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这不最近我为了暑假奥数教学备课，看了大量的拓展课，受益匪浅。比如昨天看的邵汉民老师的《挖掘“数列”的探究价值，促进学生的思维发展》，正好可以用到我的奥数课程里面。如图，这里面居然隐藏着立方数列求和的公式，你说数学多美妙。试问各位，谁还记得立方数列求和公式？那么平方数列的求和公式呢？大家有没有想过，为什么有些学霸，在高考十多年之后，再次面对数学压轴题，还是可以轻松破解？他们靠的不是绝不是刷题，也不是数学知识，而是强大的数学思维能力。和学会了什么相比，我们应该更加看重孩子的思维能力。同样两个孩子，一个可能提早学了很多知识，另一个没有学，只能靠自己的思维能力和逻辑推理解决那些难题。当然在早期考试中，很有可能前一个孩子会取得更好的成绩，但是着眼未来，后边那个孩子一定会更加出色。因为他的学习是思维训练的过程，而不仅仅是机械的背公式。所以提前学，不是提前学知识，而是加强孩子的思维训练。就数学而言，咱们家长鸡娃的方法，为什么说很可能从根上就是错的？因为我们上学时候，就极可能没有掌握正确的学数学的方法。这里面的根本原因或许在于，没有人用正确的教学方法来教我们学数学。孩子数学学不好，就是因为家长自己千疮百孔，却反而自以为是。家长这样的无知且不知反思，只会把一块未经雕琢的璞玉，变成了一块随处可见的砖头。在做平方数求和“1²+2²+3²+···+n²”时，如果有“不识趣”的小学生问“n(n+1)(2n+1)/6”这个公式怎么来的，你有没有什么办法给他讲懂呢？证明方法倒是很多——高次相邻项相减累加法、Abel恒等变换、四棱锥立方体法、待定系数法、扰动法……但作为一名小学数学老师，我认为“踢三角”才是最最最适合小学生的证明方法。该方法简单直观，并能让小学生充分体会到“数形结合”的奇妙……看到这，你可能已经预判到这老师是不是要画三角形并开始讲那个“踢一脚”“再踢一脚”的“踢三角大法”了——以下是某老师的原创内容：把“踢三角”改造为“RGB叠三角”！“RGB叠三角”其实是“高斯倒序相加求和法”的进阶版。既然我们愿意不厌其烦地给孩子讲“高斯小时候巧妙地计算从1加到100”的故事，那就更应该“好人做到底”。有关“RGB叠三角”的正确学习方式应分为以下三阶段—— ○△△△△ ○○△△△ ○○○△△ (1+2+3+4)+(4+3+2+1)=(1+4)+(2+3)+(3+2)+(4+1)以上是高斯求和：将原式copy一份然后倒序相加，会看到“项项相等”的奇妙现象！而平方数求和“1²+2²+3²+4²”可以认为是“1×1+2×2+3×3+4×4”，即——如果还是模仿高斯求和将原式copy一份然后倒序相加——33322 这是因为平方数求和的第n项“n²”随序号n呈现平方式增加，变得“头更轻脚更重”.既然复制一份倒序相加不再有效，那就超级加倍——复制两份，并把——一张红色半透明塑料片名为R，一张绿色半透明塑料片名为G，一张蓝色半透明塑料片名为B，将R、G、B上面的三角形数表的“1”分别朝三个不同方向并上下重叠在一起——
R、G、B重叠后三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+4+4”.以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——又因为R=G=B=1²+2²+3²+4²，所以——1²+2²+3²+4²=(1+4+4)×(1+2+3+4)/3=(1+4×2)×[(1+4)×4/2]/3=(1+4×2)×4×(4+1)/61²+2²+3²+···+n²=(1+2n)n(n+1)/6=n(n+1)(2n+1)/6（自然数乘等差数即自然数列1~n与等差数列A1~An序号相等的每一项相乘再求和.）设R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，则有——R、G、B重叠后的三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+7+7”.