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《难 点 突 破》压轴题----函数与导数常考题型一、要点归纳1. 曲 线 ( )y f x? 在 0x x? 处 的 切 线 的 斜 率 等 于 0( )f x? ， 且 切 线 方 程 为0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x?? ? ? .2.若可导函数 ( )y f x? 在 0x x? 处取得极值，则 0( ) 0f x? ? .反之，不成立 .3.对于可导函数 ( )f x ，不等式 ( )f x? 0? 0?（ ） 的解集决定函数 ( )f x 的递增（减）区间。
4.函数 ( )f x 在区间 I上递增（减）的充要条件是： x I? ? , ( )f x? 0? ( 0)? 恒成立（ ( )f x?不恒为 0） .5.函数 ( )f x （非常量函数）在区间 I上不单调等价于 ( )f x 在区间 I上有极值，则可等价转化为方程 ( ) 0f x? ? 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 ( )f x? 为二次函数且 I=R，则有0?? ） .6. ( )f x 在区间 I 上无极值等价于 ( )f x 在区间在上是单调函数，进而得到 ( )f x? 0? 或( )f x? 0? 在 I上恒成立 .7.若 x I? ? ， ( )f x 0? 恒成立，则 min( )f x 0? ; 若 x I? ? ， ( )f x 0? 恒成立，则
max( )f x 0? .8.若 0x I? ? ，使得 0( )f x 0? ，则 max( )f x 0? ；若 0x I? ? ，使得 0( )f x 0? ，则min( )f x 0? .9.设 ( )f x 与 ( )g x 的定义域的交集为 D，若 x? ?D ( ) ( )f x g x? 恒成立，则有? ?min( ) ( ) 0f x g x? ? .10.若对 1 1x I? ? 、 2 2x I? ， 1 2( ) ( )f x g x? 恒成立，则 min max( ) ( )f x g x? .若对 1 1x I? ? ， 2 2x I? ? ，使得 1 2( ) ( )f x g x? ,则 min min( ) ( )f x g x? .
若对 1 1x I? ? ， 2 2x I? ? ，使得 1 2( ) ( )f x g x? ，则 max max( ) ( )f x g x? .11. 已 知 ( )f x 在 区 间 1I 上 的 值 域 为 A, ， ( )g x 在 区 间 2I 上 值 域 为 B ， 若 对
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1 1x I? ? , 2 2x I? ? ，使得 1( )f x = 2( )g x 成立，则 A B? ．12.若三次函数 f(x)有两个极值点，当且仅当方程 ( ) 0f x? ? 一定有两个不等实根 1 2x x、 ，若三次函数 f(x)没有极值点，则方程 ( ) 0f x? ? 有两个相等的实根或没实根 .．13.证题中常用的不等式 : ① 1xe x? ? ② 1xe x? ? ? ③ xe ex? ④ 316xe x?⑤ ln +1 ( 1)x x x? ??（ ） ⑥ ln 1 ( 1)1 2x x xx ?? ?? ⑦ 2 2ln 1 1 ( 0)2 2x xx x? ? ?⑧ 1 1 1ln ( ) 1 ( 1)2x x x x xx x? ? ? ? ? ? ? ⑨ ln 11 ( 0)x xx x? ? ?二、常考题型：
题型一：恒成立求参数的最值或取值范围问题1. 1( ) 0 1 0.1 xaxf x e x x yx?? ? ? ? ??已知函数 在 处的切线方程为（Ⅰ）求 a的值； （Ⅱ） ( ) 1,f x ?若 求 x 的取值范围.2. 已 知 函 数 ln( ) 1a x bf x x x? ?? ， 曲 线 ( )y f x? 在 点 (1, (1))f 处 的 切 线 方 程 为2 3 0x y? ? ? .（Ⅰ）求 a、 b 的值； （Ⅱ）证明：当 0x ? ，且 1x ? 时， ln( ) 1xf x x? ? .3．已知函数 ln(1 )( ) ( 0)xf x xx?? ?
（Ⅰ）判断函数 ( )f x 的单调性；（Ⅱ）是否存在实数 a使得关于 x的不等式 ln(1 )x ax? ? 在 (0, )?? 上恒成立？若存在，求出 a的取值范围，若不存在，试说明理由.4．已知函数 1 ln( ) xf x x?? ．（Ⅰ）设 a＞0，若函数 )(xf 在区间 1( , )2a a? 上存在极值，求实数 a的取值范围；（Ⅱ）如果当 x ?1 时，不等式 2( ) 1k kf x x ?? ? 恒成立，求实数 k 的取值范围．5．已知函数 2( ) 2 3 .xf x e x x? ? ?
（Ⅰ）求曲线 ( )y f x? 在点 (1, (1))f 处的切线方程；
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（Ⅱ）如果当 1x? 时，不等式 25( ) ( 3) 12f x x a x? ? ? ? 恒成立，试求实数 a的取值范围．6．设 ( ) lnaf x x xx? ? ， 3 2( ) 3g x x x? ? ? ．（Ⅰ）当 2a ? 时，求曲线 ( )y f x? 在 1x ? 处的切线方程；（Ⅱ）若存在 1 2, [0,2]x x ? ，使 1 2( ) ( )g x g x M? ? 成立，求满足上述条件的最大整数 M ；（Ⅲ）如果对任意的 1, [ ,2]2s t? ，都有 ( ) ( )f s g t? 成立，求实数 a的取值范围．7.设函数 ( ) ,xf x xe? 2( ) .g x ax x? ?（Ⅰ）若 ( )f x 与 ( )g x 具有完全相同的单调区间，求 a的值；
（Ⅱ）若当 0x? 时恒有 ( ) ( ),f x g x? 求 a的取值范围.8.已知函数 ( ) xf x e? , ( ) 1g x x? ?（Ⅰ）判断函数 ( ) ( )f x g x? 零点的个数,并说明理由；（Ⅱ）当 0x? 时， ( ) 1 1axf x x? ? ? 恒成立，求实数 a的取值范围.9.已知函数 3 2( ) 3 1( )f x ax x a x R? ? ? ?， .（Ⅰ）当 0a ? 时，求函数 f(x)的极值．（Ⅱ）设函数 ''1( ) ( ) (2 1) 13h x f x a x? ? ? ? ， ( 1, ]( 1)x b b? ? ?? ，如果存在 ( , 1],a? ?? ? ，对任意 ( 1, ]x b? ? 都有 ( ) 0h x ? 成立，试求 b 的最大值．
10.设函数 2( ) ln , ,f x a x bx a b R? ? ?（Ⅰ）若函数 ( )f x 在 1x ? 处与直线 12y ?? 相切，①求实数 ,a b的值；②求函数 ( )f x 在1,ee? ?? ?? ? 的最大值；（Ⅱ ）当 0b ? 时，若不等式 ( )f x m x? ? 对所有的 ? 230, , 1,2a x e? ? ?? ? ?? ?? ? 都成立，求实数m 的取值范围.11．已知函数 21 1( ) ln( )2 2f x ax x ax? ? ? ? （ a为常数， 0a ? ）.（Ⅰ）若 12x ? 是函数 ( )f x 的一个极值点，求 a的值；
（Ⅱ）求证：当 0 2a? ? 时， ( )f x 在 1,2? ?????? ?上是增函数；（Ⅲ）若对任意 ．． 的 a?（1，2），总存在 ．． 0 1,12x ? ??? ?? ?，使不等式 20( ) (1 )f x m a? ? 成立，求实数 m 的取范围.
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12.已知函数 ? ? ? ? ? ?3 21 2f x x a x a a x? ? ? ? ? ? ?a?R ， ? ?''f x 为 ? ?f x 的导数.（Ⅰ）当 3a ?? 时，证明 ? ?y f x? 在区间 ? ?1,1? 上不是单调 ．．．． 函数；（Ⅱ）设 ? ? 19 16 3g x x? ? ，是否存在实数 a，对于任意的 ? ?1 1,1x ? ? ，存在 ? ?2 0,2x ? ，使得 ? ? ? ?1 1 22f x ax g x? ? ? 成立？若存在，求出 a的取值范围；若不存在，说明理由.13.已知函数 2( ) ln ( 1).xf x a x x a a? ? ? ?（Ⅰ）求 ( )f x 的单调增区间；（ Ⅱ ） 若 存 在 ? ?1 2, 1,1 ,x x ? ? 使 得 1 2( ) ( ) 1(f x f x e e a? ? ? 是自然数）,求实数 的取值 .范围
14. 设函数 2( ) mxf x e x mx? ? ? ．（Ⅰ）证明： ( )f x 在 ( ,0)?? 单调递减，在 (0, )?? 单调递增；（Ⅱ）若对于任意 1 2, [ 1,1]x x ? ? ，都有 1 2( ) ( ) 1f x f x e? ? ? ，求 m的取值范围．15．已知函数 Raxxaxxxf ?????? ,1)1ln()( ．（Ⅰ）当 0?a 时，求函数 )(xf 的单调区间；（Ⅱ）若存在 0?x ，使 )(11)( Zaxxxxf ?????? 成立，求 a的最小值．16. 设函数 ( ) 1 .xf x e?? ?
（Ⅰ）证明：当 1 , ( ) ;1xx f x x?? ? ?时（Ⅱ）当 0 , ( ) 1xx f x ax? ? ?时 恒成立,求 a的取值范围.17.已知函数 2( ) ( 1) ( 1).xf x x e x x? ? ? ?（Ⅰ）试判断方程 ( ) 0f x ? 根的个数 .（Ⅱ） ( ) (1, ) ,k k f x k? ??若 为整数,且不等式 在 上恒成立 求 的最大值.18.设函数 ( ) 2xf x e ax? ? ?(Ⅰ)求 ( )f x 的单调区间
(Ⅱ)若 1,a k? 为整数，且当 0x ? 时， ''( ) ( ) 1 0,x k f x x? ? ? ? 求 k 的最大值.
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题型二：导数与函数的切线问题19．已知函数 3 1 2( ) ln , ( ) 2 3f x x x g x ax x e? ? ? ? ? ．（Ⅰ）求 ( )f x 的单调增区间和最小值；（Ⅱ）若函数 ( )y f x? 与函数 ( )y g x? 在交点处存在公共切线，求实数 a的值；（Ⅲ）若 2(0, ]x e? 时，函数 ( )y f x? 的图象恰好位于两条平行直线 1:l y kx? ；2 :l y kx m? ? 之间，当 1l 与 2l 间的距离最小时，求实数 m 的值．20.已知函数 ( ) ln( ) .f x x a ax? ? ?
