三角形共有 9个要素，三个顶点，三条边，三个角
????基础
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
01 2
si n si n si n
02 c os , = 2 c os
2
1
03 si n
2
04 si n si n , c os c os , t a n t a n
ABC
b a c
k R ABC
B A C
a c b
B b a c ac B
ac
S ac B
B A C B A C B A C
?
= = = = ?
+?
= + ?
=
= + = ? + = ? +
外接圆半径
? ?加强
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
3 2 2 2
05 : : si n : si n : si n ;
06 si n si n si n 2 si n si n c os ;
11
07 si n ;
4 2 2 2 4
1
;
2
1
si n si n si n ;
8
08 t a n t a n t a n t a n t a n t a n ;
: t a n t a n t a
A B C A B C
ABC
ABC
a b c A B C
B A C A C B
abc b abc
S S ac B ac
R R R
S a b c r r
S a b c A B C
A B C A B C
AB
??
?
?
=
= + ?
??
= = = ? =??
??
= + +
=
+ + =
++
为内切圆半径
证 ( ) ( ) ( )n t a n t a n 1 t a n t a n
t a n t a n t a n
C B C B C B C
A B C
= ? + + + ?
=
????特殊
( ) ( )
( )
2 2 2
1
09 c os
2
10 , , ,
2 2 si n si n si n 2 si n c os
22
1
2 c os c os t a n t a n
2 2 2 2 3
: 2 si n si n si n
2 si n c os ;
22
si n si n si n
2 2 2 2 2
BA BC ac B a c b
ABC a b c
B A C
b a c B A C
A C A C A C
B A C
BB
L HS
A C A C A C A C A C
RHS
? = = + ?
?
?
= + ? = + ? =
+?
? = ? =
=+
=
+ ? + ? +? ? ? ?
= + + ? =? ? ? ?
? ? ? ?
成等差数列
证
c os c os c os ;
2 2 2
2 si n c os .
22
A C B A C
B A C
??
=
?
?=
? ?:问题类型 ( )
( )
( )
( )
( )
01 :
02 :
03 :
04 : ;
05 :
边长 , 角度数值计算问题 ;
三角形形状判断问题 ;
边长 , 角度等范围最值问题 ;
实际问题中高度 , 长度等表达式问题
三角形唯一性等问题；
第 001 题 正弦定理、三角恒等变换、 三角函数 、最值范围问题
在 ABC? 的三个内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc，且 3A ?= ， 2a= .
()1 求 ABC? 的周长的取值范围；
()2 求 22bc+ 的取值范围 .
( )
( )
( ?
( ?
( ) ( )
2 2 2 2 2
22
2
1 : si n , si n ,
3
si n si n 4 si n
6
25
0,
2 si n s
2 4 3
:
si n si n
, , , : 2 , 4
3 6 6 6
2 , 4 , 6 .
si
in
2
s
n3
i n ( ) si n
3
3
2
:
ABC
b k B c k C B C
b c k B C C
b c k B
b c a
k
B
C
C C b c
a
kC
C
A
ab
C
c
?
?
? ? ? ?
?
?
+
= = = ?
??
? + = + = +
??
??
? ? ? ?
? + ?
=
+?
? ? ? ?
? ? ? ?
=
?
=+
?
?
+
=+
= ? +
= = =
?
=
?
正弦定理
易得
析
得 则
解
由 有
又 则
( ?
2
2
2 2 2
1
1 si n 2
26
2 7 1 1 1
0 , , 2 , , si n 2 ,
3 6 6 6 2 6 4 2
1 3 3
1 si n 2 ,
2 6 4 2
16
, 4 , 8 .
3
C
kC
C C C
C
k b c
?
? ? ? ? ?
?
??
??
??
?? ??
= + ?
????
????
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? + ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
= + ?
由 得 则
又 则
类型题 :
在 ABC? 的三个内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc.
()1 已知 ?=120A ，求 CB sinsin + 的最大值；
()2 已知 3=a ， ?=60A ，求 bc 的最大值；
()3 已知 222 2cba =+ ，求 Ccos 的最小值 ；
()4 已知 CBA sin2sin2sin =+ ，求 Ccos 的最小值 .
第 002 题 边长与数列，内角与向量 ，函数与方程
已知在 ABC? 中，三边长 ,,abc依次成等差数列．
()1 若 sin :sin 3:5AB= ， 求三个内角中最大角的度数；
()2 若 1b= 且 ( )22BA BC b a c? = ? ?，求 ABC? 的面积．
( )
( )
( ) ( )
22
22
22
2
2 2 2
2
2 2 2
22
1 , , , 2
si n : si n 3 : 5 , : 3 : 5
3 , 5 , 7
12
c os , ;
21
: c os 2 c os
,2
,c
2
os
:
2 2 3
a b c b a c
A B a b
a
a b c
Cc
b a c
BA BC b a c ac B b a
a b ab
k b k c k C
a b c
CC
C
a
c
bc
a
b
b
a
?
+
= + =
? = ? ? = ? ?
=
?
