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| 立体几何满分突破综合练习20讲 |
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立体几何 20 讲强化训练第 1 讲 平行与垂直 .................................................. 2第 2 讲 空间向量和空间直角坐标系 .................................... 9第 3 讲 空间中两直线所成的角 ....................................... 16第 4 讲 直线与平面所成的角 ......................................... 20第 5 讲 二面角 ..................................................... 25第 6 讲 体积公式与体积变换 ......................................... 32第 7 讲 外接球与内切球 ............................................. 38
第 8 讲 立体几何范围与最值问题 ..................................... 44第 9 讲 立体几何截面和交线问题 ..................................... 52第 10 讲 立体几何翻折与旋转问题 .................................... 61第 11 讲 非常规空间几何体为载体 .................................... 70第 12 讲 立体几何空间轨迹问题 ...................................... 77第 13 讲 立体几何空间角的大小比较 .................................. 83第 14 讲 立体几何存在性问题 ........................................ 87第 15 讲 立体几何折叠问题 .......................................... 91
第 16 讲 立体几何作图问题 .......................................... 96第 17 讲 立体几何建系繁琐问题 ..................................... 102第 18 讲 两角相等（构造全等）的立体几何问题 ....................... 105第 19 讲 利用传统方法找几何关系建系 ............................... 109第 20 讲 立体几何综合问题 ......................................... 117
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第1讲平行与垂直一．选择题（共11小题）1．对于任意的直线l与平面a，在平面a内必有直线m，使m与(l )A．平行B．垂直C．相交D．互为异面直线2．对于平面?和共面的直线m、n，下列命题中正确的是( )A．若m ??，m n?，则/ /n ?B．若/ /m ?，/ /n ?，则/ /m n
C．若m ??，/ /n ?，则/ /m nD．若m、n与?所成的角相等，则/ /m n3．已知m，n表示两条不同直线，?表示平面，下列说法正确的是( )A．若/ /m n，/ /m ?，则/ /n ? B．若m n?，n ??，则m ??C．若m ??，m n?，则/ /n ? D．若/ /m ?，n ??，则m n?4．设m，n是两条不同的直线，?，?是两个不同的平面( )
A．若m n?，/ /n ?，则m ?? B．若/ /m ?，? ??则m ??C．若/ /m n，n ??则m ?? D．若m n?，n ??，? ??，则m ??5．设a，b是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a和b的两个平行平面；③经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；④经过直线a有且只有一个平面平行于直线b．其中正确的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知?，?表示不同平面，则/ /? ?的充分条件是( )A．存在直线a，b，且a，b ??，/ /a ?，/ /b ?B．存在直线a，b，且a ??，b ??，/ /a ?，/ /b ?C．存在平面?，? ??，? ??D．存在直线a，a ??，a ??
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7．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E为棱CD的中点，则( )A．1 1AE DC? B．1AE BD? C．1 1AE BC? D．1AE AC?8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A．B．C．D．9．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线/ /MN平面ABC的是( )A．B．
C．D．10．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：① ED与NF所成的角为60?② / /CN平面AFB③ / /BM DE④平面/ /BDE平面NCF其中正确判断的序号是( )
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A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④11．如图所示，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为a，M，N分别为1AB和AC上的点，1 23aAM AN? ?，则MN与平面1 1BBC C的位置关系是( )
A．相交B．平行C．垂直D．不能确定二．填空题（共7小题）12．下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面内的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是（把正确的命题序号全部填在横线上）．
13．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．若AC BD?，则四边形EFGH是．14．棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，过A，B，C做正方体的截面，则截面的面积是．15．在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，经过其对角线1BD的平面分别与棱1AA、1CC相交于E，F两点，则四边形1EBFD的形状为
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16．如图所示是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：① AB与EF所在的直线平行；② AB与CD所在的直线异面；③ MN与BF所在的直线成60?角；④ MN与CD所在的直线互相垂直．其中正确的命题是．
17．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是．18．设有下列四个命题：1p：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4p：若直线l ?平面?，直线m ?平面?，则m l?．则下述命题中所有真命题的序号是．
① 1 4p p?② 1 2p p?③ 2 3p p? ?④ 3 4p p? ??