以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——又因为R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，所以——1×1+2×3+3×5+4×7=(1+7+7)×(1+2+3+4)/3=(1+7×2)×[(1+4)×4/2]/3=(1+7×2)×4×(4+1)/6如果把上式中的“4”推广到“n”，另设“An”为等差数列第n项，设“A1”为等差数列首项，则有——1×1+2×3+3×5+···+n×An=(A1+2An)n(n+1)/6=n(n+1)(2An+A1)/6以上就是“自然数乘等差数”的求和公式，特别地，当An=n时，以上公式退化为——没错，平方数求和公式其实是“自然数乘等差数”求和公式的特殊情况。再来看两道题，都是朵爸说题打卡营里面的题目。第一道：这是朵爸自己编的一道题目，编这道题的目的是想要让大家对比连加和连乘，看清楚配对求和的本质（等差数列求和）。本质是什么？是对称性。也就是孩子们自发的解题思路：大小配。通过大小配，孩子会发现，中间数x项数，就是数列的和（在项数为奇数项时），他们会为自己的发现而欢呼雀跃。你若问他们，如何数列的项数的偶数项呢？他们思考、尝试后会说，“遇到新朋友想想老朋友”。如果不是奇数项就变成奇数项啊，比如前面加个0啊。这就是转化的数学思想了。朵爸常说，孩子天生就会学数学，是家长不懂，然后给破坏掉了。
学好数学的秘诀就一句话：家长终生学习，孩子自主学习。再来看小老师说题打卡四年级的一道题：已知一个长方形的长和宽都是整数厘米，且周长为100厘米。那么所有这样的长方形面积之和为多少平方厘米？这题就是求所有“两个因数和为50”的乘法算式的“积之和”，有没有简便算法？为什么中低年级学和差问题，要先学移多补少？ 因为和差公式只是移多补少求和差的一个特例…… 和差问题又是和倍问题的一个特例……
和差问题最重要的是要先学“找不变量”的解题思路，先学移多补少解，结合还原问题来解决和差问题，感受“给来给去和不变”。然后是“消元”的思想。 否则遇到：
A-B=6
A+B+B=18 再用“（和+差）÷2=大数”这样的公式去套，肯定行不通……
进一步，为什么中低年级奥数要学“和差倍”？ 主要是学逻辑推理能力、量率对应。 怎么积累量率对应的数学经验？ 为什么要学盈亏问题？ 主要是学乘法模型，学份数关系，学差量分析。 …… 再说说最为大家所看重的“刷题”。有人说学霸做题的效率，之所以那么高，是因为他们什么题型都做过。所以形成条件反射，一道题拿过来，就说这题在哪见过？事实真是这样吗？学霸和学渣知道的知识点与公式，可能大同小异，但是成绩却有着天壤之别的差距，这究竟是为什么？为什么学霸总是可以破解难题？为了更好的解释这个问题，我们先看一道三年级的思考题，小明有5个苹果，妈妈说，把我的苹果给你3个之后，我的苹果是你的2倍。问小明妈妈原来有多少个苹果？成年人觉得很简单，小明原来有5个苹果，妈妈给了他3个之后，一共有5+3=8（个），这个时候妈妈的苹果是他的2倍。用8乘以2等于16个，所以妈妈给小明3个苹果之前，有16+3=19（个）苹果。这种解题方法，每一步都是正确的，在成年人的想像中，孩子们应该可以轻松学会。但是有经验的老师明白，这样的解法对于大部分孩子来说，完全不能举一反三。往往是看似学会了，换种题型又不会做了，这到底是为什么？