= = +
+
=+
==
==
???
=
+?
= = ? =
?
?
?
由 依次成等差数列得
又 则
令 则 即 最大
由 得
又
解
角为
余弦定理
得
由
由 得
析
29
2 c os , c os ,
3 10
5 1 3 5
si n si n .
3 2 20
ABC
ac B B ac
B S ac B
==
? = = =
得
即
第 003 题 倍角公式、余弦和角公式、诱导公式、面积公式、余弦定理
在 ABC? 中 ,内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc,已知
24 s in 4 s in s in 2 22AB AB? + = +.
()1 求角 C 的大小 ；
()2 已知 4b= ， ABC? 的面积 为 6 ，求边长 c 的值 ．
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
1 4 s i n 4 s i n s i n 2 2 2 1 c os 4 s i n s i n 2 2
2
2 c os c os 2 s i n s i n 2
2
c os
1
2 s i n , 6 , 4 , , 3 2
24
2 c os ,
2
3
.
1.
44
0
:
AB C AB C
AB
A B A B A B
A B A B
AB
A B C
S ab C S b C a
c a b ab C c
?
??
??
= = = = =
?
+ = + ? ? + = +??
?
?
?
? ? + =
? + = ?
? + =
=
=
+?
???
=
由 及 得
又
解
则
析
即
即
第 004 题 正弦定理、余弦定理、函数方程 与 不等式
在 ABC? 中 ,内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc,角 B 为锐角，且
22 sin sin sinA C B= ，则 acb+ 的取值范围为（ ）
( ) ( ) 1 3 2 3. 1 , 3 . 2 , 3 . , . ,2 2 2 2A B C D? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
22
2 2 2 2 2 2
2 2 2
22
2 si n si n si n 2
c os , , 0 , 1
22
4
2 0 , 1 2 , 3
2
2 , 3 .
:
A C B ac b
a c b a c b
BB
ac ac
a c ac a c a c
ac b b
ac
b
==
+ ? + ?
=?
+ ? + +
? = ? ? ?
+
??
????
由 及正弦定理 , 得:
又 且 为锐角则 :
即
解析
第 005 题 2018 届高三广东省惠州市第二次调研考试文数 17 题
已知 ABC? 中 ,角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc， ( )2 c o s c o s c o s 0C a C c A b+ + =.
()1 求角 C 的大小 ； ()2 若 2b= ， 23c= ， 求 ABC? 的面积 .
? ? ( ) ( ): 1 1 2 0 ; 2 3 .CS= ? =答案
第 006 题 2018 届高三 上期广雅中学 、 东华中学 、 河南名校联考 理 (文 )数 17 题
在 ABC? 中 ,内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc,已知 c o s 3 sin1
22C c Aa ??+=????
.
()1 求 C ； ()2 若 6c= ，求 ABC? 的面积 S 取到最大值时 a 的值 .
? ? ( ) ( ) ( )23: 1 ; 2 2 .32C S a b?= ? = =答案
第 007题 2018届高三广东省华南师范大学附属中学上期第一次月考理数 17题
已知函数 ( ) 23 s in 2 2 c o s 1 ,f x x x x R= ? ? ?.
()1 求函数 ()fx的最小正周期和最小值 ;
()2 在 ABC? 中 ,内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc,已知 ( )3, 0c f C==,
sin 2sinBA= ，求 ,ab的值 .
? ? ( ) ( ) ( )m i n: 1 , 4 ; 2 1 , 2 .T f x a b?= = ? = =答案
第 008 题 2018 届高三山西省太原五中 10 月月考文数 18 题
在 ABC? 中 ,角 ,,ABC 的对 边分别为 ,,abc,且 sin cos 3a C c A==.
()1 求 c ； ()2 若 ABC? 的面积为 92 ，求 a .
? ? ( ) ( ): 1 6 ; 2 1 5 .ca==答案
第 009 题 2018 届高三山西省太原五中 10 月月考理 数 19 题
已知 ABC? 中，角 ,,ABC 所对的边分别是 ,,abc，且 2AC= .
()1 若 3ac= ，求角 C 的大小；
()2 若 , , ,C B A c b a?? 是三个连续的正整数，求 ABC? 的面积 .
? ? ( ) ( ) 15 7: 1 ; 2 .64CS?==答案
第 010 题 2018 届高三四川省绵阳市第一次诊断性测试文数 19 题
已知 ABC? 中， 23B ??= ， D 是边 BC 上一点，且 23AD= ， 2BD= .
()1 求 ADC? 的大小；
()2 若 2 13AC= ，求 ABC? 的面积 .
( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
1 , c os 2 3 , 2 ,
23
2 8 0 2
3
:
c os
22
5
;
5
2 , c os , = 2 13 ,
26
6 40 0
6
4
6
6
ABC
BD AB AD
ABD B AD BD B
BD AB
AB AB AB
AD D B AB
AD B
AD D B
AD B AD C
AD D C AC
AD C AD C AD C AC
AD D C
D C D C D C
BC
S
?
??
?
?
+?