（Ⅰ） 求函数 ( )f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若 ( , 1),a? ?? ? 函数 ''( ) ( )g x a f x? 的图象上存在 1 2,P P 两点,其横坐标满足1 21 6x x? ? ? ? ,且 ( )g x 的图象在此两点处的切线互相垂直,求 a的取值范围.21.已知在函数 3 21 2 53y x x x?? ? ? 的曲线上存在唯一点 P 0 0( , )x y ，过点 P作曲线的切线l与曲线有且只有一个公共点 P，则切线 l的斜率 k = ______________．22．已知函数 2( ) , .xf x e ax ex a R? ? ? ?（Ⅰ）若曲线 ( )y f x? 在点 (1, (1))f 处的切线平行于 x轴，求函数 ( )f x 的单调区间；（Ⅱ）试确定 a的取值范围，使得曲线 ( )y f x? 上存在唯一的点 P ，曲线在该点处的切线
与曲线只有一个公共点 P .题型三：导数与函数的零点及零点关系问题23.已知函数 3( ) sin ( ), [0 ]2 2f x ax x a R ?? ? ? 且在 ， 上的最 大值 .?-3为 2（Ⅰ）求函数 ( )f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数 ( )f x 在 (0, )? 内的零点个数，并加以证明．24. 已知函数 ( ) xf x x ae= - ( )a R? 有两个零点 1 2,x x ，且 1 2x x< .（Ⅰ）求 a的取值范围； （Ⅱ）证明 21xx 随着 a的减小而增大；
（Ⅲ）证明 1 2x x+ 随着 a的减小而增大.25.已知函数 ( ) 2ln ( )2af x x x x x a a R= - - + ? ，在其定义域内有两个不同的极值点.（Ⅰ）求 a的取值范围；
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（Ⅱ）记两个极值点为 1 2,x x ，且 1 2x x< ，已知 0? ? ，若不等式 1 1 2e x xl l+ < × 恒成立，求 ?的取值范围.26.已知函数 ( ) ( 0)axf x x e a= - > .（Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数 ( )f x 有两个零点 1 2,x x ，且 1 2x x< ，试证明 12x aex < .27． 已知函数 ( )f x ? 1xxe? （ x∈R）
（Ⅰ） 求函数 ( )f x 的单调区间和极值；（Ⅱ） 已知函数 ( )y g x? 对任意 x满足 ( ) (4 )g x f x? ? ，证明：当 x＞2时， ( )f x ＞ ( )g x ；（Ⅲ） 如果 1x ≠ 2x ，且 1( )f x ? 2( )f x ，证明： 1 2x x? ＞4．28． 已知函数 2)1(2)( ???? xaexxf x）（ 有两个零点 .（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）设 x
1 ， x2 是的两个零点，证明： x1 +x2 <2.29. 已知函数 ( ) ( cos ) 2sin 2f x x x x?? ? ? ? ， 1 sin 2( ) ( ) 11 sinx xg x x x? ??? ? ? ?? .证明：（ 1）存在唯一 0 (0, )2x ?? ，使 0( ) 0f x ? ；（ 2）存在唯一 1 ( , )2x ? ?? ，使 1( ) 0g x ? ，且对（ 1）中的 0 1x x ?? ? .30． 已知函数 2( )( ) lnx af x x?? （其中 a为常数）．（Ⅰ）当 0a ? 时，求函数单调区间
（Ⅱ）当 0 1a? ? 时，设函数 f（ x）的三个极值点为 1 2 3, ,x x x ，且 1 2 3x x x? ? .证明：1 3 2x x e? ? ．31. 已知 ( ) ( 1)xf x e a x? ? ? 有两个零点 .（Ⅰ）求实数 a的取值 .范围 .（Ⅱ）设 1 2 1 2,x x R x x? ?且 是 ( )f x 的两个零点，证明： 1 2 1 2x x x x? ? ? .
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32. 已知 ? ?( ) ln ( ).f x x x mx m R? ? ?（Ⅰ）当 1m? 时， ( )f x 的图象在 ? ?1, 1? 处的切线 l恰与函数 ( 0 1)xy a a a? ? ?且 的图象相切，求实数 a的值 .（Ⅱ）若函数 21( ) ln 2 12F x x x mx? ? ? ? 的两个极值点为 1 2 1 2, ,x x x x?且 ，求证：2 1( ) 1 ( )f x f x?? ? .33．设函数 ''( ) ln(1 ), ( ) ( ), 0,f x x g x xf x x? ? ? ? 其中 ''( )f x 是 ( )f x 的导函数．（Ⅰ） 令 1 1( ) ( ), ( ) ( ( )), ,n ng x g x g x g g x n N? ?? ? ? 求 ( )ng x 的表达式；
（Ⅱ） 若 ( ) ( )f x ag x? 恒成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）设 n N?? ，比较 (1) (2) ( )g g g n? ????? 与 ( )n f n? 的大小，并加以证明．34． 已知函数 f（x）=e x-kx，x∈R.（Ⅰ） 若 k= e，试确定函数 f（x）的单调区间；（Ⅱ） 若 k＞0，且对于任意 x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数 k的取值范围；（Ⅲ） 设函数 F（x）=f(x)+f(-x)，求证：F（1）F（2）…F（n）＞ ? ?1 22 nne ? ? （n∈ N?）.
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《难 点 突 破》(答案)压轴题----函数与导数常考题型二、常考题型：题型一：恒成立求参数的最值或取值范围问题
2.解：（Ⅰ） 2 21( ln )''( ) ( 1)x x bxf x x x? ? ?? ?? ，由于直线 2 3 0x y? ? ? 的斜率为 12? ，且过点 (1,1)，故 (1) 1, 1''(1) ,2ff ???? ???? 即 1, 1,2 2ba b???? ? ???? 解得 1a ? ， 1b ? 。（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 ln 1f( ) 1xx x x? ?? ，所以 22ln 1 ( 1)( ) (2ln )1 1x xf x xx x x?? ? ?? ? .
考虑函数 ( ) 2lnh x x? ? 2 1( 0)x xx? ? ，则 2 2 22 21 2 ( 1) ( 1)''( ) .x x xh x x x x? ? ?? ? ??所以当 x ?1时， ''( ) 0h x ? ，而 h（1）=0，所以
22 2 2 2(1 ) (1 ) 1( )= (1 ) 1(1 )(1 )(0) 1, 1 11 12 1 ( ) ( 1), ( ) ,1 (1 )( ) 0 ( ) ( , 1),( 1, )1( , 1) ( ) xx x xa x ax axf x ex xax a x a exf a ax xf x e x f x ex xf x f xx f x? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ??? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ??? ?? ? ?1.解：（1）由已知 ，得（ ）由（） 则所以 ，因此,函数 在 上为减函数,当 时, 0, ( ) 11( 1, ) ( ) ( 1, )(0) 10 ( ) (0) 1;0 ( ) (0) 1.( ) 1 0.xx e f xxx f xfx f x fx f x ff x x x x? ? ??? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ?? 所以 成立.当 时,函数 在 上为减函数.又当 时，当-1 时，综合所述，满足 的 的取值范围为： -1或
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当 (0,1)x? 时， ( ) 0h x ? ，可得 21 ( ) 01 h xx ?? ；当 x?（1，+ ?）时， ( ) 0h x ? ，可得 21 ( ) 01 h xx ?? .从而当 0, 1x x? ?且 时， ln( ) ( ) 01x kf x x x? ? ?? ，即 ln( ) 1xf x x? ? .3．解：(1) ? ln(1 )( ) ( 0)xf x xx?? ? , ? 2ln(1 )1( ) ,x xxf x x? ??? ?设 ( ) ln(1 )( 0).1 xg x x xx? ? ? ???
2 2 21 1 1 (1 )( ) 0,(1 ) 1 (1 ) (1 )x x x xg x x x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ( )y g x? 在 (0, )?? 上为减函数, ? ( ) ln(1 ) (0) 01 xg x x gx? ? ? ? ?? ,? 2ln(1 )1( ) 0,x xxf x x? ??? ? ? ? ln(1 )( ) ( 0)xf x xx?? ? 在 (0, )?? 上为减函数.(2)(法一)： ln(1 )x ax? ? 在 (0, )?? 上恒成立 ln(1 ) 0x ax? ? ? ? 在 (0, )?? 上恒成立,设 ( ) ln(1 ) ,h x x ax? ? ? 则 (0) 0,h ? ? 1( ) ,1h x ax? ? ??
①若 0 1a? ? 时,则令 1( ) 0,1h x ax? ? ? ?? 得 1 1,x a? ?当 1(0, 1)x a? ? 时, ''( ) 0,h x ? ? ( ) ln(1 )h x x ax? ? ? 在 1(0, 1)a ? 上为增函数,则当 1(0, 1)x a? ? 时, ( ) ln(1 ) 0,h x x ax? ? ? ?故不能使 ln(1 )x ax? ? 在 (0, )?? 上恒成立②若 1a ? ，则当 ? ?0,x? ?? 时 '' 1( ) 01h x ax? ? ?? 恒成立，? ( ) ln(1 )h x x ax? ? ? 在 (0, )?? 上为减函数,?ln(1 ) (0) 0x ax h? ? ? ? 在 (0, )?? 上恒成立,?ln(1 )x ax? ?
在 (0, )?? 上恒成立.③若 0a ? 显然不满足条件.
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综上所述①②③：当 1a ? 时， ln(1 ) (0) 0x ax h? ? ? ? 在 (0, )?? 上恒成立.（法二）：若 0x ? 时，不等式 ln(1 )x ax? ? 恒成立，即 ：若 0x ? 时，不等式 ln(1 )x ax? ? 恒成立，也即: 若 0x ? 时， ln(1 )max xa x?? ?? ? ?? ?由（1）可知 ln(1 )( ) xf x x?? 在 (0, )?? 上为减函数.又 ? ?''''0 0 0ln( 1)ln( 1) 1lim lim lim 1( ) 1x x xxxx x x? ? ??? ? ? ?? （罗比特法则 00型），所以 1a ? ,即 a的取值范围是 ? ?+?1， .