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三．解答题（共7小题）19．如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：/ /PD平面MAC．
20．如图所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M AC?，N FB?，且AM FN?，求证：/ /MN平面BCE．
21．如图，在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是正方形，侧棱PD ?底面ABCD，2PD DC? ?，E是PC的中点，作EF PB?交PB于点F．（1）证明：/ /PA平面EDB；（2）证明：PB ?平面EFD．
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22．如图，ABC?为正三角形，EC ?平面ABC，/ /BD CE，2CE CA BD? ?，N是EA的中点，求证：（1）DE DA?；（2）平面BDN ?平面ECA；（3）平面DEA?平面ECA．
23．如图所示，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，四边形1 1AAB B为矩形，平面1 1AAB B ?平面ABC，点E，F分别是侧面1 1AAB B，1 1BBC C对角线的交点．（1）求证：/ /EF平面ABC；（2）1BB AC?．
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24．如图，正三棱柱1 1 1ABC ABC?的高为6，其底面边长为2．已知点M，N分别是棱1 1AC，AC的中点，点D是棱1CC上靠近C的三等分点．求证：（1）1 / /B M平面1ABN；（2）AD ?平面1ABN．
25．直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AC BC? ?，90ACB? ?，1 2AA ?，D是1 1AB中点．（1）求证1C D ?平面1AB；（2）当点F在1BB上什么位置时，会使得1AB ?平面1C DF？并证明你的结论．
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第2讲空间向量和空间直角坐标系一．选择题（共8小题）1．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，若1, ,CA a CB b CC c? ? ????? ???? ??????? ?，则1 (AB ????? )A．a b c? ??? ? B．a b c? ??? ? C．a b c? ? ??? ? D．a b c? ? ??? ?
2．空间四边形ABCD中，若向量( 3AB ? ?????，5，2)，( 7CD ? ?????，1?，4)?点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF????的坐标为( )A．(2，3，3) B．( 2?，3?，3)? C．(5，2?，1) D．( 5?，2，1)?
3．已知直线l的方向向量为( 1a ? ??，0，1)，点(1A，2，1)?在l上，则点(2P，1?，2)到l的距离为( )A．15 B．4 C．17 D．3 24．同时垂直于(2a ??，2，1)，(4b ??，5，3)的单位向量是( )A．1 2 2( , , )3 3 3?B．1 2 2( , , )3 3 3? ?C．1 1 2( , , )3 3 3?D．1 2 2( , , )3 3 3?或1 2 2( , , )3 3 3? ?
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5．已知正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是AD、DC中点，则(EF AB ????? ????? )A．14 B．14? C．34 D．34?
6．如图所示，已知空间四边形OABC，OB OC?，且3AOB AOC ?? ?? ?，则cos OA? ????，BC ?????的值为( )A．33 B．0 C．12 D．227．三棱柱
1 1 1ABC ABC?的侧棱与底面垂直，1 1AA AB AC? ? ?，AB AC?，N是BC的中点，点P在1 1AB上，且满足1 1 1AP AB?????? ?????，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，?的值为( )A．12 B．22 C．32 D．2 55
8．点P为底边长为2 3，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则PM PN????? ?????取值范围是( )A．[0，2] B．[0，3] C．[0，4] D．[ 2?，2]
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二．填空题（共6小题）9．由空间向量基本定理可知，空间任意向量p?可由三个不共面的向量, ,a b c?? ?唯一确定地表示为p xa yb zc? ? ??? ? ?，则称(x，y，)z为基底, ,a b c? ??? ?下的广义坐标．特别地，当, ,a b c? ??? ?为单位正交基底时，(x，y，)z为直角坐标．设, ,i j k?? ?分别为直角坐标中x，y，z正方向上的单位向量，则空间直角坐标(1，2，3)在基底, ,i j i j k? ? ? ??? ? ? ?下的广义坐标为．10．在四棱锥P ABCD?中，设向量(4, 2,3)AB? ?????，( 4,1,0)AD? ?????，( 6,2, 8)AP? ? ?????，则顶点P到底面ABCD