? = = = =
?
+?
+?
? ? = ? =
?
+
==
+?
?=
???
? ? = =
?
? ? =
=
?=
?
?
?
=
在 中由 及 得
即
解
在
即
即
析
中由 及 , 得
1
si n 3 3.
2
AB BC B= ? =
第 011 题 2018 届高三河南省郑州一中上期第二次月考文数 15 题
在 ABC? 中，内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc，已知 18 , 2 , c o s 4a b c A= ? = = ?，
则 ABC? 的面积为 _________.
( ) 2 22 2 2 2
c o s , c o s
22
1 1 5
8 , 2 , c o s , : 2 4 , s i n
44
1
s i n 3 1 5 .
2
:
ABC
b c b c ab c a
AA
b c b c
a b c A b c A
S b c A?
? + ?+?
==
= ? = = ? =
?
=
? ?
=
?
?
=
解
由 得
又 则有
析
第 012 题 2018 届高三河南省郑州一中上期第二次月考理 数 16 题
在斜三角形 ABC 中， D 为 BC 的中点，且 90BAD C? +? = ?，则 BC?? 的值是
_________.
( )
:,
22
,;
si n si n si n
,;
si n si n si n
si n si n si n c os
si n si n si n c os
si n 2 si n 2
: , 1 ;
: 2 2 , ,
2
:
:
:
x c a
ABD
x b a
ADC
B
i ABC
C
i i ABC
AE
??
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
? ? ? ? ?
+ = + =
? = =
? = =
? = =
?=
?
= ? =
?
+ = + = ?
??
??
方法一:
由题意可得
在 中
在 中
即
为等腰三角形,
为直角三角形与题意不符舍去 .
方法二
如图所示
解析
为
( )
: , , 1
: , 90 ,
ABC
B
i D O AE BC ABC
C
i i D O BC ABC BAC ABC
?
?
⊥ ? =
?
? ? = ? ?
的直径 ;
与 不重合则 为等腰三角形, ；
与 重合则 为 的直径 , 为直角三角形
与题意不符舍去；
第 013 题 2018 届高三湖南省长郡中学上期第三次月考理数 18 题
在 ABC? 中 ,内角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc,已知 2, 3cC?==.
()1 当 ( )2 s in 2 s in 2 s inA B C C+ + =时 ,求 ABC? 的面积；
()2 求 ABC? 周长的最大值 .
( ) ( )
2 2 2
1 2 si n 2 si n 2 si n ,
4 si n c os si n c os c os si n si n c os c os si n
2 si n c os si n c os
4 3 2 3 1 2 3
: c os 0 , , , , si n ;
2 3 3 2 3
: c os 0 , 2 si n si n , 2 ,
2 3 4
2 c os , 2 , , ,
33
:
ABC
A B C C
A A B A B A A B A B
A A B A
i A A a b S ab C
i i A A B a b
c a b ab C c C a b
?
?
?
+ + =
? + = +
?=
= = = = = =
? = =
=+
?
? = =
?
==
?
?
由 得
解析
( )
( )
( )
m a x
2 2 2 2 2
3
,
3
1 2 3 2 3
si n , : .
2 3 3
2:
si n , si n , si n si n si n
si n si n si n
5
si n si n 3 si n , ,
6 6 6 6
6 , .
3
: 2 c os 4
4
AB C AB C
ABC
ABC
S ab C S
c c c
a A b B C a b c A B C
C C C
A B A A
CA
c a b ab C a b ab
? ? ? ?
?
??
?
?
= = =
= = = + + = + +
? ? ? ?
+ = + + ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? = =
??
??
= + ? ? = + ?
=
由 得
方法一
周长取得最大值
方法二
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
22
m a x
31
3
44
4
6 2 , .
ABC
a b ab a b ab a b a b a b
ab
C a b
?
+ ? = + ? ? + ? + = +
+?
= = =
即
当 时周长取得最大值
第 014 题 2018 届高三江苏省苏州市上学期期中考试数学 12 题
设 ABC? 的内角 ,,ABC 的对边分别是 ,,abc， D 为 AB 的中点，若
cos sinb a C c A=+且 2CD= ，则 ABC? 面积的最大值是 _________.
( ) ( )
( )
2
22
22
c os si n , , : si n si n c os si n si n
, si n si n
c os si n si n si n
t a n 1
4
1
2
, 2 , : c os
1
2
2
8
2 2 4 8 4 8 2 2 2
4
:
22
12
si n
2
ABC
b a C c A B A C C A
B A C B A C
A C C A
AA
b c C D
AD C C D A
bc
bc b c bc bc
S bc A
?
?
?
= + = +
= ? + = +
?=
? = =
??
+?
??
??
? = =
?
= + ? ? ? ? = +
?
==
????
?
由 及正弦定理得
又 则
即
在 中 由余弦定理
即
解
得
析
2 1.