4．解：（1）因为 1 ln( ) xf x x?? ，则 2ln( ) ( 0)xf x xx? ?? ?当 0 1x? ? 时， ( ) 0f x? ? ；当 1x ? 时， ( ) 0f x? ? ．所以 ( )f x 在 (0,1)上单调递增，在 (1, )?? 上单调递减．所以 ( )f x 在 1x ? 处取得极大值．因为 ( )f x 在区间 1( , )2a a? （其中 0a ? ）上存在极值，所以 11 12aa ???? ? ??? ，解得 1 12 a? ? ．
（2）不等式 2( ) 1k kf x x ?? ? ，即 2( 1)(1 ln )x x k kx? ? ? ? ．设 x xxxg )ln1)(1()( ??? ，则 2ln)( x xxxg ??? ．设 xxxh ln)( ?? ，则 xxh 11)( ??? ．因为 1x? ，所以 ( ) 0h x? ? ，则 ( )h x 在 [1, )?? 上单调递增．所以 ( )h x 得最小值为 (1) 1 0h ? ? ，从而 ( ) 0g x? ? ，故 ( )g x 在 [1, )?? 上单调递增，所以 ( )g x 得最小值为 (1) 2g ? ，所以 2 2k k? ? ，解得 1 2k? ? ? ．''5. ( ) 4 3, (1) 1,(1) 1, ( ) (1))1 ( 1)( 1), ( 1) 2 0.xf x e x f ef e y f x fy e e x e x y?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?解:( ) 则又 曲线 在点(1, 处的切线方程为即
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2 2 222 2 2225 5( ) ( ) ( 3) 1, 2 3 ( 3) 1,2 21 11 21, 1, .2 1 11 ( 1) 12 2( ) , ( ) ,1( ) ( 1) 1, ( ) ( 1).2 xxx x xx xf x x a x e x x x a xe xax e x x a xe x e x xg x g xx xx e x x x x e? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ??由 得即记 则记 则
min 11, ( ) 0, ( ) [1, ) ( ) (1) 0,23( ) 0, ( ) [1, ) ( ) (1) .23 3( ) ( ) , , ( , ].2 2x x x xg x g x g x g ea g x a g x a e a e? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? 在 上单调递增,在 上单调递增,由 恒成立,得 即 的取值范围是6. 解：（1）当 2a ? 时， 2( ) lnf x x xx? ? ，22''( ) ln 1f x xx?? ? ? ， (1) 2f ? ， ''(1) 1f ?? ，所以曲线 ( )y f x? 在 1x ? 处的切线方程为 3y x?? ? ；（2）存在 1 2, [0,2]x x ? ，使得 1 2( ) ( )g x g x M? ? 成立，等价于： 1 2 max[ ( ) ( )]g x g x M? ? ，
考察 3 2( ) 3g x x x? ? ? ， 2 2''( ) 3 2 3 ( )3g x x x x x? ? ? ? ，由上表可知： min max2 85( ) ( ) , ( ) (2) 13 27g x g g x g? ?? ? ? ，1 2 max max min 112[ ( ) ( )] ( ) ( ) 27g x g x g x g x? ? ? ? ，
所以满足条件的最大整数 4M ? ；
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（3）对 1, ,22s t ? ?? ?? ?? ? ， ( ) ( )f s g t? 恒成立 ?对 1,22x ? ?? ?? ?? ?上， min( )f x ? max( )g x ，因为 max( ) 1g x ? ，所以对 1,22x ? ?? ?? ?? ?， ( ) ln 1af x x xx? ? ? 恒成立 ? 2 lna x x x? ? 恒成立；记 2( ) lnh x x x x? ? ， ( ) 1 2 lnh x x x x? ? ? ? ， 注意到 (1) 0h? ? ；记 ( ) 1 2 lnm x x x x? ? ? ， ''( ) 3 2lnm x x?? ? ，由于 1,22x ? ??? ?? ?， ''( ) 3 2ln 0m x x?? ? ? ，
所以 ( ) ''( ) 1 2 lnm x h x x x x? ? ? ? 在 1,22? ?? ?? ?上递减，又 (1) 0h? ? ，当 1,12x ? ?? ??? ?时， ( ) 0h x? ? ， ? ?1,2x? 时， ( ) 0h x? ? ，即函数 2( ) lnh x x x x? ? 在区间 1,12? ???? ?上递增，在区间 ? ?1,2 上递减，所以 max( ) (1) 1h x h? ? ，所以 1a ? 。（3） 另解 ：对 1, ,22s t ? ?? ?? ?? ? ， ( ) ( )f s g t? 恒成立 ?对 1,22x ? ?? ?? ?? ?上， min( )f x ? max( )g x ，
由（2）知，在区间 1,22? ?? ?? ?上， max( ) 1g x ? ；又注意到 (1)f a? ，所以 1a ? .下证当 1a ? 时，在区间 1,22? ?? ?? ?上，函数 ( ) 1f x ? 恒成立，当 1a ? 且 1,22x ? ??? ?? ?时， 1( ) ln lnaf x x x x xx x? ? ? ? ，记 1( ) lnh x x xx? ? ， 21''( ) ln 1h x xx?? ? ? ， ''(1) 0h ?
当 1[ ,1)2x? ， 21''( ) ln 1 0h x xx?? ? ? ? ；当 (1,2]x? ， 21''( ) ln 1 0h x xx?? ? ? ? ，所以函数 1( ) lnh x x xx? ? 在区间 1[ ,1)2 上递减，在区间 (1,2]上递增，
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min( ) (1) 1h x h? ? ，即 ( ) 1h x ? ，所以当 1a ? 且 1[ ,2]2x? 时， ( ) 1f x ? 成立，即对 1, ,22s t ? ?? ?? ?? ? ， ( ) ( )f s g t? 恒成立.7.解：（I） ( ) (1 )x x xf x e xe x e? ? ? ? ? ，当 1??x 时， ( ) 0,f x? ? 所以 )(xf 在 )1,( ??? 内单调递减；当 1??x 时， ( ) 0,f x? ? 所以 )(xf 在 ),1( ??? 内单调递增.又 ''( ) 2 1,g x ax? ? 由 ''( 1) 2 1 0g a? ?? ? ? 得 12a ? .此时 21)1(2121)( 22 ????? xxxxg ，
显然 )(xg 在 )1,( ??? 内单调递减，在 ),1( ??? 内单调递增，故 12a ? .(II)由 )()( xgxf ? ，得 0)1()()( ????? axexxgxf x .令 1)( ??? axexF x ，则 ''( ) xF x e a? ? .0?x? ， ''( ) 1xF x e a a? ? ? ? ? .①若 1?a ，则当 )0( ???x 时， ''( ) 0F x ? ， )(xF 为增函数，而 0)0( ?F ，从而当 0)(,0 ?? xFx ，即 )()( xgxf ? ；②若 1?a ，则当 )ln,0( ax? 时， ''( ) 0F x ? ， )(xF 为减函数，而 0)0( ?F ，从而当 )ln,0( ax? 时 0)( ?xF ，即 )()( xgxf ? ，则 )()( xgxf ? 不成立.
综上， a的取值范围为 ]1,(?? .8.【解】（Ⅰ）令 ( ) ( ) ( ) 1,xh x f x g x e x? ? ? ? ? 则 ''( ) 1,xh x e? ?令 ''( ) 0,h x ? 得 0,x ? 当 0,x? ''( ) 0h x ? ；当 0,x ? ''( ) 0h x ?? ( )h x 在 ( ,0)?? 上单调递减, 在 (0, )?? 上单调递增；故当 0x ? 时 ( )h x 有最小值，也是唯一的极值点；?当 0x ? 时 ( )h x 有最小值 (0) 0h ? ,当 0x ? 时 ( ) 0h x ? ,故函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x? ? 有唯一的零点 0x ? ，
即 ( ) ( )f x g x? 有唯一的零点 0x ? .
14
（Ⅱ）令 ( ) ( ) 1 ,1axF x f x x? ? ? ? 则( ( ) 1)( 1) ( 1)( 1)( ) ,1 1xf x x ax e x axF x x x? ? ? ? ? ?? ?? ?令 ( ) ( 1)( 1)xH x e x ax? ? ? ? ，则 ''( ) (2 ) 1xH x e x a? ? ? ? ，令 ( ) (2 ) 1xx e x a? ? ? ? ? ，则 ''( ) (3 ) 0xx e x? ? ? ? ，? ( )x? 在 [0, )?? 上单调递增，即 ''( )H x 在 [0, )?? 上单调递增，? '' ''( ) (0) 1H x H a? ? ? .
1 当 1a ? 时 ， 则 ''( ) 0H x ? ， 故 ( )H x 在 [0, )?? 上 是 不 减 函 数 ，? ( ) (0) 0H x H? ? ， ? ( ) ( ) 1 01axF x f x x? ? ? ?? .2 当 1a ? 时 , 则 ''(0) 1 0H a? ? ? ,又 ''( )H x 在 [0, )?? 上 单 调 递 增 ，故存在区间 0(0, )x 使得 ''( ) 0H x ? ， ( )H x 单调递减，使得 ( ) (0) 0H x H? ? ,即存在区间 0(0, )x 使得 ( ) 0F x ? ，显然与 ( ) 1 1axf x x? ? ? 恒成立相矛盾.综上可得 1a ? .