的距离为11．在空间直角坐标系O xyz?中，若原点到平面3 2 1x y az? ? ?的距离等于17，则a的值为．12．空间直角坐标系xOy中，过点0(P x，0y，0)z且一个法向量为( , , )n a b c??的平面?的方程为0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z? ? ? ? ? ?，过点0(P x，0y，0)z且方向向量为( , , )( 0)n u v w uvw? ??的直线l的方程为0 0 0x x y y z zu v w? ? ?? ?，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面?的方程为1 0x y z? ? ? ?，直线l是两个平面2 0x y? ? ?与2 1 0x z? ? ?的交线，则直线l与平面?所成角的正弦值为．
13．已知点P是棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的底面1 1 1 1ABC D上一点（包括边界），则PA PC???? ?????的取值范围是．14．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足1 12 2BP BA BC BD? ? ????? ???? ???? ????，则2| |BP????的值为．
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三．解答题（共10小题）15．已知3 2 4 0a m n p? ? ? ?? ? ? ?，( 1) 8 2b x m n yp? ? ? ?? ? ? ?，且m?、n?、p?不共面，若/ /a b??，求x，y的值．16．已知向量(1a ??，3?，2)，( 2b ? ??，1，1)，点( 3A ?，1?，4)，( 2B ?，2?，2)．（1）求：| 2 |a b? ??；（2）在直线AB上，是否存在一点E，使得OE b????? ?？(O为原点）
17．三棱锥O ABC?中M、N分别是OA、BC的中点，G是ABC?的重心，用基向量OA????、OB????、OC????表示MG?????，OG????．
18．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．（1）求证：MN AB?，MN CD?；（2）求MN的长．
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19．如图，在四棱锥M ABCD?中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB、AD的夹角都是60?，N是CM的中点，设a AB??????，b AD? ?????，c AM? ??，试以a?，b?，c?为基向量表示出向量BN????，并求BN的长．
20．如图：ABCD为矩形，PA?平面ABCD，1PA AD? ?，2AB ?，M、N分别是PC、AB中点，请选择适当的坐标系证明：MN ?平面PCD．
21．如图，平行四边形ABCD中，60DAB? ? ?，2AB?，4AD ?；将CBD?沿BD折起到EBD?的位置，使平面EBD ?平面ABD．（1）求证：AB DE?；（2）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角正弦值．
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22．如图四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是平行四边形，PG ?平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且4PG ?，13AG GD?，BG GC?，2GB GC? ?，E是BC的中点．（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若F点是棱PC上一点，且DF GC?，求PFFC的值．
23．如图（1），等腰Rt ABC?中，90ABC? ? ?，4AB ?，以AC边上的中线BD为折痕，将ABD?沿BD折起，构成二面角A BD C? ?，在平面BCD内作CE CD?，且2CE ?，连DE，AE，AC，如图（2）所示．（1）求证：/ /CE平面ABD；（2）如果二面角A BD C? ?为直二面角，求二面角B AC E? ?的余弦值．
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24．如图，平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D?中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60?．（1）求1AC的长；（2）求1BD与AC夹角的余弦值．
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第3讲空间中两直线所成的角一．选择题（共8小题）1．空间四边形ABCD的两对边3AB CD? ?，E、F分别是AD、BC上的点，且7EF ?，: : 1:2AE ED BF FC? ?，则AB与CD所成角大小为( )A．30? B．45? C．60? D．90?2．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E、F分别是棱AB、1BB的中点，则1AE与CF所成角的余弦值为( )A．12 B．22 C．215 D．25
3．过正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的顶点A的平面?与直线1AC垂直，且平面?与平面1 1ABB A的交线为直线l，平面?与平面1 1ADD A的交线为直线m，则直线l与直线m所成角的大小为( )A．6? B．4? C．3? D．2?4．已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A．36 B．63 C．22 D．05．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AB BC AA? ?，90ABC? ? ?，点E、F分别是棱AB、1BB的中点，则直线EF和1BC所成角的度数是( )A．30? B．45? C．60? D．90?