4
bc ?+
第 015 题 2018 届高三河北省衡水中学上学期第三次月考理数 11 题
ABC? 中 ,若 24ac b= ,sin sin sinA C p B+=,且 B 为锐角 ,则 p 的取值范围是
（ ）
( ) ( )66. 1 , 2 . , 2 . , 3 . 1 , 322A B C D? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
( )
( )
2
2 22 2 2
2
sin sin sin , , 0
4
c os 1 2 3 0 , 1
22
6
, 2 .
:
2
A C p B a c pb p
ac b B
a c ba c b
Bp
ac ac
p
+ = + = ?
=
+?+?
= = ? = ? ?
??
?? ??
?
????
?
??
由 及正弦定理 , 得 :
又 , 且角 为锐角 , 则
解析
第 016 题 2018 届高三河南省中原名校第四次质检理数 10 题
在 ABC? 中 , 2 2 2 2a c b ac+ = + . 2 cos cosAC+ 的最大值是（ ）
. 1 . 2 . 3 . 4A B C D
( )
2 2 2
m a x
2
2 , : c os
24
33
44
2 c os c os
3
2 c os c os
4
22
2 c os c os si n
22
22
c os si n
22
si n
4
3
: 0 , , ,
4 4 4
2 c os c os 1 ,
:
.
4
a c b ac B B
A C C A
AC
AA
A A A
AA
A
AA
A C A
?
??
?
?
? ? ?
?
?
+ = + = =
? + = = ?
?+
??
= + ?
??
??
= ? +
=+
??
=+
??
??
? ? ? ?
? + ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? + = =
??
??
??
??
解
由 得 即
即
易知 则
原式取得最大值
析
第 017 题 2018 届高三湖南省长郡中学上期月考四文数 11 题
?ABC 的内角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc，已知 ( )s in s in s in c o s 0B A C C+ ? =，
2, 2ac==，则角 C= （ ）
5. . . .6 6 4 3A B C D? ? ? ?
( )
2 2 2
22
2 2 2
22
si n si n si n c os 0 , :
si n 0
2
22
2 , 2 , si n , c os
44
si n c os 1 , 4 2 3
2 , 4 2 3 3 1
3
c os .
26
:
B A C C
a b c
b a C
ab
bb
a c C C
bb
C C b
b b b
CC
?
+ ? =
??+?
+ ? =??
??
?+
= = = =
+ = = ?
? = ?
???
=?
==
?
?
由 及正余弦定理得
又 则有
又 则
易知 则 即
即
解析
第 018 题 2018 届高三河南省天一大联考三理数 18 题
已知 ?ABC 中 ,内角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc,满足 ( )2 2 2 ta na c b B+ ? =
( )2 2 23 b c a+?.
()1 求角 A ；
()2 若 ABC? 的面积为 32 ，求 ( ) 224 3 c os c osbc A ac Bab?+? 的值 .
? ? ( ) ( ): 1 ; 2 1 .3A ?=答案
第 019 题 2018 届高三四川省达州 市 一诊理数 16 题
在锐角 ABC? 中， A B C、 、 成等差数列， 3AC= ， BABC? 的取值范围是
_________.
( )
22
22
1
c os 3
2
2
s in s in s in
31
2 s in s in s in 2
4 2 6
5
, , : 2 ,
6 2 6 6 6
3
1,
:
.
2
BA BC ac B a c
a c b
A C B
BA BC A C C
CC
BA BC
?
? ? ? ? ?
? = = + ?
= = =
? ? ? ?
? ? = + ? = + ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
??
????
??
??
? ? ? ?
?
??
由向量的数量积公式 , 及余弦定理易得解
又
由 得
析
第 020 题 2017 届高三江苏省连云港市三调数学 14 题
已知 ?ABC 三个内角 ,,ABC 所对的对边分别为 ,,abc,且 3C ?= , 2c= ,当
AC AB? 取得最大值时 ba 的值为 _________. ? ?: 2 3.+答案
( )
( )
( )
22
22
m a x
1
c os 4
2
4
s i n s i n s i n 3
8 4 3
2 s i n s i n 2 c os 2
3 3 6
27
0 , , : 2 ,
3 6 6 6
7 4 3
2 , 2
6 12 3
12
sin
:
AC AB bc A b a
a b c
A B C
AC AB B A B
BB
B B AC AB
A
b
a
?
? ? ? ?
??
?
?
? = = ? +
= = =
??
? ? = + ? = ? ?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? = = ? = +
?=
?
?
?
?
=
?解析
又
由 得
当 即 时则有：
sin
46
2 3.
sin
sin
46
B
A
??
??
??
+
??
??
= = +
??
?
??
??
第 022 题 2018 届高三 河南省八市 12 月联考高二 文 数 20 题
在锐角 ABC? 中 ,内角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc,且 ( )3 si n 2 c os 0.3 C A B+ + =
()1 求角 C 的值 ;
()2 若 ABC? 的外接圆的半径为 23,求 ABC? 的面积的最大值 .
? ? ( ) ( ): 1 ; 2 9 3 .3 ABCS? ? =答案
第 023 题
已知锐角三角形 ABC 中 ,角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc,且
2 2 23tan cbA c b a= +?
.
