2021 年高考真题数学试卷 -新高考 II 卷
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、在复平面内，复数
A. 第一象限
对应的点位于（ ）．
B. 第二象限C. 第三象限
D. 第四象限
2、若全集
A.
，集合
B.
，
C.
，则 （ ）．
D.
3、若抛物线
A.
的焦点到直线
B.C.
的距离为 ，则 （ ）．
D.
4、卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度指卫星到地球表面的最短距离），把地球看成一个球心为
点 的纬度是指
半径为 的球，其上
与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步
，该卫星信号覆盖的地球表面积 （ 表示轨道卫星的点的纬度的最大值记为
地球半径，单位：
A.
）．则 占地球表面积的百分比为（ ）．
B.C.D.
5、正四棱台的上、下底面的边长分别为 、 ，侧棱长为 ，则四棱台的体积为（ ）．
A.B.C.D.
第 1页（共 24页）
6、某物理量的测量结果服从正态分布
A. 越小，该物理量一次测量结果落在
B. 越小，该物理量一次测量结果大于
C. 越小，该物理量一次测量结果大于
D. 越小，该物理量一次测量结果落在
，则下列结论中不正确的是（ ）．
内概率越大
的概率为
的概率相等
内的概率相等
的概率与小于
内的概率与落在
7、若
A.
， ，
B.
，则（ ）．
C.D.
8、设函数
A.
的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，则（ ）．
B.C.D.
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四
个选项中，有多项是符合题目要求的．全选对得 5 分，选对但不全得 2 分，有
错误答案得 0 分）
9、下列统计量中可用于度量样本
A.
C.
，
，
，
，
，
，
的标准差
极差
， ， ，
B.
D.
离散程度的有（ ）．
，
，
，
，
，
，
中位数
平均数
第 2页（共 24页）
10、如图，下列各正方体中，
的是（ ）．
为下底的中点， ， 为顶点， 为所在棱的中点，则满足
A.B.
C.D.
11、已知直线 ：
A. 若点
C. 若点
在圆
在圆
与圆
上，则直线 与圆
外，则直线 与圆
：
相切
相离
，点
B. 若点
D. 若点
在圆
，则下列说法正确的是（ ）．
内，则直线 与圆 相离
相切在直线 上，则直线 与圆
12、设正整数
则（ ）．
A.
C.
，其中 ，记
B.
D.
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．）
13、已知双曲线 （ ， ），离心率 ，则双曲线 的渐近线方程
为 ．
14、写出一个同时具有下列性质①②③的幂函数
① ；②当 时，
．
；③ 是奇函数．
第 3页（共 24页）
15、已知向量，，，则
．
16、已知函数，，，函数
、
的图象在点
两点，则
和点
的取值范围的两条切线互相垂直，且分别交轴于
是．
四、解答题（本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．)
17、设是公差不为的等差数列
的通项公式．
的前项和，若，．
(1)求数列
(2)求使成立的的最小值．
第4页（共24页）
18、在
(1)若
中，角，，所对的边长为，，，
的面积．
，．
，求
(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求；若不存在，说明理由．
19、在四棱锥中，底面是正方形，若，，．
(1)求证：平面
(2)求二面角
平面．
的平面角的余弦值．
第5页（共24页）
20、已知椭圆
(1)求椭圆
(2)设，
的方程为，右焦点为，且离心率为．
的方程．
是椭圆上的两点，直线
．
与曲线：相切．证明：，，
三点共线的充要条件是
21、一种微生物群体可以经过自繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第代，经过一次繁殖后
为第代，再经过一次繁殖后为第代．该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，
设表示个微生物个体繁殖下一代的个数，
，，，，求
（
．
，，，）．
(1)已知