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6．如图，在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，2AB ?，3BC ?，1 6AA ?，则异面直线1AB与1BC所成角的大小为( )A．60? B．45? C．30? D．15?
7．在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AB BC AA? ?，90ABC? ? ?，点E，F分别是棱AB，1BB的中点，则直线EF和1AC所成角的余弦值是( )A．24 B．23 C．63 D．668．在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1 2AC AA? ?，90ACB? ? ?，点E，F分别是棱AB，1BB的中点，当二面角1 1C AA B? ?为45?时，直线EF与1BC的夹角为( )A．60? B．45? C．90? D．120?
二．填空题（共6小题）9．平面a过正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱1AA，/ /a平面1 1BB DD，a?平面ABCD m?，则直线m与直线1BC所成角的正弦值为．10．图，E，F分别是三棱锥P ABC?的棱AP，BC的中点，10PC ?，6AB ?，7EF ?，则异面直线AB与PC所成的角为．
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11．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C? ?，① AB与平面BCD所成角的大小为60?；② ACD?是等边三角形；③ AB与CD所成的角为60?；④ AC BD?；⑤二面角B AC D? ?为120?．则上面结论正确的为．
12．在正四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，1AB BC? ?，1 2AA ?，P，Q分别是线段1C D与AC上的动点，则异面直线CD与AC所成角的余弦值为，线段PQ的长度的最小值为．13．如图，长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，1 2AA AB? ?，1AD ?，点E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成的角的余弦值是．
14．如图，长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，1 2AA AB? ?，1AD ?，E，F，G分别是1DD，AB，1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成角为．
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三．解答题（共4小题）15．空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AD BC?，且4AD ?，6BC ?，求异面直线EF与BC所成角的大小．
16．四面体A BCD?的棱长均为a，E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值．17．长方体
1 1 1 1ABCD ABC D?中，已知AB a?，BC b?，1AA c?，且a b?，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与1CC；AB与1 1AC；AB与1BC．（2）异面直线1D B与AC所成角的余弦值．18．如图所示，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AA ?底面ABC，1AB BC AA? ?，90ABC? ? ?，点E、F分别是棱AB、1BB的中点，求异面直线EF和1BC所成的角的余弦值．
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第4讲直线与平面所成的角一．选择题（共2小题）1．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为6，点O在BC上，且BO OC?，过点O的直线l与直线1AA，1 1C D分别交于M，N两点，则MN与面1 1ADD A所成角的正弦值为( )A．23 B．32 C．22 D．332．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点O为底面ABCD的中心，点P为线段1CC的中点，则直线OP与平面
1ABD所成角的大小为( )A．30? B．45? C．60? D．90?3．如图，在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，已知2AB ?，1 1BC BB? ?，则直线1AB与平面1 1ABCD所成角的正弦值是．
4．在直角梯形ABCD中，/ /AD BC，90A? ? ?，2AB AD?，若将ABD?沿直线BD折成△A BD?，使得A D BC? ?，则直线A B?与平面BCD所成角的正弦值是．5．已知长方体
1 1 1 1ABCD ABC D?中，4AB BC? ?，1 2CC ?，则直线1BC和平面1 1DBB D所成角的正弦值为．
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6．ABC?和DBC?所在的平面互相垂直，且AB BC BD? ?，60CBA DBC? ?? ? ?，则AD与平面BCD所成角的余弦值为．7．已知ABC?和DBC?所在的平面互相垂直，且AB BC BD? ?，120CBA DBC? ?? ? ?，则AB与平面ADC所成角的正弦值为．8．如图，90BAD? ? ?的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为．
9．P是直角三角形ABC所在平面外一点，已知三角形的边长3AB ?，4BC ?，90ABC? ? ?，4PA PB PC? ? ?，则直线PB与平面ABC所成角的余弦值为．三．解答题（共7小题）10．已知平面a外两点A、B到平面a的距离分别为1和2，A、B两点在平面a内的射影之间的距离为3，求直线AB和平面a所成的角．