()1 求角 A 的大小 ;
()2 当 3a= 时 ,求 22cb+ 的最大值 ,并判断此时得形状 .
第 024 题 2018 届高三河南省中原名校第六次质量考评理数 16 题
在 ABC? 中 ,角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc,设 ABC? 的面积为 S ,若 2 2 232a b c=+,
则
222Sbc+
的最大值为 _________.
2 2 2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2
22
3 2 , 2 3 3 3
2 6 c os
1
si n
si n 12
t a n
2 2 12 c os 12
2 14
6 c os 2 2 , : c os t a n
32
14
'''' 2 '''' , .
2
:
24
nax
a b c b c b c a
b c bc A
bc A
S bc A
A
b c b c bc A
bc A bc A A
S
bc
bc
= + + = + ?
? + =
? = = =
++
? ? ?
??
? = =??
+??
????
由 得 :
又 则有 即
当 时
解析
第 025 题 2018 届高三黑龙江省哈尔滨市第三中学二模文数 9 题
在 ABC? 中 ,角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc,若 2 , c o s c o s c o s 0B A A B C=?,则
sinaAb 的取值范围是（ ）
3 3 3 3 1 3 3 1. , . , . , . ,6 2 4 2 2 2 6 2A B C D? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
( )
c os c os c os 0 , : , , 0 ,
2
2
2
2 , :
64
2
2
3
t a n , 1
3
si n si n si n 1 3 1
t a n , .
2 si n c
:
os 2 6 2
A B C A B C
A
B A A
AA
A
a A A A
A
b A A
?
?
??
?
?
??
?? ??
??
?
?
?
?
= ? ??
? ? ? +
??
??
?? ??
??
??
??
? = = ? ??
??
??
????
由
则
解
得
又 有 即
析
, , 0 ,
2
0 , 0 , 0
2 2 2
3
2 , t a n , 1
6 4 3
:
si n si n si n si n si n si n si n 1
t a n
si n si n 2 2 si n c os 2
si n 3 1
,.
:
62
A B C
A B C
B A A A A
a A A A A A A A
A
b B A A A
aA
b
?
? ? ?
??
??
?
??
??
? ? ? ? ? ? ?
??
= ? ? ? ??
?
??
?
??
= = = =
??
??
??
??
??
注意到此三角形为锐角三角形 , 则有
由 可得出角 的范围 : 即
再由正弦定理容易得出
故 的取值范围是
分析
此题的关 AC键是角 的范围 , 易错的地方是对角 的范围运用 .
第 026 题 2018 届高三安徽省皖北协作区联考理数 16 题
在 ?ABC 中，内角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc.已知 1, 2 cosb c b a B= + = ,当 ABC?
的面积最大时 ,cos _________ .A =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
1 , 2 c os c os , 1
2
2 c os , : 2 2 c os
1 1 1 2
si n 1 si n 1 2 c os si n , 0 ,
2 2 2 3
1 2 1 33
: 1 2 c os si n , 0 , , '' 2 c os
2 3 8 64
:
ABC
a c b
b c b a B B a c
ac
a b c bc A a A
S bc A a A A A A
f A A A A f A A
?
?
?
+?
= + = = = +
= + ? = +
??
? = = ? = + ?
??
??
??
? ? ? ?
= + ? = + ??
? ? ? ?
??
??
? ? ? ??
?
由 及 可得:
由 得
构造
解
数 则 :
析
函
( ) ( )
( ) ( )
33 1
c os , '' 0 , ;
8
33 1
c os , '' 0 , ;
8
33 1
, c os .
8
A f A f A
A f A f A
AB C A
?
??
?
? = =
??
==
?
?=
取得最大值
取得最小值
故: 当 的面积取得最大值时
( ) ( )
( ) ( )
3
2
:
:
: 2 c os , : si n si n 2
si n
,:
si n si n si n
1 1 si n 1 si n 3 1 3 si n 4 si n
si n si n si n si n
2 2 si n 2 si n 2 si n
11
3 4 si n si n 1 2 c os 2
22
ABC
AB C A
i c b a B B A B A B
b c C
c
B C B
C B B B
S bc A A A A
B B B
B A B
?
????
?
+ = = ? =
==
?
? = = ? ? = ? ? = ? ?
= ? ? ? = ? + ?
分析
容易分析出 的面积是关于角 的函数 , 注意边角的转
由 得 即
由 得
另解
换
( )
( )
( )
2
1
si n 1 2 c os si n
2
:,
1 33
2 , c os , .
8 64
A A A
i i f A
f u u u A
= ? + ?
????
= + ? =????
??????
关于构造的函数 , 在讨论其单调性时可看成二次函数模型,
需要注意复合函数这一点
第 027 题 2018 届高三河北省衡水中学十五模文数 16 题
在锐角 ABC? 中 ,角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc,已知 3a= ,( )22 3 ta nb c A+ ? =
3bc , ( )22 c o s 2 1 c o s2AB C+ =?,则 ABC? 的面积等于 _________.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
33
c os , si n ,
2 2 t a n 2 3
2 c os 2 1 c os , : 1 c os 2 1 c os
2
2
c os ,
24
5 6 2
si n si n c os c os si n
12 4
si n
, : 2
si n si n si n
1
:
33
si n .