(2)设表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，是关于的方程：
的一个最小正实根，求证：当
(3)根据你的理解说明（）问结论的实际含义．
时，，当时，．
第6页（共24页）
22、已知函数
(1)讨论的单调性．
(2)从下面两个条件中选一个，证明：
①，；
②，．
．
有一个零点．
第7页（共24页）
答案解析
1、【答案】 A;
【解析】方法一 :，
则
故选
在复平面内对应的点是
．
的一个辐角是，
，它位于第一象限．
方法二 :设的一个辐角是，，，
则的一个辐角是，，
，，
故
故选
在复平面内对应的点位于第一象限．
．
2、【答案】 B;
【解析】由题意知：
故选
3、【答案】 B;
【解析】抛物线的焦点是，
．
，则．
它到直线（即）的距离，
则
而
故选
，解得：
，故
．
．
或，
第8页（共24页）
4、【答案】 C;
【解析】如图，同步卫星位于点，与球交于点，
当点
直线
此时
已知
位于能直接观测到同步卫星的最大纬度时，
上，
，
，
，
，
，则
与球相切，在赤道平面内的射影在
，
地球表面积，则
．
，
故占地球表面积的百分比约为
故选
5、【答案】 D;
【解析】如图：
．
在正四棱台
设与
，
中，
分别为上下底面的中心，
分别为，的中点，，
第9页（共24页）
，
，
∴
∴
延长
∴
∴
与交于点
，
，
，，
．
，
，
且，
．
故选
6、【答案】 D;
【解析】记该物理量一次测量结果为
的分布密度曲线关于直线
越小，
由对称性知
的分布越集中于均值
，
，由题设知，故，，
．
对称，
附近，越大，故
，故，
正确；
正确；
，
，
第10页（共24页）
由图象可看出
错误；
更严谨的判断选项的方法：由对称性知
，故，故
，
（其中
越小
故选
7、【答案】 C;
【解析】因为
故选
8、【答案】 B;
【解析】选项：
，
故
设
，
，则满足“
，故正确；
为奇函数”，
为偶函数，为奇函数，，
．
，，故．
．
是标准正态分布函数，
越大越大
，
越大
，显然在上单调递增）
正确．越大，故
为偶函数，
此时
故选
9、【答案】 A;C;
．
，，，故错误．
【解析】反映离散程度：极差，方差，标准差；
反映集中趋势：平均数，中位数，众数．
故选．
第11页（共24页）
10、【答案】 B;C;
【解析】设各正方体的棱长均为（
．，，
），建立如图所示的空间直角坐标系，则
不垂直于；
，
．，，；
．，，；
．，，不垂直于．
第12页（共24页）
故选
．
11、【答案】 A;B;D;
【解析】圆的圆心是，半径是，圆的圆心到直线的距离，
选项：若点在圆上，则直线与圆相切，故正确；
选项：若点在圆内，则直线与圆相离，故正确；
选项：若点在圆外，则直线与圆相交，故错误；
选项：若点
正确．
故选
．
在直线上，则直线与圆相切，故
12、【答案】 A;C;D;
【解析】方法一 :选项：
，故
选项：
当
选项：
时，
正确；
，
，故错误；
，
第13页（共24页）
，故
选项：
，故
故选．
表示一个二进制数，它的各位数字从左向右依次是
，
，
表示二进制数中的个数，
，，，
正确；
正确；
方法二 :说明：
，其中
请记住，其中．
选项：
选项：
当时，
，此时
选项：
，故
，
，此时
，故正确；
，故
，故错误；
错误；
，故
，故
，
，
故正确；
选项：，故
．
，故正确；
故选
13、【答案】
【解析】双曲线
;
的渐近线方程是，
，
第14页（共24页）
故双曲线
故答案为：
的渐近线方程是
．
．
14、【答案】;
，．【解析】幂函数满足条件①，可设
当时，在上单调递增，此时满足②；
是奇函数，此时满足③；
，，满足题目所有条件．
当为偶数时，
综上所述，
故可取
15、【答案】
【解析】由
;
．
得
．
16、【答案】
【解析】当
的图象在点
;
时，
处的切线斜率
，，当
．
时，，，
第15页（共24页）
在点
因为
处的切线斜率
的图象在点和点
，
处的切线互相垂直，故
，，
，
，
由弦长公式得
，
当
时，，故的取值范围是．
17、【答案】 (1)
(2)．
【解析】 (1)设
．
的公差是，则
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
．由题设知
(2)
，故，
，
，
或
而
18、【答案】 (1)
(2)存在，．
第16页（共24页）
，
，故的最小值是．
．
【解析】 (1)由
而，故，得
和正弦定理得
，则
，
，
，，
，
．