11．如图，在直角三角形ABC中，90B? ? ?，P为三角形ABC所在平面外的一点，PA?平面ABC，若1PA?，3AB ?，2 2PC ?．( )I求直线PB与平面ABC所成的角（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成的角．（Ⅲ）求直线AB和平面PAC所成角的正弦值．
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12．如图，在四棱锥A BCDE?中，平面ABC ?平面BCDE，90CDE BED? ?? ? ?，2AB CD? ?，1DE BE? ?，2AC ?，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：/ /EF平面ABC；（Ⅱ）求证：AC ?平面BCDE；（Ⅲ）求直线AE与平面ABC所成角的正切值．
13．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的底面是正三角形，侧面1 1BBC C是矩形，M，N分别为BC，1 1BC的中点，P为AM上一点．过1 1BC和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：1 / /AA MN，且平面1A AMN ?平面1 1EBC F；（2）设O为△1 1 1ABC的中心．若/ /AO平面1 1EBC F，且AO AB?，求直线1B E与平面1A AMN所成角的正弦值．
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14．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧面1 1BCC B为矩形，2AB AC? ?，2BC ?，D，E分别为BC、1 1BC的中点，过BC作平面?分别交1 1AB、1AE、1 1AC于点M、F、N．（1）求证：平面BCNM ?平面1AAED．（2）若Q为线段AD上一点，3AD AQ?，1 / /AQ平面BCNM．则当1| |AQ为何值时直线BM与平面1AAED所成角的正弦值为13．（请说明理由）
15．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱与底面垂直，1 2AA AB AC? ? ?，2 2BC ?，M，N分别是1CC，BC的中点，点P在直线1 1AB上，且1 1 1AP AB?????? ?????．（Ⅰ）证明：无论?取何值，总有AM PN?；（Ⅱ）当?取何值时，直线PN与平面ABC所成的角?最大？并求该角取最大值时的正切值．
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16．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱与底面垂直，1 1AA AB AC? ? ?，AB AC?，M、N分别是1CC，BC的中点，点P在线段1 1AB上，且1 1 1AP AB?????? ?????（1）证明：无论?取何值，总有AM PN?；（2）当12? ?时，求直线PN与平面ABC所成角的正切值．
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第5讲二面角一．选择题（共7小题）1．在边长为1的菱形ABCD中，60ABC? ? ?，将菱形沿对角线AC折起，使折起后1BD ?，则二面角B AC D? ?的余弦值为( )
A．13 B．12 C．2 23 D．322．已知矩形ABCD的两边3AB ?，4AD ?，PA?平面ABCD，且45PA?，则二面角A BD P? ?的正切值为( )
A．12 B．13 C．12? D．13?3．在平面?内，已知AB BC?，过直线AB，BC分别作平面?，?，使锐二面角AB? ?? ?为3?，锐二面角BC? ?? ?为3?，则平面?与平面?所成的锐二面角的余弦值为( )A．14 B．34 C．12 D．34
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4．如图，60?的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知4AB ?，6AC ?，8BD ?，则CD的长为( )A．17 B．7 C．2 17 D．9
5．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知4AB ?，6AC ?，8BD ?，2 17CD ?，则该二面角的大小为( )A．150? B．45? C．60? D．120?6．设二面角a? ?? ?的大小是60?，P是二面角内的一点，P点到?，?的距离分别为1cm，2cm，则点P到棱a的距离是( )A．2 213 cm B．213 cm C．23cm D．4 213 cm
7．正四棱锥相邻两个侧面所成的二面角的平面角为?，侧面与底面的二面角的平面角为?，则2cos cos2? ??的值是( )A．1 B．2 C．1? D．328．已知四棱锥P ABCD?的底面是正方形，PA?平面ABCD，且PA AD?，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为．
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9．如图所示的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，过顶点B、D、1C作截面，则二面角1B DC C? ?的平面角的余弦值是．10．将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120?的二面角，已知直角边4 3, 4 6AB AC? ?，那么二面角A BC D? ?的正切值为．
11．已知二面角a? ?? ?等于120?，二面角内一点P满足，PA ??，A ??，PB ??，B ??．4PA?，6PB ?．则点P到棱a的距离为．三．解答题（共10小题）12．如图，四棱锥V ABCD?中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，E、F分别为AB、VC的中点．（1）求证：/ /EF平面VAD；（2）求二面角V AB C? ?的大小．