24
ABC
b c a bc
A A A
bc bc A
AB
C A B C
CC
B B A C A C
a c C
ca
A C A
S ac B
?
?
?
?
+?
= = = =
+
= ? + + = ?
? = =
+
? = = + =
= = ? =
+
?=
????
=
由 得:
由 得
即
得
解
由
析
注 :多个知识点的综合 ,难度不大 ,知识点累加 .
第 028 题 该题待考虑
在 ABC? 中 ,角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc,AB 边上的高为 h ,若 2ch= ,则 abba+
的取值范围是 _________.
( )
(
2 2 2 2
2
2 c os
= 2 c os
11
s i n , :
2 2 2 s i n
2 s i n 2 c os 2 2 s i n
4
0 , , : ,
4 4 4
0 , 2
:
2.
b a a b c ab C c
C
a b ab ab ab
c
ab C c h ab
C
ba
C C C
ab
CC
ba
ab
?
? ? ?
??
++
+ = = +
==
??
? + = + = +??
??
??
? + ? +??
??
?? + =?
?
????
由 得
由 得
解析
第 029 题
ABC? 中 ,角 ,,ABC 所对的边分别是 ,,abc, ABC? 的面积 12S= ,且满足
sin cosa B b A= ,则 1 cosCab+ 的取值范围是（ ）
( (1 2 2. 0 , 2 . , . , 1 . 1 , 22 2 2A B C D? ? ? ??? ?? ? ??? ?? ? ? ?
(
si n c os , , : si n si n si n c os
si n 0 , : si n c os
4
1
si n , : si n 1
2
1
c os si n c os 2 si n
4
3
0
si n c os
, , ,
4 4 4
:
:
1
c os 0 ,
,,
2.
: si
a B b A A B B A
B A A A
S ab C ab C
C C C C
ab
CC
C
ab
a B b A
?
?
? ? ?
?
==
? = =
==
??
? + = + = +
?
??
?
?
??
? ? ? ?
? + ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? + ?
=
?
?
解析方法一
方法 由 及正二 弦
由
定
及正弦定理得
又 则 即
理得
又 则
( ?
(
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
n si n si n c os
si n 0 , : si n c os
4
11
si n , , : 2
22
: c os 2
2
1
: c os c os
2
1 si n
c os 2 si n
si n
3
0 , : si n 0 1
4
1
c os 0 , 2
A B B A
B A A A
S bc A S bc
b c a
A c a b
bc
a b c b
CC
ab ab
bB
CB
ab a A
BB
C
ab
?
?
=
? = =
= = =
+?
= = + ?
+ ? ?
==
? + = = =
??
??
??
??
?
? + ?
?
又 则 即
由 及 得
由余弦定理得 即
由余弦定理得 即
又 ， 则 ，
第 030 题
在 ABC? 中 ,若 1, tan 2 tanAB B C==,则 ABC? 面积的最大值是 _________.
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
22
2
2
2
2
2
22
2
2 2 2 2
t a n 2 t a n , : si n c os 2 si n c os
: 2 3 3
22
1 , : 3 1
4144
: c os c os
23
4
si n 1 c os
3
11
s
:
i n , : si n
24
AB C AB C
A
B C B C C B
a b c a c b
b c a c b
ab ac
c a b
bb
CC
ab b
b
CC
b
S ab C S a b C
S
??
?
==
+ ? + ?
? = ? ? + =
= = ?
??
?
??
==
?
? = ? =
==
?
?
由 得
由正余弦定理可得 即
又 则
由余弦定理得 即
又 则
解析
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
m a x
3 4 1 1 5 9
1 1 4
4 3 4 4 2 4
5 1 9 9
,:
2 4 4 16
3
:.
4
BC
AB C AB C
ABC
b
b b b b b
b
b S S
S
??
?
???
??
= ? ? = ? ? ? = ? ? +??
??
????
??
= = ? =
?
当 时 取得最大值为
的最大值为
第 031 题
如图 ,在四边形 ABCD 中 , , 6 0 , 7 5A B B C A B C A D C= ? = ? ? = ?,对角线 2BD= ,则
四边形 ABCD 面积的最小值为 _________.
( )
( )
m in
,
3
13
:
5 , 90 , 2
21
3 2 + 1.
A B CD A D B D CB E D B CD E
A B CD
ED B ECB D AB
S S S S S C H
D C E D O E D O EO
C D C E C H
S
? ? ? ?
? ? ?
= + = ? = ?
? = ? ? = ? = =
??
? = ?
????
四边形
四边形
作等边三角形 易证
易
四川成都
知点 在弧
张
上,
强老师解析
第 032 题
在 ABC? 中 ,角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc且 2 , 90b a c A C= + ? = ?,则 cosB=
_________.
( )22
, 90 , 90
sin c os , c os sin , c os sin 2
2 , : 2 sin sin sin
1
2 c os sin c os sin c os sin
2
3
sin 2
4
, 2 90
3
c os sin 2 s
:
co
4
A B C A C C
A C A C B C
b a c B A C
C C C C C C
C
A B C B C
B C B
?