(法二) ①当 1a ? 时，由（Ⅰ）知，当 0x? 得 1xe x? ? .( 1 )( ) 1 1 0.1 1 1 1xax ax ax x x af x e xx x x x? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?9．【解】(1)f′(x)＝ 2 23 6 3 ( ).ax x ax x a? ? ?令 f′(x)＝0，解之得 x＝0 或 x＝ 2a? ．当 0a ? 时，随 x 的变化，f′(x)与 f(x)的变化情况如下：
15
∴ f(x) 极小值 ＝f(0)＝1，f(x) 极大值 ＝f( 2a? )＝ 24a ＋1.（2）由 2( ) 3 6f x ax x? ? ? ， 1( ) ( ) (2 1) 13h x f x a x?? ? ? ? ，∴ 2( ) (2 1) 1h x ax a x? ? ? ? ， ? ?1, ,( 1)x b b? ? ?? ，当 1 x b? ? ? 时，令 2 (2 1) 1 0ax a x? ? ? ? ，…………①由 ? ?, 1a? ?? ? ，∴ ( )h x 的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又 ( 1) 0h a? ?? ? ，∴不等式①恒成立的充要条件是 ( ) 0h b ? ，
即 2 (2 1) 1 0ab a b? ? ? ? ，∵ 1b ?? ，∴ 1 0b? ? ，且 0a ? ，∴ 2 2 11b bb a? ??? ，若 ? ?, 1a? ? ?? ? ，使关于 a的不等式 2 2 11b bb a? ??? 成立，则须 2 max2 1( )1b bb a? ? ?? ，即 2 2 11b bb? ?? ， 2 1 0b b? ? ? ，∴ 1 5 1 52 2b? ? ? ?? ? ，又 1b ?? ，故 1 51 2b ? ?? ? ? ，从而 max 1 52b ? ?? ．
max 21( ) (1) .2 3(2) 0 ( ) ln ( ) [0, ], (1, ] ,2f x fb f x a x f x m x a x e? ? ??? ? ? ? ? ?当 时， 若不等式 对所有的 都成立
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11.解：（1） ( ) 21 af x x aax? ? ? ?? ,由 1( ) 02f? ? 得 2 2 0a a? ? ? ，解之得： 2.a ?（2）当 0 2a? ? 时，若 ( )f x 在 1[ , )2 ?? 上是增函数，则须 ( ) 0f x? ? 在区间 1[ , )2 ?? 上恒成立，21 2 02ax x a?? ? ?即当 时， 恒成立2 ， 21 2 (2 )( 1)0 2 02 2 2a a aa a a? ? ?? ? ? ??当 时，－ ，21 2 10. ( ) 0, ( ) [ , ) .2 2ax x f x f xa? ?? ? ? ? ? ? ??当 时， 故 在 上是增函数2
22''(3) (1,2) ,1 (1) ln( ) 1 ,1 1(1,2), ln( ) 1 ( 1) 02 21 1( ) ln( ) 1 ( 1),(1 2)2 21( ) 1 2 [2 (1 2 )].1 10 2 (1 2 )a f f a aa a a m ag a a a m a aag a ma ma ma am ma m ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 1 1 1当 时，由(2)知 (x)在 的最大值为 2 2 2于是问题等价于:对于任意的 不等式 恒成立.记则1)当 时， ''0 ( ) 0, ( )g a g a? ? ?， 在区间(1,2)上递减,''
''( ) (1) 0,0 ( ) 02 10 , ( ) [ ( 1)].1 21 11 1, ( ) min 2, 1 )2 2( ) (1) 0, ( ) 01 1 1, ( ) 0, ( ) (1,2)2 g a gm g amam g a aa mg am mg a g g ag a g am ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ? ?此时 当 时不可能使 恒成立.2)当 时若 可知 在区间(1, 上递减,在此区间上,有 与 恒成立矛盾;若 这 时 , 在 上 递 增 ,''1 1 1, ( ) 0, ( ) (1,2)2 g a g am ? ? ?若 这时, 在 上递增,
17
0 1( ) (1) 0, , ,1 41 121m [ , ).4 mg a g mm ???? ? ? ?? ? ?????恒有 满足题设要求， 即所以，实数 的取值范围为12.解：（1）当 3??a 时， ? ? 3 24 3f x x x? ? ? x， ? ? 23 8 3f x x x? ? ? ? ，当 ? ?1,1x? ? 时， ? ?f x? 是单调增函数，在 ? ?1,1? 上，由 ? ? 0f x? ? ，得 1=3x ；
在 11,3? ??? ?? ?上 ( )f x? ＜0， ( )f x 为减函数；在 1,13? ?? ?? ?上 ( )f x? ＞0， ( )f x 为增函数.由上得出在 ? ?1,1? 上， ( )f x 不是单调函数.（2）在 ? ?0,2 上 ? ? 19 16 3g x x? ? 是增函数，故对于 ? ?2 0,2x ? ， ? ?2 1,63g x ? ?? ?? ?? ? .设 ? ? ? ? ? ? ? ?21 1 1 1 1 12 3 2 2 , 1,1h x f x ax x x a a x?? ? ? ? ? ? ? ? .? ?1 16 2h x x? ? ? ，由 ? ?1 0h x? ? ，得 1 1=-3x .要使对于任意的 ? ?1 1,1x ? ? ，存在 ? ?2 0,2x ? 使得 ? ? ? ?1 2h x g x? 成立，只需在 ? ?1,1? 上，? ?
11 63 h x? ? ? .在 11, 3? ?? ?? ?? ?上 ? ?1'' 0h x ? ,在 1,13? ??? ?? ?上 ? ?1'' 0h x ? ，所以 1 1=-3x 时， ? ?1h x 有极小值 21 1 23 3h a a? ?? ?? ? ?? ?? ? .又 ? ? ? ?2 21 1 2 , 1 5 2h a a h a a? ? ? ? ? ? ? ，因为在 ? ?1,1? 上 ? ?1h x 只有一个极小值，故 ? ?1h x 的最小值为 21 23 a a? ? ? .22 21 2 6,5 2 6,1 12 ,3 3a aa aa a?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ???
， 解得 02 ??? a .13.解：（ 1） ( ) ln 2 ln ,xf x a a x a? ? ? ?
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1a ??当 时，总有 ''( )f x 在 R上是增函数，又 ''(0) 0f ? ，所以不等式 ''( ) 0f x ? 的解集为 (0, ),??故函数 ( )f x 的单调增区间为 (0, ).??（ 2）若存在 ? ?1 2, 1,1 ,x x ? ? 使得 1 2( ) ( ) 1f x f x e? ? ? 成立,则只需：当 ? ?1,1 ,x? ? 时 使得 max min( ) ( ) 1f x f x e? ? ? 即可.''( )f x ， ( )f x 随 x的取值变化情况如下表：x ? ?,0?? 0 ? ?0,??
''( )f x _ 0 +( )f x 减函数 极小值 增函数由上表可知： ( )f x 在 ? ? ? ?1,0 0,1? 上是单调减函数, 上是单调增函数，所以 min m n( ) (0) 1, ( ) ( 1) (1) .af x f f x f f? ? ?为 和 中的最大值1 1(1) ( 1) ( 1 ln ) ( 1 ln ) 2ln ,f f a a a a aa a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? '' 2
21( ) 2ln ( 1),1 2 1( ) 1 (1 ) 0,g a a a aag a a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ??令 1( ) 2lng a a aa? ? ? ? ?在(1,+ )上是增函数.又 (1) 0g ? ，故当 1a ? 时 ， ( ) 0, (1) ( 1).g a f f? ? ?即所以 max min( ) ( ) (1) (0) 1, ln 1,f x f x f f e a a e? ? ? ? ? ? ? ?即令函数 '' 1 1( ) ln , 1 1 0,ah a a a a y a a?? ? ? ? ? ? ?当 时，所以函数 ( ) lnh a a a? ? 在 (1, )a? ?? 上是增函数，又 ( ) 1h e e? ? ，所以 .a e?
综上，所求 a的取值范围为 ? ?, .e ??14.解 :(Ⅰ ) ''( ) ( 1) 2mxf x m e x? ? ? ．若 0m? ，则当 ( ,0)x? ?? 时， 1 0mxe ? ? ， ''( ) 0f x ? ；当 (0, )x? ?? 时， 1 0mxe ? ? ，
19
''( ) 0f x ? ；若 0m? ，则当 ( ,0)x? ?? 时， 1 0mxe ? ? ， ''( ) 0f x ? ；当 (0, )x? ?? 时，1 0mxe ? ? ， ''( ) 0f x ? ．所以， ( )f x 在 ( ,0)?? 单调递减，在 (0, )?? 单调递增．（Ⅱ）由 (Ⅰ )知，对任意的 m， ( )f x 在 [ 1,0]? 单调递减，在 [0,1]单调递增，故 ( )f x 在 0x?处取得最小值．所以对于任意 1 2, [ 1,1]x x ? ? ， 1 2( ) ( ) 1f x f x e? ? ? 的充要条件是：(1) (0) 1,( 1) (0) 1,f f ef f e? ? ??? ? ? ? ?? 即 1,1,mme m ee m e?? ? ? ??? ? ? ??? ①，
设函数 ( ) 1tg t e t e? ? ? ? ，则 ''( ) 1tg t e? ? ．当 0t ? 时， ''( ) 0g t ? ；当 0t ? 时， ''( ) 0g t ? ．故 ( )g t 在 ( ,0)?? 单调递减，在 (0, )?? 单调递增．又 (1) 0g ? ， 1( 1) 2 0g e e?? ? ? ? ? ，故当 [ 1,1]t? ? 时， ( ) 0g t ? ．所以当 [ 1,1]m? ? 时， ( ) 0g m ? ， ( ) 0g m? ? ，即①式成立．当 1m? 时，由 ( )g t 的单调性， ( ) 0g m ? ，即 1me m e? ? ? ；当 1m?? 时， ( ) 0g m? ? ，即 1me m e? ? ? ? ．综上， m的取值范围是 [ 1,1]? ．
15．解：（1） 1,)1()('' 22 ??? ???? xx axxxf ．当 41?a 时， 0)('' ?xf ，所以 )(xf 在 ),1( ??? 上单调递减．当 410 ?? a 时，令 0)('' ?xf 可得 2 4112 411 axa ???????? ；令 0)('' ?xf 可得 2 4111 ax ?????? 或 2 411 ax ???? ．所 以 )(xf 在 )2 411,2 411( aa ?????? 上 单 调 递 增 ， 在 )2 411,1( a???? ，),2 411( ????? a
上单调递减．
20
（ 2 ） 原 式 等 价 于 12)1ln()1( ????? xxxax ， 即 存 在 0?a ， 使 当 0?x 时x xxxa 12)1ln()1( ????? 恒成立．设 0,12)1ln()1()( ?????? xx xxxxg ，则 0,)1ln(1)('' 2 ????? xx xxxg ，设 0),1ln(1)( ????? xxxxh ，则 0111)('' ???? xxh ，所以 )(xh 在 ),0( ?? 上单调递增．又 0)3(,0)2( ?? hh ，根据零点存在性定理，可得 )(xh 在 ),0( ?? 上有唯一零点，设该零点为 0x ，则 )1ln(1 00 ??? xx ，且 )3,2(0 ?x ， 212)1)(1()( 0
0 000min ???????? xx xxxxg ，又 Zaxa ??? ,20 ，所以 a的最小值为 5．16. 解：（1） 当 1 , ( ) , 1 .1xx f x xx?? ? ? ?? x时 当且仅当e令 ''( ) 1 , ( ) 1.g x x g x? ? ? ? ?x xe 则 e当 ? ?''0 , ( ) 0, ( ) 0, ;x g x g x? ? ??时 在 上是单调增函数当 ? ?0 , ( ) 0, ( ) ,0x g x g x?? ? ??时 在 上是单调减函数.于是 ( ) 0 ( ) (0), 1 .xg x x x R g x g e x? ? ? ? ?在 处达到最小值,因而当 时, 即所以当当 1 , ( ) .1xx f x x?? ? ?时
（2）由题设 0, ( ) 0.x f x? ?此时当 10 , , 1xa x a ax? ?? ??时 若 则 0, ( ) 1xf x ax? ? 不成立;当 0 , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 0.1xa h x axf x f x x f x h xax? ? ? ? ? ??时 令 则 当且仅当'' '' ''( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ).h x af x axf x f x af x axf x ax f x? ? ? ? ? ? ? ?①当 10 , ( 1) ( ).2a x x f x? ? ? ?时由(1)可知''( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) (2 1) ( ) 0,h x af x axf x a x f x f x a f x? ? ? ? ? ? ? ?故 ? ?( ) 0, ( ) (0) 0.h x h x h?? ? ?在 上是减函数, 即 ( ) .1xf x ax? ?
②当 1 ,2a ? 时 易证 ? ?( ) 1 1x xx f x e x x e? ?? ?? ? ? ?由 得 ，所以
21
''( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )(2 1 ) ( ).h x af x axf x ax f xaf x axf x af x f xa ax f x? ? ? ?? ? ? ?? ? ?当 ''2 10 , ( ) 0,ax h xa?? ? ?时 ( ) (0) 0, ( ) .1xh x h f x ax? ? ? ?所以 即综上， a的取值范围是 10, .2? ?? ?? ?17.解： (1) '' 2( ) ( 1) 1xf x e x? ? ? ,记 2( ) ( 1) 1,xh x e x? ? ? 则 '' 2( ) ( 2 1),xh x e x x? ? ?
