于5cm到7cm之间，所以其概率为．考点：几何概型．点评：解决概率问
题要先判断属于什么概率概型，本题是几何概型．把问题转化为了长度之比，属于基础题型．7．B【分析】由在R上为减函数,故在上为减函数,
在时为减函数,且当时的函数值大于等于的函数值.分别计算即可.【详解】由题在R上为减函数,故 ,故故选B【点睛】本题主要考查分段函数
的单调性,注意单个区间上要满足单调性,且在区间交接处也要满足单调性,属于基础题型.8．D【分析】设AF,FB的中点分别为D,E,
求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出p的值，即得抛物线的准线方程.【详解】设AF,FB的中点分别为D,E,
则|AB|=2|DE|,由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16，设，则，联立直线和抛物线的方程得，所以，所以抛物线的
准线方程为.故选D【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析
推理能力.9．D【解析】根据三角函数平移关系求出的解析式，结合是偶函数求出，利用三角函数的单调性进行求解即可.【详解】解：将函数的
图象向右平移个单位长度单位后得函数图象，则，若为偶函数，则，即，∵，∴当时，，即，当时，，此时不具备单调性，故A，B错误，当时，，
此时为增函数，故D正确，故选：D【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力.10．B【分析】设正四面体的内切
球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，先利用等体积法求出，再结合勾股定理求出，再根据球的体积公式即可得出答案.
【详解】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，由等体积法得，设，正的中心为，则，，由，得，故故
选：B.11．D【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】解：由题图可得，，故，所以，又，即，
所以，又，所以，所以.当时，，故函数关于对称，故A错误；当时，，即函数关于对称，故B错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的
图象，故C错误；当时，，则当，即时，单调递减，当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D
正确.故选：D12．D【分析】利用赋值法逐一对各选项进行验证.【详解】令，可得，因为，所以，故选项A不正确；令，得，代入，得，原等
式变形为，故选项B不正确；在中，令，得，即函数取值非负，令，得，所以，即恒成立，满足条件的只有一个，故选项D正确，C不正确.故选:
D.13．【分析】方法1：利用古典概型概率公式直接计算可得.方法2：可先求得从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的
事件总数，利用对立事件的性质，求出从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，利用古典概型概率公式计算可得.
【详解】方法1：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两
步完成：第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有，第二步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有：，所以从24个节气中任选2个
节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，所以，．方法2：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：，从24个节气中任选2个节
气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有：，从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：，所以，．故答案为
：.14．???? 2，，【分析】根据函数的解析式求出（1）的值，再求使解析式有意义的的取值范围．【详解】函数，则（1），令，解得
且，函数的定义域为，，．故答案为：2，，，．【点睛】本题考查了函数的定义域与求函数值的应用问题，是基础题．15．【分析】根据正弦函
数的性质求解的零点，再根据零点与区间端点的位置关系列式求解范围即可【详解】求解有，即或，解得或.又在区间上有且仅有两个零点，因为在
正半轴的零点依次为，，，故，解得故答案为：16．bn＝6n+3【分析】由“友好数列”的定义写出的递推关系后，利用两式相减可求得其通
项公式，中是最大值，由可得的范围．【详解】由题意，∴，①，所以时，，②，①－②得，，又，综上，，令，因为，所以中是最大值，由于是等
差数列，∴，解得．故答案为：；．【点睛】本题考查数列新定义，考查等差数列前项和的最大值．根据数列新定义在求通项公式时要注意首项与后
面各项求法上的差异，必须验证．等差数列前项的最值问题可能通过项的正负来确定，即满足时，最大（但要注意有可能或），满足时，最小（同样
有可能与或相等）．17．（1）0.95，答案见解析；（2）700千克．【分析】（1）根据表中的数据先求出，再求，，，然后利用公式求
出相关系，再作判断即可，（2）根据线性回归方程公式求出回归方程，然后将代入回归方程中可求得西红柿亩产量的增加量【详解】解：（1）由
已知数据可得，，所以，，，所以相关系数．因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．（2），，所以回归方程为．当时，，即当液体肥料每亩