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13．如图，在四面体ABCD中，D在平面ABC的射影O为棱AB的中点，E为棱BD的中点，过直线OE作一个平面与平面ACD平行，且与BC交于点F，已知5AC BC? ?，2AO DO? ?．（1）证明：F为线段BC的中点；（2）求平面ACD与平面DOF所成锐二面角的余弦值．
14．已知四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，1AP AD? ?，2AB ?，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：/ /AF平面PEC；（2）求PC与平面ABCD所成角的大小；（3）求二面角P EC D? ?的大小．
15．如图所示，四棱锥P ABCD?的底面ABCD是边长为1的菱形，60BCD? ? ?，E是CD的中点，PA?底面ABCD，3PA?．（1）证明：平面PBE ?平面PAB；（2）求异面直线PC与BD所成的角（3）求二面角A BE P? ?的大小．
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16．如图甲，直角梯形ABCD中，/ /AB CD，2DAB ?? ?，点M、N分别在AB，CD上，且MN AB?，MC CB?，2BC ?，4MB ?，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）．（Ⅰ）求证：/ /AB平面DNC；（Ⅱ）当32DN ?时，求二面角D BC N? ?的大小．
17．如图，正方形ABCD的边长为2，将四条边对应的等腰三角形折起构成一个正四棱锥P ABCD?．（1）当Q为PC为中点时，证明/ /PA平面BDQ；（2）当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线PA与BC所成的角为60?；（3）当侧棱与底面所成的角为60?时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值．
18．已知，PA垂直于正方形ABCD所在平面，且PA AB?．（1）求平面PDC与平面ABCD所成二面角的大小；（2）求二面角B PC D? ?的大小；（3）求二面角A PB C? ?的大小；（4）求平面PAC与平面PCD所成二面角的大小．
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19．如图，在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，1 1AB，1 1AD的中点，点P，Q分别在棱1DD，1BB上移动，且(0 2)DP BQ ? ?? ? ? ?．（Ⅰ）当1? ?时，证明：直线1 / /BC平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在?，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由．
20．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?？试画出图形；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，设正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱1CC的中点为E，求平面1AB E与平面ABCD所成二面角的余弦值．
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21．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE ?平面ABCD，90BAD ADC? ?? ? ?，1 12AB AD CD? ? ?．（1）若M为PA中点，求证：/ /AC平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为3?，求线段PD的长度．
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第6讲体积公式与体积变换一．填空题（共2小题）1．在正三棱锥A BCD?中，E、F是AB、BC的中点，EF DE?，若BC a?，则正三棱锥A BCD?的体积为．2．已知两平行平面?、?间的距离为2 3，点A、B ??，点C、D ??，且4AB ?，3CD ?，若异面直线AB与CD所成角为60?，则四面体ABCD的体积为．
二．解答题（共15小题）3．如图，四棱锥P ABCD?中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，12AB BC AD? ?，90BAD ABC? ?? ? ?．（1）证明：直线/ /BC平面PAD；（2）若PCD?面积为2 7，求四棱锥P ABCD?的体积．
4．如图，在三棱锥P ABC?中，PA AB?，PA BC?，AB BC?，2PA AB BC? ? ?，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA BD?；（2）求证：平面BDE ?平面PAC；（3）当/ /PA平面BDE时，求三棱锥E BCD?的体积．
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5．如图四面体ABCD中，ABC?是正三角形，AD CD?．（1）证明：AC BD?；（2）已知ACD?是直角三角形，AB BD?，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE EC?，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
6．如图，在四棱锥P ABCD?中，/ /AB CD，且90BAP CDP? ?? ? ?（1）证明：平面PAB ?平面PAD．（2）若PA PD AB DC? ? ?，90APD? ? ?，四棱锥P一ABCD的体积为9，求四棱锥P ABCD?的侧面积
7．如图，已知正三棱锥P ABC?的侧面是直角三角形，6PA?，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
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8．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE CF?，EF交BD于点H，将DEF?沿EF折到△D EF?的位置．（Ⅰ）证明：AC HD? ?；（Ⅱ）若5AB ?，6AC ?，54AE ?，2 2OD??，求五棱锥D ABCFE??体积．