当 (1, )x? ?? 时， ''( ) 0h x ? 恒成立, ( )h x? ?在(1,+ )上是增函数.2(1) 1 0, (2) 3 1 0,h h e?? ? ? ? ??又 0 00 00 0(1,2) ( ) 0,(1, ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0.( ) (1, ) ( , )x h xx x h x x x h xf x x x?? ? ?? ? ? ?? ?? ??使当 时， 当 时，在 上单调递减；在 上单调递增. 020(1) 1 0, ( ) (1) 1 0,(2) 2 0,( ) ( , )( ) (1, )f f x ff ef x xf x?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ????又又 在 上有且只有一个零点.综上所述 在 上有且只有一个零点.
0 00 2 20 0 0 0 0 0(2) ( ) ( )( ) ( 1) ( ) ( 1) 1 0(1 2).x xf x f xf x x e x h x e x x? ? ? ? ? ? ? ?由(1)可知 是 的唯一一个极小值点，也是唯一一个最小 值点，且 - 且 22 00 0 0 020 0 01 1 2( ) ( 1) ( 1) 2 ,1 1 1xf x x x xx x x? ??? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?0 051 2, ( ) 1.3x f x? ? ?? ? ???故 ( ) (1, ) ,k k f x k? ??为整数,且不等式 在 上恒成立时 的最大值为-2.18.解: (Ⅰ) ? ?f x 的定义域为 R , ? ? xf x e a? ? ? ;若 0a ? ,则 ? ? 0f x? ? 恒成立,所以 ? ?f x 在 R 总是增函数
若 0a ? ,令 ? ? 0f x? ? ,求得 lnx a? ,所以 ? ?f x 的单增区间是 ? ?ln ,a ?? ;令 ? ? 0f x? ? , 求得 lnx a? ,所以 ? ?f x 的单减区间是 ? ?,lna??
22
(Ⅱ) 把 ? ?1 xaf x e a???? ? ? ??? 代入 ? ? ? ? 1 0x k f x x?? ? ? ? 得: ? ?? ?1 1 0xx k e x? ? ? ? ? ,因为 0x ? ,所以 1 0xe ? ? ,所以: ? ?? ?1 1xx k e x? ? ?? ? , 11xxx k e? ?? ? ? ,11xxk x e ?? ? ? ,所以: 1 ( 0) ()1xxk x xe ?? ? ?? ?令 ? ? 11xxg x xe ?? ?? ,则 ? ? ? ?? ?2 21x xxe e xg x e ? ?? ? ? ,由(Ⅰ)知: ? ? ? ?2xh x e x? ? ? 在 ? ?0,?? 单调递增,而 ? ?? ?1 02 0hh ???? ??? ,
所以 ? ?h x 在 ? ?0,?? 上存在唯一零点 ? ,且 ? ?1,2?? ;故 ? ?g x? 在 ? ?0,?? 上也存在唯一零点且为 ? ,当 ? ?0,x ?? 时, ? ? 0g x? ? ,当? ?,x ?? ?? 时 , ? ? 0g x? ? , 所 以 在 ? ?0,?? 上 , ? ? ? ?ming x g ?? ; 由 ? ? 0g ?? ?得: 2e? ?? ? ,所以 ? ? 1g ? ?? ? ,所以 ? ? ? ?2,3g ? ? ,由于()式等价于 ? ?k g ?? ,所以整数的最大值为 2．题型二：导数与函数的切线问题19．解（ 1）因为 ( ) ln 1f x x? ? ? ，由 ''( ) 0f x ? ，得 1x e? ,
所以 ( )f x 的单调增区间为 1( , )e ?? ，又当 1(0, )x e? 时， ( ) 0f x? ? ，则 ( )f x 在 1(0, )e 上单调减，当 1( , )x e? ?? 时， ( ) 0f x? ? ，则 ( )f x 在 1( , )e ?? 上单调增，所以 ( )f x 的最小值为 1 1( )f e e?? ．（ 2）因为 ( ) ln 1f x x? ? ? ， 2 1( ) 3 2g x ax? ? ? ，设公切点处的横坐标为 x?，则与 ( )f x 相切的直线方程为： (ln 1)y x x x? ? ?? ?，与 ( )g x 相切的直线方程为： 2 31 2(3 ) 22 3y ax x ax e? ? ? ?? ? ，
所以 23 1ln 1 3 ,222 ,3x axx ax e? ? ? ????? ? ?? ??? ? ?? ? 解之得 1lnx x e??? ? ，由（ 1）知 1x e?? ，所以 26ea ? ．
23
（ 3） （ 提 示 ： 参 考 函 数 ( )f x 图 象 ， 如 图 ， 定 义 域 为(0, )?? ， 经 过 点 ? ?1,0 ， 二 阶 导 数 '''' 1( ) 02f x ? ? 故是 单 凹 函 数 ， 极 值 点 为 1e ） .当直线 1l 过点 2 2( ,2 )e e 时， 2k ? ；因为函数 ( )f x 的图象恰好位于两条平行直线之间，所以 2k ? ；若 1l 与 2l 间的距离最小，则 2l 与函数 ( )f x 的图象必相切，设切点的横坐标为 x?，则 ln 1k x? ?? ，由 2k ? 可得 x e?? （当且仅当 2k ? 时等号成立） .因为 2 :l (ln 1)y x x x? ? ?? ? ， 1:l (ln 1)y x x? ?? ，且 x e?? ，所以 1l 与 2l 间的距离
21 (ln 1)xd x? ? ?? ? ；令 ( ) ln [(ln 1) ]h x x x x x x? ? ? ?? ? ，因为 ( ) ln 1 ln 1 ln lnh x x x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ，所以当 x x? ?时， ( ) 0h x? ? ，则 ( )h x 在 (0, )x? 上单调减；当 x x? ? 时， ( ) 0h x? ? ，则 ( )h x 在 2( , )x e? 上单调增，所以 ( )h x 有最小值 ( ) 0h x ?? ，即函数 ( )f x 的图象均在 2l 的上方，令 22( ) ln 2ln 2xt x x x? ? ? ，则
2 22 2 2 22 ln 4 ln 4 2 ln 2 2 ln 2 ln 2( ) (ln 2ln 2) (ln 2ln 2)x x x x x x x x x x x x xt x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ，当 x e? 时， ( ) 0t x? ? ，所以当 x e? 时， ( ) ( )t x t e? ，所以当 d 最小时， x e?? ，此时 m e?? ．20.解：函数 ( ) ln( ) .f x x a ax? ? ? 的定义域为 1( , ), ( ) .a f x ax a??? ? ??当 0a ? 时，在区间 ( , )a ?? 上有 ( ) 0f x? ? , ( )f x 单调递增,无极值;当 0a ? 时，令 1( ) 0f x ax a? ? ? ?? 得: 1,x a a? ?
当 1( , )x a a a? ? 时, ''( ) 0f x ? ，函数 ( )f x 单调递增;
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当 1( , )x a a? ? ?? 时, ''( ) 0f x ? ，函数 ( )f x 单调递减,所以函数 ( )f x 的极大值为 21( ) ln( ) 1( 0),f a a a aa? ?? ? ? ? ? 无极小值.（ 2）由（ 1）知 ,当 ( , 1)a? ?? ? 时 , 2'' 2 1, , ,1( ) ( ) 1, ( , ).a a x a ax a ag x a f x a ax a a a x ax a a? ? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ??若函数图象上存在符合要求的两点 ,则必须 : 1 211 6,x a xa? ? ? ? ? ?
得: 1 5 3 10.2 a? ? ? ? ?当 1,x a a a? ?? ?? ?? ? 时 , 2( ) ag x ax a? ?? ,函数在点 1P 处的切线斜率为 ? ?1 21 ak x a?? ? ;1( , )x a a? ? ?? 时 , 2( ) ag x ax a?? ?? ,函数在点 2P 处的切线斜率为 ? ?2 22 ak x a? ? ,由函数图象在两点处切线互相垂直得: ? ? ? ?2 21 2[ ] [ ] 1a ax a x a? ? ??? ? ,即 ? ? ? ?2 2 21 2x a x a a? ? ? ? .
因为 1 210 1 6 ,a x a x a aa?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ?1 2x a x a a? ? ? ?? ,所以 1( 1 ) ,1(6 ) ,a aa a aa?? ? ? ??????? ? ???? 得 3 2.a? ? ?综上所述所求 a的取值范围是 1 5( , 1).2? ? ? 20 0 0 00 0 3 2 0 03 2
3 2 0 0( )( 4 5),( ), 1 2 5 ( )1 32 5 ,31 2 ( 5) ( ) 0,3 l y y k x x k x xy y k x x x x x k x x yy x x xx x k x y kx? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?21.解:切线的方程为: 其中联立 得 ，整理得:
25
3 2 0 0 0'' 22 '' 2 2 2 ''0 0 0 0 0 01( ) 2 ( 5) ( ), ( ) 03 ( ) 4 ( 5) =16 4 5)=4 9 ),4 5, ( ) 4 4 , 4( 2) 0, ( ) 0,g x x x k x y kx g xg x x x k k kk x x g x x x x x x g x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?令 易知 ，求导可得： ， （ （ 显然''0 03 2 0 0 0 0''1 0 2 0
0 1 0 2 0 20 1 46(1) 0 2 ( ) 0,32 ( 5) ( ) 0 2,9.(2) 0, 9, ( ) 0,2 9 2 2, 2 9 2 2,2 , 4 ,2 4x y g xx x k x y kx xk k g xx k x x k xx x x x x x x xx x x? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ??? ?? ???若 ，即 ， 时，1所以方程 只有唯一实根 符合题意,3此时 若 即 令记 当 时, 使g( )=0;当 时,???? 0 2 0 1, ,0, 9 ( ) x x x x xk g x ? ? ?? ?? 使g( )=0,所以当 即 时, 有两个零点,所以不合题意.9.k ?综上所述,22.解：（I）由于 ''( ) 2 ,xf x e ax e? ? ? ，曲线 ( )y f x? 在点 (1, (1))f 处切线斜率 2 0k a? ? ，所以 0a ? ，即 ( ) xf x e ex? ? .此时 ''( ) xf x e e? ? ，由 ''( ) 0f x ? 得 1x ? .当 ( ,1)x? ?? 时，有 ''( ) 0f x ? ；当 (1, )x? ?? 时，有 ''( ) 0f x ? .所以 ( )f x 的单调递减区间为 ( ,1)?? ，单调递增区间为 (1, )?? ．（II）设点 0 0( , ( ))P x f x ，曲线 ( )y f x? 在点 P 处的切线方程为:'' 0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x? ? ? ，
令 '' 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( )g x f x f x x x f x? ? ? ? ，故曲线 ( )y f x? 在点 P 处的切线与曲线只有一个公共点 P 等价于函数 ( )g x 有唯一零点．因为 0( ) 0g x ? ，且 0'' '' '' 0 0( ) ( ) ( ) 2 ( )xxg x f x f x e e a x x? ? ? ? ? ? ．①若 0a ? ，当 0x x? 时， ''( ) 0g x ? ，则 0x x? 时， 0( ) ( ) 0g x g x? ? ；当 0x x? 时， ''( ) 0g x ? ，则 0x x? 时， 0( ) ( ) 0g x g x? ? .故 ( )g x 只有唯一零点 0x x? .由于 0x 具有任意性，不符合 P 的唯一性，故 0a ? 不合题意．②若 0a ? ，令 0 0( ) 2 ( )xxh x e e a x x? ? ? ? ，则 0( ) 0h x ? ， ''( ) 2xh x e a? ? .令 ''( ) 0h x ? ，得 ln( 2 )x a? ? ，记 ln( 2 )x a? ? ? ，则当 x∈(－∞，x
)时， ''( ) 0h x ? ，从而( )h x 在(－∞，x )内单调递减；当 x∈(x ，＋∞)时， ''( ) 0h x ? ，从而 ( )h x 在(x ，＋∞)内单调递增． (i)若 0x x?? ，由 x∈(－∞，x )时， ''( ) ( ) ( ) 0g x h x h x?? ? ? ； x∈(x ，＋∞)时，''( ) ( ) ( ) 0g x h x h x?? ? ? .知 ( )g x 在 R 上单调递增．所以函数 ( )g x 在 R 上有且只有一个零点 x x?? .(ii)若 0x x?? ，由于 ( )h x 在(x
，＋∞)内单调递增，且 0( )h x ＝0，则当 x ∈(x ，x 0)时有 '' 0( ) ( ) ( ) 0g x h x h x? ? ? ， 0( ) ( ) 0g x g x? ? ；任取 x∈(x ，x 0)有 ( ) 0g x ? .
