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如果要从碗、马克杯和甜甜圈中，选择两个最相似的物体，大多数人会选择碗与马克杯。然而，在数学家眼中，马克杯和甜甜圈才是同一种东西。这听起来令人难以置信。在材质用途上完全不同的物体，怎么会是同一种东西？ 让我们用一块橡皮泥来解释，首先把这块橡皮泥捏成一个马克杯，然后使杯子变得越来越浅，并开始慢慢弯曲，马克杯就演变成了一个甜甜圈。而如果想要把马克杯变成一个碗，即使努力把它捏圆捏扁，你会发现，碗外边始终会多出来一个洞。像上述马克杯的例子，在拓扑学中，两个几何图形，如果其中一个可以在不撕开、不黏合的情况下连续变成另一个，就称这两个图形同胚。 在经典的几何中，人们关心的是几何图形或几何体的长度、面积、体积和角度这些特征量。相对的，还有一类关于几何图形的问题，其中，长度、面积、体积这些特征量并不重要，重要的是这个几何图形各个部分之间相对的位置关系。拓扑学研究的是几何图形即拓扑空间在连续形变下保持不变的性质。 这么说似乎太抽象了一点。换一个更通俗易懂的说法，我们继续使用橡皮泥来解释——这里有一块可能是任意形状的橡皮泥，球形、船形、口袋形或者随意什么样的，需要把这块橡皮泥变成另一个样子，但是不能开洞，也不能把它原本不相连的两点捏在一起。拓扑学研究的就是这块橡皮泥在被揉捏的过程中，不破坏上面两条“不能”的性质。拓扑学的许多抽象概念都可以用橡皮泥来形象化、具体化。因此，拓扑学常常被称为“橡皮几何学”。 那么，拓扑学能被应用于什么地方呢？这就不得不提到最为经典的哥尼斯堡七桥问题。题设环境是在哥尼斯堡的一个公园里，有7座桥将河中两个岛及岛与河岸连接起来。问是否可能从这4块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？ 答案是否定的。这个结论是如何通过严谨的数学证明得出的呢？ 首先将问题的条件抽象出来：用顶点代表陆地，两个陆地之间每一座桥用一条线段代表，我们得到一个图，有4个顶点和7条边。问题等价于能不能不重复地一笔画出这个图形？仔细观察图形，为了不画出重复的线，除开起点和终点，一进一出必须要有两条边存在，即除了起点和终点之外的其他点，都必须发出偶数条边。而图形所有顶点发出的都是奇数条边，所以不可能不重复一次走过所有边。大数学家欧拉严格证明了该解。 拓扑学的应用非常广泛，几乎无处不在。在生命科学领域，拓扑中的纽结理论能应用于分析DNA结构；在密码学中，基于拓扑学的量子密码安全性更高；在机械工程与材料学中，拓扑学可以辅助分析材料的承受能力…… （作者系华中农业大学沈婧芳名师工作室成员） |
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