??? ? ? = ? ? ?
? = = ? =
= + = +
? ? = + + =
?=
+ + = + = ?
? = =
? 在 中由 可得
由 可得
即
又 则
即
解析
第 033 题
在 ABC? 中 ,角 ,,ABC 所对的边分别为 ,,abc,已知
s in s in s in s in c o s 2 1A B B C B+ + =.若 23C ?= ,则 _________ .ab =
2 2 2
si n si n si n si n c os 2 1 ,
si n si n 2 si n 2
23, c os , .
3 2 5
:
A B B C B
A C B a c b
a b c aCC
ab b
?
+ + =
+ = + =
+?
?
==
?
=
??解析
由 及倍角公式, 整理得得
即
由 及 得
A
D B
C
H
O
E
A
D
B
C
第 034 题
在 ABC? 中 ,已知 2,B A ACB=?的平分线把 CD 三角形分成面积为 :43的两部分 ,
则 cosA= （ ）
2 1 1 3. . . .3 3 2 4A B C D 4:
3
: , 2 ,
si n si n
si n 2 4 2c os .
si n 3 3
: AD AC
DB BC
BC AC BA
AB
A A
A
?? ==
==
==
?? 由角平分线定理得
由正弦定理 ：
解
及
即
析
得
第 035 题
如图所示的四边形 ABCD 中 ,已知 , 1 2 0 , 6 0 , 2 7A B A D A B C A C D A D⊥ ? = ? ? = ? =,
设 ACB ??=,C 点到 AD 的距离为 h .
()1 用 ? 表示 h 的解析式 ;
()2 求 AB BC+ 的最大值 .
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1:
90 , 30
, si n
c os
,
si n si n
27
c os
18 3 c os si n 30
s
2 , 1
in 30 si n 60
93
9 3 si n 2 3
8 3 c os
s
0 , 0 60 ;
2
:
in 30
ADC C AD
C G h
Rt C GD ADC C D
CD
C D AD
C AD C AD
h
h
Rt C AG A
h
h
C
ABC
??
?
?
??
?
??
?
?
? = ? ? ? = ? +
? ? = =
=
??
= = ? +
? + ?
? = + + ? ? ? ?
?
?
?
?
?
=
?
=
?+
由题设条件易得
在 中 即
由正弦定理 可得 :
即
解
在 中
在
析
其中
中
( )
( )
36 c os
si n si n si n
18 si n 2
36 c os si n 60 9 3 9 3 c os 2 9 si n 2
9 3 18 2 60
0 60
15 , : 9 3 18 .
AB BC AC
BAC B
AB
BC
AB BC
AB BC
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
= = =
?
?=
= ? ? = + ?
? + = + + ?
? ? ?
? = ? + +
,
当 时 取得最大值为
DA B
C
A D
C
B
GA D
C
B
第 036 题 2019 届高三河南省八市学评第一次测评文数 17 题
已知锐角 ABC? 中内角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc,若 25c o s , 3
25A A B A C= ? =
.
()1 求 ABC? 的面积 ;
()2 若 6bc+= ,求 a 的值 .
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 5 3
1 c os , : c os 2 c os 1
2 5 2 5
4
sin 1 c os
5
3 , c os 3 5
1
2
2 : c os c os
22
1 5 , 6 ,
3
sin
6 10
2 5 .
51
2
0
;
2
:
ABC
AA
b c bc ab c a
AA
bc bc
bc b c
a
A
AA
AB AC c b A bc
b
a
S c A
?
+ ? ?+?
=
= = ?
=
= + =
=
? = ? =
? = = =
?
???
=
?=
=
=
?
?
由余弦定理
由 得
由
得 即
由 知 及 可 :
即
析
得
得 即
解
第 037 题 2019 届高三天一大联考“顶尖计划”毕业班第一次联考理数 12 题
已知 D 为 ABC? 的边 AC 上一点 ,满足 3 , 1 4 , 2 3A D D C A B A D B D B C ?= = ? = ? =,
则 sin ABC?=（ ）
2 7 7 2 5 5. . . .7 7 5 5A B C D
2 2 2 2 2
2
3 3 , 2 , ,
36
3 3 16 14
, 14 : c os
22 83
2
sin
, : sin
sin sin
1
42
272
s
:
in .
714
3AD D C x AD B D BC C
a b c x x
ABC AB C
ab x
x
b AB b C
ABC AB
BC
C
ABC C
x
c
ABC
??
= = ? = ? = =
+ ? + ?
? = = =
?=
? = ? =
?
?
??
=???
=
?