26
又当 x∈(－∞，x )时，易知 2 '' ''0 0 0 0( ) ( ( )) ( ) ( )xg x e ax e f x x f x x f x? ? ? ? ? ? ，因为 x xe e ?? ，所以 2 '' '' 20 0 0 0( ) ( ( )) ( ) ( )xg x e ax e f x x f x x f x ax bx c?? ? ? ? ? ? ? ? ? ，其中 '' 0( ( ))b e f x?? ? ， ''0 0 0( ) ( )xc e f x x f x?? ? ? ．由于 0a ? ，则必存在 1x x?? ，使得 21 1 0ax bx c? ? ? .所以 1( ) 0g x ? ，故 ( )g x 在 1( , )x x? 内存在零点．即 ( )g x 在 R 上至少有两个零点．(iii)若 0x x?? ，易证 ( ) 0g x? ? ；因为 36x xe ? ，所以 3 2 '' ''0 0 0 0( ) ( ( )) ( ) ( )6xg x ax e f x x f x x f x? ? ? ? ? ? ，而当 x x?? 时，总存在 x∈(x
，+∞)使 3 2 '' ''0 0 0 0( ( )) ( ) ( ) 06x ax e f x x f x x f x? ? ? ? ? ? ,此时 ( ) 0g x ? ，故 ( )g x 在(x ，+∞)上存在零点，所以 ( )g x 在 R上至少有两个零点．综上所述，当 0a ? 时，曲线 ( )y f x? 上存在唯一点 (ln( 2 ), (ln( 2 ))P a f a? ? ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P .题型三：导数与函数的零点及零点关系问题23.解：（I）由已知 ''( )f x ＝ a (sin cos )x x x? ，对于任意 x∈ 0， π2 ，有 sin cosx x x? ＞0.当 a＝0 时， ( )f x ＝－ 32，不合题意；
当 a＜0，x∈ 0， π 2 时， ''( )f x ＜0，从而 ( )f x 在 0， π 2 内单调递减，又 ( )f x 在 0， π2 上的图象是连续不断的，故 ( )f x 在 0， π2 上的最大值为 f(0)＝－ 32，不合题意；当 a＞0，x∈ 0， π 2 时， ''( )f x ＞0，从而 ( )f x 在 0， π 2 内单调递增，又 ( )f x 在 0， π2 上的图象是连续的，故 ( )f x 在 0， π2 上的最大值为 f π 2 ，即 π 2 a－ 32＝ 32? ? ，解得 a＝1.综上所述，得 ( )f x ＝ sinx x－ 3
2.（II） ( )f x 在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下： 由（1）知， ( )f x ＝ sinx x－ 32，从而有 (0)f ＝－ 32＜0. ( )2f ? ＝ 32? ? ＞0，又 ( )f x 在 [0, ]2? 上的图象是连续不断的，所以 ( )f x 在 (0, )2? 内至少存在一个零点．又由（1）知 ( )f x 在 [0, ]2? 上单调递增，故 ( )f x 在 (0, )2? 内有且仅有一个零点．
27
当 x∈ [ , ]2? ? 时，令 ( )g x ＝ ''( )f x ＝ sin cosx x x? .由 ( )2g ? ＝1＞0， ( )g ? ＝－π＜0，且 ( )g x 在 [ , ]2? ? 上的图象是连续不断的，故存在m ∈ ( , )2? ? ，使得 ( )g m ＝0.由 ''( )g x ＝ 2cos sinx x x? ，知 x∈ ( , )2? ? 时，有 ''( )g x ＜0，从而 ( )g x 在 ( , )2? ? 内单调递减．当 x∈ ( , )2 m? 时， ( )g x ＞ ( )g m ＝0，即 ''( )f x ＞0，从而 ( )f x 在 ( , )2 m? 内单调递增，故当 x∈ [ , ]2 m? 时， ( )f x ≥ ( )2f ? ＝ 32? ? ＞0，故 ( )f x 在 [ , ]2 m? 上无零点；
当 x∈( m ，π)时，有 ( )g x ＜ ( )g m ＝0，即 ''( )f x ＜0，从而 ( )f x 在( m ，π)内单调递减．又 ( )f m ＞0， ( )f ? ＜0，且 ( )f x 在[ m ， ? ]上的图象是连续不断的，从而 ( )f x 在( m ，? )内有且仅有一个零点．综上所述， ( )f x 在 (0 ， ? )内有且只有两个零点．24.解： （Ⅰ）由 ( ) xf x x ae= - ，可得 ( ) 1 xf x ae￠ = - .下面分两种情况讨论： （1） 0a￡ 时， ( ) 0f x￠ > 在 R 上恒成立，可得 ( )f x 在 R 上单调递增，不合题意.（2） 0a> 时，由 ( ) 0f x￠ = ，得 lnx a=- .
当 x变化时， ( )f x￠ ， ( )f x 的变化情况如下表：x ( ), lna-￥ - lna- ( )ln ,a- +￥( )f x￠ ＋ 0 －( )f x ↗ ln 1a- - ↘这时， ( )f x 的单调递增区间是 ( ), lna-￥ - ；单调递减区间是 ( )ln ,a- +￥ .于是，“函数 ( )y f x= 有两个零点”等价于如下条件同时成立：
1° ( )ln 0f a- > ；2°存在 ( )1 , lnas ? -￥ - ，满足 ( )1 0f s < ；3°存在 ( )2 ln ,as ? - +￥ ，满足 ( )2 0f s < .由 ( )ln 0f a- > ，即 ln 1 0a- - > ，解得 10 a e-< < ，
28
而此时，取 1 0s = ，满足 ( )1 , lnas ? -￥ - ，且 ( )1 0f s a=- < ；取 2 2 2lns a a= + ，满足 ( )2 ln ,as ? - +￥ ，且 ( ) 2 22 2 2ln 0a af s e ea a= - + - < .所以， a的取值范围是 ( )10,e- .（Ⅱ） 证明： 由 ( ) 0xf x x ae= - = ，有 xxa e= .设 ( ) xxg x e= ，由 ( ) 1 xxg x e-￠ = ，知 ( )g x 在 ( ),1-￥ 上单调递增，在 ( )1,+￥ 上单调递减.并且，当 ( ],0x? -￥ 时， ( ) 0g x ￡ ；当 ( )0,x? +￥ 时， ( ) 0g x > .
由已知， 1 2,x x 满足 ( )1a g x= ， ( )2a g x= . 由 ( )10,a e-? ，及 ( )g x 的单调性，可得( )1 0,1x ? ， ( )2 1,x ? +￥ .对于任意的 ( )11 2 0, ,a a e-? ，设 1 2a a> ， ( ) ( )1 2 1g g ax x= = ，其中 1 20 1x x< < < ；( ) ( )1 2 2g g ah h= = ，其中 1 20 1h h< < < .因为 ( )g x 在 ( )0,1 上单调递增，故由 1 2a a> ，即 ( ) ( )1 1g gx h> ，可得 1 1x h> ；类似可得2 2x h< .
又由 1 1, 0x h > ，得 2 2 21 1 1x h hx x h< < .所以 21xx 随着 a的减小而增大.（Ⅲ）证明：(法一)由 11 xx ae= ， 22 xx ae= ，可得 1 1ln lnx a x= + ， 2 2ln lnx a x= + .故 22 1 2 1 1ln ln ln xx x x x x- = - = .设 21x tx = ，则 1t > ，且 2 12 1 , ln ,x txx x tì =??í? - =?? 解得 1 ln1tx t= - ， 2 ln1t tx t= - .所以，( )1 2 1 ln1t tx x t++ = - . ①
令 ( ) ( )1 ln1x xh x x+= - ， ( )1,x? +￥ ，则 ( ) ( )2 12ln 1x x xh x x- + -￠ = - .
29
令 ( ) 12lnu x x x x=- + - ，得 ( ) 21xu x x- ÷?￠ = ÷? ÷? .当 ( )1,x? +￥ 时， ( ) 0u x￠ > .因此， ( )u x 在 ( )1,+￥ 上单调递增，故对于任意的 ( )1,x? +￥ ， ( ) ( )1 0u x u> = ，由此可得 ( ) 0h x￠ > ，故 ( )h x 在 ( )1,+￥ 上单调递增,因此，由①可得 1 2x x+ 随着 t的增大而增大.而由（Ⅱ）知， t随着 a的减小而增大，所以 1 2x x+ 随着 a的减小而增大.