使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克．18．(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选择①：由正弦定理边化角得
方程，求解即可.选择②：由正弦定理角化边得关于三边的方程，代入余弦定理可得.选择③：由正弦定理边化角，再由展开计算可得结果.（2）
设，，，在△ABC中，由、列等式①②，在中，由列等式③，由①②③解方程可得x，y.代入三角形面积公式可得结果.【详解】（1）若选择
①，∵．∴，∵，∴，即，∵∴；若选择②，∵，∴，∴，∴，，∵∴；若选择③，∵，∴，∴，∴，∴，又∵．∴，∴，∵，∴；（2）设，，，
在中，用余弦定理可得，即 ①，又∵在中，，即.即，即 ②，在中，用余弦定理可得，即 ③，③+①可得，将②式代入上式可得，．19．(
1)(2)【分析】（1）当时，可证得平面，得到CD为三棱锥的高，代入体积公式，从而得到结果.（2）取BD的中点F，连接，证得为二面
角的平面角，过作于点O，过作于点G，连接OG，OF，证得为二面角的平面角，从而求得结果.（1）当时，平面平面BCD.在直角梯形AB
CD中，，所以，所以，因为平面平面，平面BCD，所以平面，所以CD为三棱锥的高，故.（2）取BD的中点F，连接，因为，所以.因为E
为BC的中点，连接EF，则EF为的中位线，所以.因为，所以，所以为二面角的平面角，即.因为，所以平面.因为平面BCD，所以平面平面
BCD.因为平面平面，所以过作于点O，则平面BCD.因为平面BCD，所以.过作于点G，连接OG，OF，因为，所以平面，所以，所以为
二面角的平面角.在中，，，.在中，.在中，，所以，故二面角的正弦值为.20．(1)(2)① 证明见解析；②直线恒过定点【分析】（1
）根据椭圆的几何性质列方程求解，即可得椭圆的方程；（2）①设过与抛物线相切的直线方程为（），联立直线与抛物线根据得到关于切线斜率的
一元二次方程，由韦达定理可求得得值；②设直线：，，，代入椭圆方程可得较短坐标关系，根据①中结论或，从而判断直线所过定点，即可得结论
.【详解】（1）由题可得，解得，所以椭圆C的方程为（2）①设过与抛物线相切的直线方程为（），消去y得：，，即直线，的斜率分别为，，
则，是方程的两根，，消去m得：②设直线：，，，，消去x得：所以，因为，所以，所以整理得：即，所以．所以或，当时，，PQ恒过定点与A
重合，舍去当时，PQ恒过定点综上所述，直线PQ恒过定点.21．(1)；(2)见解析；(3).【分析】（1）,求出函数的定义域,函数
的导数,求出曲线在点处切线的斜率,然后求解切线的方程；（2）求出函数的定义域为及其导函数,分，和讨论即可；（3）当时,说明函数不存
在极值点，当时,利用函数在区间上存在极值点，推出，解出即可.【详解】（1）若,函数的定义域为,则曲线在点处切线的斜率为，而,则曲线
在点处切线的方程为.（2）函数的定义域为，，①当时,由,且此时,可得，令,解得或,函数为减函数，令,解得，且,所以当时，函数为增函
数，所以函数的单调减区间为，单调增区间为②当时,函数的单调减区间为，无单调增区间，当时,函数的单调减区间为,，无单调增区间，当时,
由,所以函数的单调减区间为.即当时，函数的单调减区间为，无单调增各区间，③当时,此时.令,解得或,但,所以当,时,函数为减函数;令
,解得,函数为增函数.所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为，综上所述，时，单调减区间为，单调增区间为时，单调减区间为，无单调
增各区间，时，单调减区间为，单调增区间为.（3）①当时,由（2）问可知,函数在上为减函数,所以不存在极值点;②当时,由（2）可知,
在上为增函数,在上为减函数.若函数在区间上存在极值点,则,解得或,所以.综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.【点睛】关键点睛：
本题第二问的关键在于找到分类讨论的标准，即边界值的寻找，同时注意其定义域，即分母不为0，第三问主要是要在第二问的基础上讨论，时，无
极值，时，数形结合，根据导数与极值的关系得到，解出即可.22．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【详解】试题分析: （1）消去参数α，即
可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐
标．试题解析：(Ⅰ)曲线，可得：曲线C的普通方程：x2＋y2＝4. 直线l：ρsin＝1＝ρsin θ＋ρcos θ，直线l的直角
坐标方程：x＋y－2＝0. (Ⅱ)∵圆C的圆心(0，0)半径为2，，圆心C到直线的距离为1，∴这三个点在平行直线l1与 l2上，如
图：直线l1与 l2与l的距离为1.l1：x＋y＝0，l2：x＋y－4＝0.，可得?两个交点(－，1)、(，－1)；解得(1，)， 这三个点的极坐标分别为：、、.点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.23．(1)(2)函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；【分析】（1）依题意是上的奇函数，即可得到，再设，根据时的解析式及奇函数的性质计算可得；（2）由（1）中的解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间；【详解】（1）解：的图象关于原点对称，是奇函数，．又的定义域为，，解得．设，则，当时，， ，所以；（2）解：由（1）可得的图象如下所示：由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页试卷第11页，共33页 |
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