=
设 由 易得
在 中 , 由余弦定理得 即
在 中由正弦定理 即
解
得
析
D
A
B C
第 038 题
ABC? 中角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc,若 3cos cos 5a B b A c?=,则 ( )tan AB? 的
最大值为（ ）
43. . 1 . . 334A B C D
( ) ( )
( )
2
3
c os c os ,
5
3
si n c os si n c os si n
5
3
si n si n , si n c os si n c os si n
5
si n c os 4 si n c os ta n 4 ta n
0
2
ta n ta n 3 ta n 3 3
ta n
11 ta n ta n 1 4 ta n 4
4 ta n
ta
:
n
" ta
a B b A c
A B B A C
C A B A B B A A B
A B B A A B
BA
A B B
AB
A B B
B
B
?
?=
?=
= + ? = +
? = =
? ? ? ?
?
? ? = = = ?
+
+
?
+
??? 由 及正弦定理 , 可得
又 则 :
当且仅当
解
即
析
1
n = " " "
2
B =时 成立 .
第 039 题 2018 届高三河南省洛阳市第三次统考文数 16 题
在 ABC? 中 ,D 是 AB 的中点 , ACD? 与 CBD? 互为余角 , 2, 3AD AC==,则 sinA
的值为 _________.
: , ;
22
22
,;
sin sin sin c os
22
;
sin sin sin c os
sin c os
sin 2 sin 2
sin c os
57
: 2 2 , , sin ; : 2 2 , , sin ;
3 2 4
57
, sin .
3
:
4
BA
C D C D
AD C
A A B
C D C D
D BC
B B A
BA
AB
AB
i A B A B A ii A B A B A
A
??
??
?
?
?
?
+ = + =
? = =
? = =
? = =
= = = + = + = =
???? 依题意可知
在 中 即
在 中 即
即
综上所述 的值为 或
解析
D
A
B C
第 040 题 2019 届高三河南省名校联盟“尖子生”调研考试二理数 16 题
在 ABC? 中 ,若 4 , 3 2A B B C B C B A? = ? =,则 ABC? 面积的最大值为 _____.
2 2 2
22
2
22
2 2 2 2 2
4 , : 4
2
3 2 , : 3 2
26
1 1 1 3 17
s in c os 16 .
2 2 2 2 2
3 17
, , : .
2
32
: , .
:
2
ABC
a c b
AB BC
BC BA b
ac
ac
S ac B a c a c B
a c ABC
B AC
?
+?
? = =
? = =
? + =
?? +
? = = ? ? ? =??
??
=?
????
由 得
由 得
故当 时 面积取得最大值为
方法二 数形结合 点在 的中点为圆心半径为
解 方法一
的圆上
析
第 041 题
在面积为 2 的 ABC? 中 , 2 2 22a b c++的最小值 _________.
( )
2 2 2
2 2 2 2
2 22
22
2
22
1
22
2
5
2
2
25
8 5 .
: a b c
x y h b
x y h b
bh
bh
++
= + + +
? ? + +
=+
?
???
=
?解析
h
yx H
B
A C
第 042 题 2019 届高三四川省成都七中上期半期测试 理数 16 题
设 ,,abc分别为 ABC? 的内角 ,,ABC 的对边 ,已知 ( )2 2 23c a b=?,且 tan 3C= ,则
B? 的大小为 _________.
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
22
22
22
22
2 4 2
2
2
3 , : c os
23
3 3 3
ta n 3 1 , : sin
2
32
, : sin sin
sin sin
2 3 2
c os sin 1 , : 1
3
24
, : 10 13 0 10 13 4 0
:
3
a c b c
c a b B
ac a
a b c
CC
ab
b c b a c
BC
B C c ac
c a c
BB
a ac
c
t t t t
at
t
+?
= ? = =
+?
= ? =
?
= = =
?????
+ = + =??
??
?
??
? ??
=+
?
= + =
?
?
??
由余弦解 定理及 得
由 得
又 则
又 则
令 则有 即
析
22
14
sin ,
2 5 3
2
c os
2
c
tB
a
B
???
= = =
??
??
?=
或 此时 舍去
第 043 题 2019 届高三河南省中原名校第二次教学指导卷理数 16 题
在 ABC? 中 ,内角 ,,ABC 的对边分别为 ,,abc, ( )sin cos 0A A B? + ?,且
3sin sin sin2A B C+=,则 2abc 的取值范围为 _________.
( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
2
22
2 2 2
22
3
: 0 c os 1 ,
2
4
c os 0 , :
9
8
,
5
0 , 0 , : 2
4
9
c os 1 , : 1 1
22
26
,
5
26
, 2 ,
5
9 9 1
,
44
:
2
C a b c
C a b c a b a b
ab
ba
ab
ab
ba
a b a b
a b c
C
ab ab
ab
ba
ab
ba
ab ab
abc
ab
ba
? ? + =
? + ? + ? +
+?
? ? + ?
+ ? +
+?
? ? ?
+?
??
+
??
??
==
+
++
??
??
由 题 意可知
①由 得 即
所 以
当 时有
②由 得 即
所 以
所以 的取值范围为:
又
解析
则有:
2
59
: , .
16 16
ab
c
??
? ?
??
得取值范围为
|
|
