解三角形代数思路梳理1.(2017?新课标Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA．(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．·1·
2.(2022?绵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA-csinC=( 3a-b)sinB．(1)求角C的大小；(2)若sinA?sinB= 33，c=2，求△ABC的面积．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA+tanB= 2sinCcosA．(1)求角B的大小；(2)若a+c=4，求b的取值范围．·2·
4.(2018?北京)若△ABC的面积为34 (a2+c2-b2)，且∠C为钝角，则∠B=；ca的取值范围是．5.(2020?全国卷2)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值．·3·
【参考答案】1.【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC= 12acsinB= a23sinA，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC= 23；(2)∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC= 16，∴cosBcosC-sinBsinC= 16 - 23 =-12，∴cos(B+C)=-12，∴cosA= 12，∵0
∴ sinAcosB+sinBcosAcosAcosB = 2sinCcosA，∴ sin(A+B)cosAcosB = sinCcosAcosB = 2sinCcosA，∴cosB= 12，∵B∈(0，π)，∴B= π3．(2)∵a+c=4，B= π3，b2=a2+c2-2accosB，∴b2=(a+c)2-2ac-2accosπ3，∴b2=16-3ac，∵a+c≥2 ac，∴4≥2 ac，∴0
2 3 12cosd- 32 sind+ 12cosd+ 32 sind? ?，=3+2 3cosd，当d=0，即B=C= π6时，△ABC的周长取得最大值3+2 3．另解：a=3，A= 2π3，又a2=b2+c2-2bccosA，∴9=b2+c2+bc=(b+c)2-bc≥(b+c)2- 14(b+c)2，由b+c>3，则b+c≤2 3(当且仅当b=c时，“=”成立)，则△ABC周长的最大值为3+2 3．·6·
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