(法二) 由 11 xx ae= ， 22 xx ae= ，可得 1 21 2 ( )x xx x a e e- = - ，即 1 21 2x xx xa e e-= - .要证明 1 2 2x x+ > ，只需证明 1 2( ) 2x xa e e+ > ，即证： 1 21 21 2( ) 2x xx xe ex x e e+- >- ，不妨设 1 2x x> ，记 1 2t x x? ? ，则 0, 1tt e? ? ，因此只要证明： 1 21ttet e +× >- ，即证 ? ?2 2 0tt e t? ? ? ? .记 ? ?( ) 2 2th t t e t? ? ? ? ，注意到 (0) 0h ? ，故只需证 ( )h x 在 ? ?0,?? 上增函数即可.25．解：（Ⅰ） ( )'' lnf x x ax= - ，函数 ( )f x 在其定义域内有两个不同的极值点，可转化
为 ln( ) xg x x? 与函数 y a? 在 ? ?0,?? 上有两个不同的交点.又 '' 21 ln( ) xg x x?? ，当 ? ?0,x e? 时， ''( ) 0g x ? ；当 ? ?,x e? ?? 时， ''( ) 0g x ? .所以 ( )g x 在 ? ?0,e 上单调递增, ( )g x 在 ? ?,e ?? 上单调递减,从而 max 1( ) ( )g x g e e? ? .又 ( )g x 有且只有一个零点是 1,且在 0x? 时, ( )g x ???；在 x???时, ( ) 0g x ?故要想 ln( ) xg x x? 与函数 y a? 在 ? ?0,?? 上有两个不同的交点,只需 10 a e? ? .（Ⅱ） 1 1 2e x xl l+ < × 等价于 1 21 ln lnx x? ?? ? ? ,由（Ⅰ）可知 1 2,x x 分别是方程 ln 0x ax- = 的两个根,即 1 1 2 2ln ,lnx ax x ax= = ,
所以原式等价于 1 21 ( )a x x? ?? ? ? ,
30
因为 1 20,0 x x? ? ? ? ,所以 1 21a x x???? ? .又由 1 1 2 2ln ,lnx ax x ax= = 作差得: ( )1 1 22ln x a x xx = - ,即 121 2ln xxa x x? ? .所以原式等价于 121 2 1 2ln 1xxx x x x???? ? ,即 ? ?1 212 1 2(1 )ln 0x xxx x x? ?? ?? ?? .令 ? ?12 , 0,1xt tx? ? ，则不等式 ? ?(1 ) 1ln 0tt t? ?? ?? ?? 在 ? ?0,1t? 上恒成立.
令 ? ?(1 ) 1( ) ln th t t t? ?? ?? ? ? ，则 ? ?? ?? ? 22'' 22 11 (1 )( ) ( ) t th t t t t t ??? ?? ??? ? ?? ? .当 2 1? ? 时，可见 ''( ) 0h t ? ，所以 ( )h t 在 ? ?0,1 上单调递增，又 (1) 0h ? ，所以( ) 0h t ? 在 ? ?0,1 上恒成立，符合题意.当 2 1? ? 时，可见 ? ?20,t ?? 时， ''( ) 0h t ? ， ? ?2,1t ?? 时， ''( ) 0h t ? ，所以 ( )h t 在 ? ?20,?上单调递增，在 ? ?2,1? 上单调递减，又 (1) 0h ? ，所以 ( )h t 在 ? ?0,1 上不能恒小于 0，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式 1 1 2e x xl l+ < × 恒成立，只需 2 1? ? ，又 0? ? ，所以 1? ? .26． 解： （Ⅰ） ( ) 1 ,axf x ae￠ = - 令 ( )'' 0f x = ，则得 1 1lnx a a? .易知函数 ( )f x 的增区间为 1 1, lna a? ???? ?? ?，减区间为 1 1ln ,a a? ???? ?? ? .（Ⅱ）若函数 ( )f x 有两个零点，由（Ⅰ）知 max 1 1( ) ( ln ) 0f x f a a? ? ，即 1a e? .而此时 1 1( ) 0f ea a? ? ? ，由此可得 1 21 1 1lnx xa a a? ? ? .故 2 1 1 1 1lnx x a a a? ? ? ，即 1 2 1 1(1 ln )x x a a? ? ? .
又 1 21 1 2 2( ) 0, ( ) 0ax axf x x e f x x e? ? ? ? ? ?? ，? ?1 1 22 1 1[ (1 ln )] ln( )12 ax a aea x x a aaxx e e e e aex e ??? ? ? ? ? ? .
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27． 解：（1）f（x）= 1xxe? （x∈R）, ( )f x? = 2( 1)x xxe x ee? ? =2 x xe? ,∴x＜2时， ( )f x? ＞0，f（x）单调递增；x＞2 时 ( )f x? ＜0，f（x）单调递减．∴f（x）的极大值=f（2）= 21e ．（2）设 h（x）=f（x）-g（x）= 1xxe? - 43 xxe ?? ，则 ( )h x? =2 x xe? - 42 xxe ?? = 44(2 )( )x xx e ee ?? ? ，当 x＞2 时， ''( )h x ＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（2）=0，∴f（x）＞g（x）．（3）由（1），不妨设 x 1＜2＜x 2，则 4-x 2＜2，∴由（2）得 f（x 1）=f（x 2）＞g（x 2）=f（4-x 2），又由（1）得，x＜2时，f（x）单调递增，∴x 1＞4-x 2，∴x 1+x2＞4．28． 解：（Ⅰ） ''( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a? ? ? ? ? ? ? ．（ i）设 0a ? ，则 ( ) ( 2) xf x x e? ? ， ( )f x 只有一个零点．（ ii）设 0a ? ，则当 ( ,1)x? ?? 时， ''( ) 0f x ? ；当 (1, )x? ?? 时， ''( ) 0f x ? ．所以 ( )f x在 ( ,1)?? 上单调递减，在 (1, )?? 上单调递增．
又 (1)f e?? ， (2)f a? ，取 b 满足 0b ? 且 ln2ab? ，则2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2af b b a b a b b? ? ? ? ? ? ? ，故 ( )f x 存在两个零点．（ iii）设 0a ? ，由 ''( ) 0f x ? 得 1x ? 或 ln( 2 )x a? ? ．若 2ea ?? ，则 ln( 2 ) 1a? ? ，故当 (1, )x? ?? 时， ''( ) 0f x ? ，因此 ( )f x 在 (1, )?? 上单调递增．又当 1x ? 时， ( ) 0f x ? ，所以 ( )f x 不存在两个零点．若 2ea ?? ，则 ln( 2 ) 1a? ? ，故当 (1,ln( 2 ))x a? ? 时， ''( ) 0f x ? ；当 (ln( 2 ), )x a? ? ?? 时，''( ) 0f x ?
．因此 ( )f x 在 (1,ln( 2 ))a? 单调递减，在 (ln( 2 ), )a? ?? 单调递增．又当 1x ? 时， ( ) 0f x ? ，所以 ( )f x 不存在两个零点．
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综上， a的取值范围为 (0, )?? ．（Ⅱ）不妨设 1 2x x? ，由（Ⅰ）知 1 2( ,1), (1, )x x? ?? ? ?? ， 22 ( ,1)x? ? ?? ， ( )f x 在 ( ,1)??上单调递减，所以 1 2 2x x? ? 等价于 1 2( ) (2 )f x f x? ? ，即 2(2 ) 0f x? ? ．由于 22 22 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x?? ?? ? ? ，而 2 22 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x? ? ? ? ? ，所以2 222 2 2(2 ) ( 2)x xf x x e x e?? ?? ? ? ．设 2( ) ( 2)x xg x xe x e??? ? ? ，则 2''( ) ( 1)( )x xg x x e e?? ? ? ．所以当 1x ? 时， ''( ) 0g x ? ，而 (1) 0g ? ，故当 1x ? 时， ( ) 0g x ? ．
从而 2 2( ) (2 ) 0g x f x? ? ? ，故 1 2 2x x? ? ．29. 解： （Ⅰ）当 0,2x ?? ??? ?? ?时， ( ) sin 2cos 0f x x x? ?? ? ? ? ? ，所以函数 ( )f x 在 0, 2?? ?? ?? ?上为增函数，又 (0) 2 0f ??? ? ? ， 2( ) 4 02 2f ? ?? ? ? ，所以存在唯一 0 0,2x ?? ??? ?? ?，使0( ) 0f x ? .（Ⅱ）当 ,2x ? ?? ??? ?? ?时，化简得 ? ? cos 2( ) 11 sinx xg x x x? ?? ? ? ? ?? .
令 t x?? ? ，则 ,2x ? ?? ??? ?? ?时， 0,2t ?? ??? ?? ?，记 cos 2( ) ( ) 11 sint tu t g t tt? ?? ? ?? ? ?? ，0,2t ?? ??? ?? ?，则 ( )( ) (1 sin )f tu t t?? ? ? .由（Ⅰ）得，当 ? ?00,t x? 时， ( ) 0u t? ? ，当 0,2t x ?? ??? ?? ?时， ( ) 0u t? ? .所以在 0,2x ?? ?? ?? ? 上 ( )u t 是增函数，又 ( ) 02u ? ? ，所以当 0,2t x ?? ?? ??? ?时，( ) 0u t ? ，所以 ( )u t 在上无零点 0,2x ?? ???? ?上无零点；在 ? ?00,x 上 ( )u t 是减函数，又 (0) 1u ?及 0( ) 0u x ? ， 所 以 存 在 唯 一 ? ?0 00,t x? 使 0( ) 0u t ? . 设 1 0 ,2x t ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ， 则
1 0 0( ) ( ) ( ) 0g x g t u t?? ? ? ? ， 因 此 存 在 唯 一 的 1 ,2x ? ?? ??? ?? ? ， 使 1( ) 0g x ? . 由 于
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1 0 0 0,x t t x?? ? ? ，所以 0 1x x ?? ? ，即命题得证 .30． 解： （Ⅰ） ''( )f x 2(2ln 1)lnx xx? 令 ''( ) 0f x ? 可得 x e ．列表如下： x （ 0， 1） 1) e ( e ) e (+''( ) 0f x ? ? ? 0 ?( )f x 减 减 极小值 增
单调减区间为（ 0， 1）， 1) e (；增区间为 ) e (+ ．（Ⅱ）由题可知， ( )f x? 2( )(2ln 1)ln ax a x xx? ? ?对于函数 )x2 (lnx+ ax 1，有 '' 22( ) x ah x x?? ，∴函数 （ x）在 0) 2a (上单调递减，在 ) 2a (+ 上单调递增，∵函数 f（ x）有 3个极值点 x
1＜ x2＜ x3，从而 min ( ) 2ln 1 02 2a ah h? ? ? ? ，所以 a 2e ，当 0＜ a＜ 1时， （ a） =2lna＜ 0， （ 1） =a-1＜ 0，∴函数 f（ x）的递增区间有（ x1， a）和（ x3， +）；递减区间有（ 0， x1），（ a， 1），（ 1，x3），此时，函数 f（ x）有 3个极值点，且 x2=a；∴当 0＜ a＜ 1时， x1， x3是函数 )x2 (lnx+ ax 1的两个零点，即有 1 13 32ln 1 02ln 1 0ax xax x? ? ? ????? ? ? ??? 消去 a有 2x
1lnx1-x1=2x3lnx3-x3令 g（ x） =2xlnx-x， ( )g x? =2lnx+1有零点 x 1e ，且 x 1 1e x 3∴函数 g（ x） =2xlnx-x在 0) 1e (上递减，在 ) 1e (+ 上递增要证明 x+
1x 3 2e ,x 3 2e x1,g)x (3g) 2e x (1
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∵ g（ x1） =g（ x3），即证 g)x (1g) 2e x,(1g)x(1g) 2e x 0 (1构造函数 F)x (g)x(g) 2e x(，则 F) 1e 0 (只需要证明 x 0) 1e [单调递减即可．而 ''( )F x 2 lnx2+ln) 2e x2+(， F)x ( 22( 2 ) 02( )xex xe? ??
