江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023第二学期高二数学期末检测
姓名
一?单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．等差数列{ }
n
a
的前
n
项和为
n
S，
5
11a =，
12
186S =，则
8
a = （ ）
A．18 B．20 C．21 D．22
2. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布
2
(105, )( 0)N σσ>，试卷满
分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的
1
5
，则此次数学考试成绩在90
分到105分之间的人数约为 （ ）
A. 150 B. 200 C. 300 D. 400
3.某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能选择一个座位，要求两端座位
不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有 （ ）
A
.
24种 B. 36种 C. 48种 D. 56种
4．已知双曲线C：
( )
22
22
1 0, 0
xy
ab
ab
?=>>的左、右焦点分别为
1
F，
2
F，过双曲线
C上任意一点P分
别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，
8
9
PA PB?=，
12
FF等于
3
2
1
2x
x
??
?
??
??
展开式的常数
项，则双曲线C的离心率为 （ ）
A. 3 B. 3或
32
4
C.
32
4
D.
22
或
32
4
5．已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为2 2，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，
D在球O的球面上，则球O的体积是 （ ）
A．16π B．
32
3
π C．8π D．
8 2
3
π
6．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x﹣m)
2
＋(y＋2)
2
＝4上两个动点，且AB ＝23，若
直线l：2yx=?上存在唯一的一个点P，使得OC PA PB= +
???? ???? ????
，则实数m的值为 （ ）
A．15+或15? B．15?+或15??
C．51?或51+ D．51?+或51??
7．若函数
2
( ) ln 2 (1, 2)f x x ax x a=+?在区间内单调递增，则实数的取值范围是 （ ）
A．
3
( ,]
8
?∞ B．
31
(,)
82
C．
1
(, )
2
+∞ D．
1
[, )
2
+∞
8．已知数列
{ }
1
12 12
2
n n nn
an S a a的前项和为，数列中的每一项可取或，且取或的概率均为，则
11
S
能被3整除的概率为 （ ）
A．
1
3
B．
85
256
C．
341
1024
D．
683
2048
二?多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知等比数列{ }
n
a
中，公比
1q >
，其前
n
项和为
n
S，若
5 1 24
15, 16a a aa?= ?=，则下列说法正确的是
A．
1
21
nn
SS
+
= + B．2
n
n
a = C．数列{ }
3
log ( 1)
n
S +
是等比数列
D．对任意正整数k ( k为常数)，数列{ }
2
log ( )
nk n
SS
+
?
是公差为1的等差数列 ( )
10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，
6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件
A =“抽取的两个小球标号之和大于
5”，事件
B =
“抽取的两个小球标号之积大于8”，则 （ ）
A．事件
A发生的概率为
1
2
B．事件AB?发生的概率为
11
20
C．事件AB?发生的概率为
2
5
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
1
5
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三
角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P ABCD?中，侧棱PD ABCD⊥底面，1PD =，1AD =，
2CD =，则下列结论正确的有 （ ）
A．四面体P ACD?是鳖臑
B．阳马P ABCD?的体积为
2
3
C．若
2
3
BQ BP=
???? ????
，则
11 2
33 3
DQ DA DC DP=++
???? ???? ???? ????
D．D到平面PAC的距离为
2
3
12．已知双曲线
22
22
: 1( 0, 0)
xy
C ab
ab
?=>>的离心率为
23
3
，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有 （ ）
A. 渐近线方程为
3yx=±
B. 渐近线方程为
3
3
yx=±
C. 60MAN∠=° D. 120MAN∠=°
三?填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上.
13．已知随机变量满足
1
( ) ( 1,0,1), , , () , ()
3
P x ax b x a b R E Dξ ξξ==+=? ∈ = =其中若 .
14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十
一．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层
灯数的2倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯．
15．如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AC＝BC＝2，AC⊥BC，D
为线段AB的中点，E为侧棱SB上一动点．若SE＝EB，则异面直线CE与SA所
成角的余弦值为 ；当△CDE的面积最小时，DE＝ ．
16.若01ln
2
≥??+ xbxax对于( )0x∈ +∞，恒成立．当0=a时，b的最小值
为 ；当0>a时，
a
b
的最小值是 ．(第一空2分，第二空3分)
四?解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明
?证明过程或演算步骤.
17．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；(2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．
18．已知数列{}
n
a的前n项和为
n
S，且1
nn
aS+=，
n
?
∈N
，数列{}
n
b满足
2
log
nn
ba=? .
（1）求数列{ }
n
a的通项公式；（2）设
22
1
nn
n
nn
ab
c
bb
++
+
=
，数列{}
n
c的前n项和为
n
T，求证：
1
4
n
T < .
19．如图，四棱锥S ABCD?的底面是直角梯形，
//AB CD
，
90BAD ADC∠=∠=
?
SD ABCD⊥平面，
M是SA的中点，22AD SD CD AB= = = = .
（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB； （Ⅱ）求二面角ASBC??的大小；
（Ⅲ）线段SC上是否存在一点E，使得直线
//SA
平面BDE . 若存在，确定E
点的位置；若不存在，说明理由.
20．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货
或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中国
消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，
越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统
计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数
i
y和时间第
i
x天间的数据，列表如下：
i
x
1 2 3 4 5
i
y
75 84 93 98 100
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？若可用，估计8月10日
到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若| | 0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归
模型拟合，计算r时精确到0.01）．
参考数据：4340 65.88≈．
附：相关系数
( )( )
( ) ( )
1
22
11
n
ii
i
nn
ii
ii
xxy y
r
xx yy
=
= =
??
=
??
∑
∑∑
，回归直线方程的斜率
( )( )
( )
1
2
1
?
n
ii
i
n
i
i
xxy y
b
xx
=
=
??
=
?
∑
∑
，截距
?
?a y bx= ?．
（2）运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人
进行奖励，求这3人取自不同天的概率．
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一
次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为
1
3
，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，
中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学
期望的角度分析选哪种方案更优惠．
21．已知函数( ) ln 1f x x ax= ++
（1）若()fx在1x =处有极值，求实数a的值；
（2）求函数)(xf的单调区间；
（3）若函数()fx有两个零点,求实数a的范围.
22．已知双曲线
22
22
:1
xy
C
ab
?=（0a >，0b >）的离心率为
2，过点
( )
0, 6P且斜率为
1的直线l交双
曲线C于A，B两点．且
3=?OBOA
．（1）求双曲线C的标准方程．
（2）设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在
x
轴的负半轴上是否存在定点M．使
得
2QFM QMF∠=∠？若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
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