(2)由题意得，所以当且仅当时，为钝角三角形，
，而
当
当
故存在
19、【答案】 (1)证明见解析．
(2)．
的中点，连接，．
时，
时，
，
，
，故
，则
，满足
，，
，不满足
，
，（三角形任意两边之和大于第三边）
，使得为钝角三角形．
【解析】 (1)取
由得
，
，
，
，
，
，在正方形
故
中，
第17页（共24页）
而
故
而
故
而
故平面
，
，
，
平面
平面
，
，
，
平面
平面
，，
，
平面，
．
，，(2)向量法：因为
故以为原点，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
，
设是平面
，，
的法向量，
，，，
则，
取
由
故
故
设二面角
平面
平面
，
得
，
是平面的法向量，
，而，，
的平面角是，
则，
第18页（共24页）
几何法：由
而
在平面
，
平面得
，故
于点
，
平面
，连接，
，
内作
，
由三垂线定理得
故
由
则
是二面角
平面得
，
的平面角，
，
，
，
即二面角
20、【答案】 (1)
(2)证明见解析．
【解析】 (1)由
的平面角的余弦值是．
．
知椭圆
，
的半焦距，离心率，
故椭圆
(2)曲线
的方程是
：
与曲线
．
是圆心为
相切，
第19页（共24页）
，半径为的圆在轴右侧的部分，
由题设知直线
所以直线
设直线
显然直线
曲线
的斜率不为，
：（即），
，与轴正半轴相交，即
的距离所在圆的圆心到
，
，
判别式
，
设，
，
，由韦达定理得
，
由弦长公式得，
（）若，，三点共线，即直线经过点，
则
故
（）若
，故
是，，
，
三点共线的必要条件．
，则
．
三点共线，故直线
故
综上所述，
经过点
是
，
，
，
，
，即，，
三点共线的充分条件，
．三点共线的充要条件是
第20页（共24页）
21、【答案】 (1)
(2)证明见解析．
(3)若个微生物个体繁殖下一代的个数的均值小于等于，那么繁殖多代后这种微生物临近灭绝，
若个微生物个体繁殖下一代的个数的均值大于，那么繁殖多代后这种微生物有继续繁殖的可能．
【解析】 (1)
(2)，，，，，
，
设
则
由得
，
图象的对称轴是，而，故在上单调递增，
，
，
，
．
，
（）当
当
故
故
故当
故．
时，
时
在
，当
上单调递减，在
，，
，故
时
在
在
时，
，
上单调递减，
时，，
时，，
，
，注意到，
（）当
当
故
而
有且仅有一个零点
，
，
上单调递增，
第21页（共24页）
故在有且仅有一个零点
时
．
，
，故，
综上所述，当
当时
(3)若个微生物个体繁殖下一代的个数的均值小于等于，那么繁殖多代后这种微生物临近灭绝，
若个微生物个体繁殖下一代的个数的均值大于，那么繁殖多代后这种微生物有继续繁殖的可能．
22、【答案】 (1)当
当时，在
时，
，
在上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递增；
上单调递减;
当时，在上单调递增;
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
(2)证明见解析．
【解析】 (1)的定义域是，
，注意到
①当
当
②当
（）当
当
故在，
时，
时，，令得，
上单调递减，在
时，令
时，
得
，
时
上单调递增，
，；
，当
上单调递增，在
时，
上单调递减；
时，，故在上单调（）当
递增；
（
当
）当
，此时，仅当
时，
时
，
，当时，
第22页（共24页）
故在，上单调递增，在
在，
上单调递减．
上单调递增，在(2)①当
上单调递减，
设
时，由（）知
，设，则，
，
当
故当
设
，
时，
，则
时，
，
，
，故在
．由得，故，
，，故，
仅有一个零点，
综上所述，
②当
调递减，
设
仅有一个零点．
时，由（）知在，上单调递增，在上单
，设，则，
，
当
故当
故当
，
时，
时
时，
，由
，
在
，由
得
得
，故
，故
，
，
以下用两种方法证明
方法一：设
当
故当
故当时，
时，
时，
仅有一个零点．
，则
，故
，即
在
，
上单调递增，
，
，
第23页（共24页）
设
而
且，则
，故在
，则
时，
时，
时，
，得，设且
时，
，故在
，即
，
仅有一个零点．
，
上单调递增，
，
．
，则
在仅有一个零点，
，
方法二：设
当
故当
故当
由
而
综上所述，
，故当
仅有一个零点．
第24页（共24页）
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