9．如图，三棱锥A BCD?中，AB ?平面BCD，CD BD?．（Ⅰ）求证：CD ?平面ABD；（Ⅱ）若1AB BD CD? ? ?，M为AD中点，求三棱锥A MBC?的体积．
10．如图，ABC?和BCD?所在平面互相垂直，且2AB BC BD? ? ?，120ABC DBC? ?? ? ?，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点，连接CG、EF、BG．（1）求证：EF ?平面BCG；（2）求三棱锥D BCG?的体积．
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11．如图，四棱锥P ABCD?中，底面是以O为中心的菱形，PO ?底面, 2, ,3ABCD AB BAD M?? ? ?为BC上一点，且12BM ?．（1）证明：BC ?平面POM；（2）若MP AP?，求四棱锥P ABCD?的体积．
12．如图，四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为矩形，PA?平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：/ /PB平面AEC；（2）设1AP ?，3AD ?，三棱锥P ABD?的体积33V ?，求A到平面PBC的距离．
13．如图，三棱柱1ABC A? 1 1BC中，CA CB?，1AB AA?，1 60BAA? ? ?．（1）证明：1AB AC?；（2）若2AB CB? ?，1 6AC ?，求三棱锥C A? 1BC的体积．
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14．如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，O为AB的中点，CA CB?，1AB AA?，1 60BAA? ? ?．（Ⅰ）证明：AB ?平面1AOC；（Ⅱ）若2AB CB? ?，1OA OC?，求三棱锥1A ABC?的体积．
15．如图，直四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，/ /AB CD，AD AB?，2AB ?，2AD ?，1 3AA ?，E为CD上一点，1DE ?，3EC ?（1）证明：BE ?平面1 1BBC C；（2）求三棱锥1 1 1B EAC?的体积．
16．如图，在直四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，底面ABCD为梯形，/ /AB CD，60BAD? ? ?，1CD ?，2AD ?，4AB ?，点G在线段AB上，3AG GB?，1 1AA ?．（1）证明：1 / /DG平面1 1BBC C；（2）求点C到平面1DC G的距离．
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17．如图所示，在直四棱柱ABCD A B C D? ? ? ??中，底面ABCD为直角梯形，/ /AB CD，AD AB?．连接BD?，AC，已知2AB ?，4CD ?，3AD ?，E为线段DD?上的一点，且满足E为线段DD?上的一点，且满足23ED DD??．（1）证明：/ /BD?平面EAC；（2）若该四棱柱高为92，AC BD O??，M为OD?的中点，求三棱锥的M ACE?体积．
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第7讲外接球与内切球一．选择题（共14小题）1．在三棱锥P ABC?中，平面PAB ?平面ABC，ABC?是边长为6的等边三角形，且直线PA与平面ABC?所成角的正切值为2．若三棱锥P ABC?的外接球的表面积为52?，则该三棱锥的体积为( )A．6 3 B．12 3 C．6 D．122．已知四棱锥M ABCD?，MA?平面ABCD，AB BC?，180BCD BAD? ?? ? ?，2MA?，2 6BC ?，30ABM? ? ?．若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A．20? B．22? C．40? D．44?3．已知四棱锥S ABCD?，SA?平面ABCD，AB BC?，BCD DAB ?? ?? ?，2SA?，2 63BC ?，二面角S BC A? ?的大小为3?．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．4 2? B．4? C．8? D．16?4．三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱垂直于底面，且AB BC?，4AB BC? ?，1 6AA ?，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．68? B．32? C．17? D．164?5．三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱垂直于底面，且2AB BC? ?，1 2AC AA? ?，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．48? B．32? C．12? D．8?6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方等于10，三棱柱1 1 1ABC ABC?的侧棱垂直于底面，且2AB BC? ?，AB BC?，
1 2AA ?，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，利用张衡的结论可得该球的表面积为( )A．8 B．8 10 C．12 D．12 10
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7．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，2AB ?，2BAD CBD ?? ?? ?，且二面角A BD C? ?的大小为23?，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为( )A．223? B．283? C．2? D．23?