所以 ''( )F x 在 0) 1e [上单调递增，所以 ''( )F x ＜ '' 1( )F e =0．∴当 0＜ a＜ 1时， x+1x 3 2e ．31. 解：（Ⅰ） ? ''( ) ,xf x e a x R? ? ? ,(1)当 0a ? 时 ''( ) 0f x ? ， ? ( )f x 在 R上单调递增，显然不成立 .(2)当 0a ? 时 ''( ) 0f x ? 得 lnx a? ，当 lnx a? 时， ( ) 0f x? ? ， ? ( )f x 在 ( ,ln )a?? 上单调递减；当 lnx a? 时， ( ) 0f x? ? ， ? ( )f x 在 (ln , )a ?? 上单调递增， ? ( )f x 当 lnx a?
时取到最小值；又当 x???， x???时都有 ( )f x ???， ? (ln ) (2 ln ) 0f a a a? ? ? ，即 2a e? 时 ( )f x 有两个零点 .（Ⅱ）要证 1 2 1 2x x x x? ? ? ，即证 1 2( 1)( 1) 1x x? ? ? ；由已知 1 1( 1)xe a x? ? ， 2 2( 1)xe a x? ? ，即证 1 21 2 2( 1)( 1) 1x xex x a?? ? ? ? .即证 1 2 2x xe a? ? ，即证 1 2 2lnx x a? ? ，即证 2 12lnx a x? ? ，又 2 lnx a?? ，且 ( )f x 在 (ln , )a ?? 上单调递增，
故只需证 ? ?2 1(2ln )f x f a x? ? ，即证 ? ?1 1(2ln )f x f a x? ? ，令 ? ?( ) (2ln )g x f a x f x? ? ? 且 lnx a? ，
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? ? ?22 2 2 2( ) 2 0xx xxx x xe aa a e aeg x e ae e e?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ，? ( )g x 在 ( ,ln )a?? 上单调递减， ? ( ) (ln ) (2ln ln ) (ln ) 0g x g a f a a f a? ? ? ? ? ，? (2ln ) ( )f a x f x? ? ，在 ( ,ln )a?? 上恒成立，? 1 1(2ln ) ( )f a x f x? ? ，故原命题得证 .32． 解：（Ⅰ） ? ''( ) ln 1 2f x x x? ? ? ,? ''(1) 1f ?? ,所以切线 l的方程为 1y? ? ( 1)x? ? ，? y x?? ,?切线 l的方程为 y x?? .? xy a?
, '' ln ,xy a a? 直线 y x?? 与 xy a? 的图象相切，切点为 ? ?00, xx a ，0 0 0 (1)ln 1(2)x xa aa x? ???? ??? 2 ( )ln 1x a? ? ??将（ ）代入（1）得 ,即 ln1 ,ln ln ax aa a? ? 11代入（2）得- 1 1ln lnalna lna? ?? ?? ??? ? ，即 ln( ln ) 1a? ? ? ， 1lna e??? ? ，即 1lna e?? ?? ，解得 1ea e?? .（Ⅱ）由题意， 2'' 1 2 1( ) 2 x mxF x x mx x? ?? ? ? ? ，函数 ( )F x 的两个极点 1 2,x x ，
即函数 2( ) 2 1h x x mx? ? ? 在 ? ?0,?? 上有两个相异零点 1 2,x x ，21 2 1 24 4 01 0, ,2 0mx x x x m? ? ? ?? ? ? ? ? ???? 1m? ? ，当 10 x x? ? ，或 2x x? 时， ''( ) 0F x ? ；当 1 2x x x? ? 时， ''( ) 0F x ? ，? ( )F x 在 1(0, )x ， 2( , )x ?? 上单调递增， ( )F x 在 1 2( , )x x 上单调递减，? 1 2(1) 2 2 0, 0 1h m x m x? ? ? ? ? ? ? ? ，令 22 12 1 0, ,2xx mx m x?? ? ? ? ?2 1( ) (ln ) (ln ),2xf x x x mx x x ?? ? ? ? ?
则 2'' 3 1( ) ln ,2 2xf x x? ? ?设 2 2''3 1 1 1 3( ) ln , ( ) 3 ,2 2x xs x x s x xx x?? ? ? ? ? ?则
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1 当 1x ? 时 , ''( ) 0, ( )s x s x? 在 ? ?1,?? 上 单 调 递 减 ， 所 以 ( ) ( ) (1) 1 0,s x s m s? ? ?? ?所以 ( )f x 在 ? ?1,?? 上单调递减 ,所以 ( ) (1) 1 0f x f? ?? ? ，? 21 m x? ? ， 2( ) 1f x? ?? ；②当 0 1x? ? 时，由 ''( ) 0,s x ? 得 30 3x? ? ，由 ''( ) 0,s x ? 得 3 13 x? ? ，所以 ( )s x 在 3(0, )3 上单调递增，在 3( ,1)3 上单调递减，3 3( ) ( ) ln 03 3s x s? ? ? ?
， ? ( )f x 在 ? ?0,1 上单调递减， ? ( ) (1) 1,f x f? ?? 1x ?? ?0,1 ， 1( ) 1f x? ?? ，综上所述， 2 1( ) 1 ( )f x f x?? ? .33． 解： 由题设得， g(x)＝ x1＋ x(x≥ 0)．(1)由已知， g
1(x)＝ x1＋ x， g2(x)＝ g(g1(x))＝ x1＋ x1＋ x1＋ x＝ x1＋ 2x， g3(x)＝ x1＋ 3x，…，可得 gn(x)＝ x1＋ nx.下面用数学归纳法证明：①当 n＝ 1时， g1(x)＝ x1＋ x，结论成立．②假设 n＝ k 时结论成立，即 g
k(x)＝ x1＋ kx.那么， gk＋ 1(x)＝ g(gk(x))＝ gk（ x）1＋ gk（ x） ＝ x1＋ kx1＋ x1＋ kx＝ x1＋（ k＋ 1） x，即当 n＝ k＋ 1时结论成立．由①②可知，结论对 n∈ N
＋ 成立．(2)已知 f(x)≥ ag(x)恒成立，即 ln(1＋ x)≥ ax1＋ x恒成立．设 φ(x)＝ ln(1＋ x)－ ax1＋ x(x≥ 0)，则 φ′(x)＝ 11＋ x－ a（ 1＋ x） 2＝ x＋ 1－ a（ 1＋ x） 2，
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当 a≤ 1时， φ′(x)≥ 0(仅当 x＝ 0， a＝ 1时等号成立 )，∴ ( )x? 在 [0，＋∞ )上单调递增，又 φ(0)＝ 0，∴ ( )x? ≥ 0在 [0，＋∞ )上恒成立，∴ a≤ 1时， ln(1＋ x)≥ ax1＋ x恒成立 (仅当 x＝ 0时等号成立 )．当 1a ? 时，对 x∈ (0， a－ 1]有 φ′(x)<0，∴ ( )x? 在 (0， a－ 1]上单调递减，∴ ( 1)a? ? < (0)? ＝ 0.即 1a ? 时，存在 x>0，使 φ(x)<0，故知 ln(1＋ x)≥ ax1＋ x不恒成立．综上可知， a 的取值范围是 (－∞， 1]．
(3)由题设知 g(1)＋ g(2)＋…＋ g(n)＝ 12＋ 23＋…＋ nn＋ 1，比较结果为 g(1)＋ g(2)＋…＋ g(n)>n－ ln(n＋ 1)．证明如下：(方法一 )上述不等式等价于 12＋ 13＋…＋ 1n＋ 1 x1＋ x， x>0.令 x＝ 1n， n∈ N
＋ ，则 1n＋ 1
＋ 成立．(方法二 )上述不等式等价于 12＋ 13＋…＋ 1n＋ 1 x1＋ x， x>0. 令 x＝ 1n， n∈ N＋ ，则 lnn＋ 1n > 1n＋ 1.故有 :ln2－ ln1>12， ln3－ ln2>13，……, ln(n＋ 1)－ ln n> 1n＋ 1，上述各式相加可得 ln(n＋ 1)>12＋ 13＋…＋ 1n＋ 1，结论得证．(方法三 )如图， 错误 ! xx＋ 1dx是由曲线 y＝ xx＋ 1， x＝ n及 x轴所围成的曲边梯形的面积，而 12＋ 23＋…＋ nn＋ 1是图中所示各矩形的面积和，
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∴ 12＋ 23＋…＋ nn＋ 1>错误 ! xx＋ 1dx＝ 错误 ! 1－ 1x＋ 1 dx＝ n－ ln(n＋ 1)，结论得证．34． 解：（1）由 k e? 得 ( ) xf x e ex? ? ,所以 ( ) xf x e e? ? ?由 ( ) 0f x? ? 得 1x ? ,故 f（x）的单调递增区间是 ? ?1,?? ；由 ( ) 0f x? ? 得 1x? ,故 f（x）的单调递减区间是 ? ?,1?? .（2）由 ( ) ( )f x f x? ? 可知 ? ?f x 是偶函数，于是 ? ? 0f x ? 对任意 x R? 成立等价于 ( ) 0f x ? 对任意 0x? 成——
由 ( ) 0xf x e k? ? ? ? ,得 lnx k? ，1 当 时 ， ,2 此 时 在 上 单 调 递 增 ， 故 ， 符 合 题 意 .3 当 时 ， ， 当 x 变 化 时 的 变 化 情 况 如 下 表 ：
由此可得，在 ? ?0,?? 上， ( ) (ln ) lnf x f k k k k? ? ?依题意 ,又 ,∴综合①，②得，实数 k 的取值范围是 0 k e? ? .（3）∵∴∴
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由此得故 .
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