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The Road Not Taken 前言：高考这段插曲已经结束，不论结局如何，希望大家不为凡俗的标准困扰，不要放弃对真理和知识的追求，在任何环境下保持澄澈纯净的内心，并且为人生的理想付出聪明而坚实的努力，接下来没有标准答案的人生才更加精彩. 在此我邀请2023届数学竞赛班的同学写下他们竞赛生涯中最喜欢的一道题，与大家分享，供大家参考. [题目] 设是一个正整数，数列按如下方式定义： ，. 求的一切可能值，使得存在，（，），满足是一个正整数的次幂. [选择的理由]
[分析] 从题目结论出发，换元化简. 化简后的平方需要一些创造，但也不是完全想不到，往次方数上靠. 因式分解后应该抱有美好的希望（互质），因为这样能推出很强的结论. 互质的证明和后面的分类讨论考验基本功，只需要运用简单的定理推导即可. [解答] 定义数列：， 则. 等式两边同时平方并加可得： , 即. 若存在质数， 使得且， 则， 即， 因此. 因为, 所以， 所以， 即. 因为， 所以， 因此， 即， 因此. 又由于是质数，所以， 依次类推，可得，即. 因为， 即, 可得，即， 又因为， 所以， 所以， 这与是质数矛盾. 故对任意，恒成立. 引理：连续两个正整数不可能同时是次方数，其中. 证明：假设存在正整数，使得 ，（，） 则，， 所以， 因为， 与矛盾， 所以假设不成立，引理得证. 回到原题，若是一个正整数的次幂， 即是次方数. 又， 且， 所以也为次方数， 依次类推，也为次方数， 不妨设， 即， 因为， 所以， 当为奇数时， 与均为次方数， 由引理知此时无解. 当为偶数时, 不妨设(), 则为次方数，为次方数, 设,, 则也为次方数， 由引理当时无解. 所以，，(,). 又因为当(,)时， 满足题意， 所以的所有可能值为(,). [注] 当数列和高次的条件同时出现，我们应该如果思考问题？ 碰到多字母问题应该如何入手？ 定理朴实但结论很强应该如何严谨推导？ 这题给了我们一些灵感！ |
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