我们得从逻辑链开始讲起。最简单的应用题，从已知条件到目标，一步就可以得出答案。三年级起很少有那种一个短的算式，一步就能算出结果的应用题。往往需要三步，复杂一点的可能要四到五步，才能求出所要的结果。把这样的单步逻辑串联起来，就是分步计算。换句话说，题目给了我们条件A，要我们求出目标E。无法一步到位。但可以从A推B，而B又能推出C，再由C推出D,最后D推出E。每一步都需要依赖前一步的推导。换句话说，中间的步骤无法跳跃，步骤越多，题目难度越大，不少孩子就越害怕。随着年级的升高，逻辑思维的要求越来越高，会慢慢的出现三步、四步逻辑。到了中学更长的逻辑链，也是家常便饭。有时遇到一些应用题，描述特别长，好好的数学题，就像做语文的短文阅读理解，一大段的文字，而且这也是未来中高考的趋势。令一些有阅读障碍的同学望而生畏。这样的多步逻辑，和明确目的分步计算不同，需要孩子自己去找中间步骤。就像一个迷宫。如果已知条件是入口，最终目标是出口，那么中间的解题过程，就是探索迷宫唯一正确线路的过程。就是要找一条从入口到出口的逻辑链。现在熟知迷宫路线的家长，机械地告诉孩子这个路口往右，那个路口往左，下个路口再往左，就是不告诉他为什么要这样走？每一步都很简单，很快就能找到出口，或许还能记住这条路，但是这有用吗？孩子只是记住了这道题的解法。根本就没有提高独自走迷宫的能力，下次换道题还是会迷路。就像开着导航上路，听着指令走总错不了。但老司机一定是要学会看路牌，这是能力。正规的道路上，都有明确的指路牌，它是大方向，只要你能领会它表达的意思，你到没到过，都不是问题。这也是以前的司机跑长途和必备能力。又好比一个人去陌生地方，你不教他怎么看地图。只告诉某条路在第几个路口往哪边走，小范围的话是有用。但路途一旦拉长，中间自然会有许多的叉路，不会看地图，那他一定会迷茫无助。或者说解题方法的每一步是怎么想到的？很多人刷完一道又一道的难题，记住了一个又一个的迷宫（套路）。但是却不知道每个路口，为什么要这样走，而不是那样走。几乎没有提高思维能力，一旦面对陌生的难题，就会茫然不知所措，没有任何思路。学霸完全不一样，他们运用逻辑思维，反思解题的每一个步骤，逐渐形成了一套走迷宫的方法。无论多么复杂的难题，只要系统有序的思考，就一定能找到前进的方向。通过逻辑思维，快速的锁定解题路径，这样的孩子才是真正的学霸。靠模仿和记忆套路解题，跟靠逻辑推理解题，从解题思路看起来都差不多，也确实是同一条逻辑链，但是对于孩子来说，两者之间有着云泥之别。就像走迷宫，一个是系统的、有方向的，适合每一道难题。另一个则完全相反，做了一题就会那一题，根本不能提高思维能力。一道数学题目，把条件和结果换个顺序，或者去掉某一个条件，又或是绕一个小弯，难度马上就上来了。大部分学生到了高年级，随着认知水平的发展，以前的难题会在不知不觉中变得简单。然而这个时候出现了新的难题，有了更高的要求。中考、高考的压轴题，更是有十多步的逻辑，而且每一步都有很多可能性。就像一个庞大的迷宫，如果没有逻辑思维的指引，根本不可能做出答案。小学的数字谜，每个方格中填一个数字的那种题，有相当的难度。由于题目中给出的数字非常少，要我们去倒推。每一步都有非常多的可能性，你需要同时结合，多步一起考虑，将那些干扰因素排除，得出唯一确定的数字。然后根据明确推导出来的数字，再往后推导。你会发现，后面的可能性会逐渐变少，思路越来清晰。小学的竖式谜（尤其是多位数的竖立除法）就是比较好，训练逻辑思维的方式，同时也能有效增强数感。如果孩子在小学阶段没有打好基础，这样的差距会越来越大。为什么有些学霸，在高考十多年之后，再次面对数学压轴题，还是可以轻松破解？靠的不是刷题，不是大学知识，而是强大的数学思维。就像一个迷宫，要找一条从已知条件，到最终目标的逻辑链，学霸运用逻辑思维，系统有序的思考，无论多么复杂的难题，都可以快速、轻松的找到解题方向。掌握了这套方法，可以解决大部分数学难题。当然有些时候还要跨越逻辑链中一些较难的步骤。鸡娃最重要的还是教育观念。观念的改变是最难的，但若一旦改变，则孩子会受益无穷。因孩子而改变，才是父母真正的爱。改变自己很难，但很值得。不做刻意的教育，鲜活的生命自然会影响孩子。反之，孩子数学学不好，就是因为家长自己千疮百孔，却反而自以为是。孩子不是一生下来就那么笨的。家长这样的无知且不知反思，只会把一块未经雕琢的璞玉变成了一块随处可见的砖头。
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