8．如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰Rt△，2AB ?，2BAD CBD ?? ?? ?，且二面角A BD C? ?的大小为56?，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为( )A．12 ?? B．20? C．24? D．36 ??
9．在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?内有两个球1O，2O相外切，球1O与面1 1ABB A、面ABCD、面1 1ADD A相切，球2O与面1 1BCC B、面1 1CC D D、面1 1 1 1BC D A相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为( )A．(2 3)?? B．(2 3)2 ?? C．(3 3)?? D．(3 3)2 ??
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10．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在球O的球面上，ABC?满足2 2, 90AB ACB? ? ? ?，PA为球O的直径且4PA?，则点P到底面ABC的距离为( )A．2 B．2 2 C．3 D．2 311．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥高之差的绝对值为( )
A．2R B．23R C．43R D．R12．已知三棱锥P ABC?所有顶点都在球O的球面上，底面ABC?是以C为直角顶点的直角三角形，2 2AB ?，3PA PB PC? ? ?，则球O的表面积为( )A．9? B．94? C．4? D．?13．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在球O的球面上，ABC?是边长为2的正三角形，PA，PB，PC
两两垂直，则球O的体积为( )A．32? B．3? C．3? D．4 3?14．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面PCA?平面PCB，PA AC?，PB BC?，三棱锥P ABC?的体积为a，则球O的体积为( )A．2 a? B．4 a? C．23 a? D．43 a?
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二．填空题（共11小题）15．有下列命题：①边长为1的正四面体的内切球半径为612；②正方体的内切球、棱切球（正方体的每条棱都与球相切）、外接球的半径之比为1: 2 : 3；③棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的内切球被平面1ABD截得的截面面积为6?．其中正确命题的序号是（请填所有正确命题的序号）；
16．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线1AC被平面1ABD和平面1 1BCD三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1: 2:3；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；④正方体与以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6:?其中正确命题的序号为．
17．已知四面体ABCD满足：1AB BC CD DA AC? ? ? ? ?，2BD ?，则四面体ABCD外接球的表面积为．18．在三棱锥P ABC?中，平面PAB ?平面ABC，ABC?是边长为6的等边三角形，PAB?是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．19．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，/ /AD BC，2AB DC AD? ? ?，4BC ?，PA PD?，平面PAD ?平面ABCD，则球O的表面积为
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20．在平行四边形ABCD中，BD CD?，AB BD?，2AB CD? ?，2 2BD ?．沿BD把ABD?翻折起来，形成三棱锥A BCD?，且平面ABD ?平面BCD，则该三棱锥外接球的体积为．21．一个三棱锥A BCD?内接于球O，且3AD BC? ?，4AC BD? ?，13AB CD? ?，则球心O到平面ABC的距离是．22．如图为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体相切，则两球半径之和为．
23．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，正方体内衣球1O与面ABCD，1 1BCC B，1 1ABB A均相切，正方体内另一球2O与面1 1ADD A，1 1 1 1ABC D，1 1CDDC均相切，且两球外切，那么两球表面积之和的最小值是．24．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R，圆锥底面半径为r．则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为．
25．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在球O的球面上，90BAC? ? ?，2 2AB AC? ?，2PA?，PAC PAB? ??，则当球O的表面积最小时，三棱锥P ABC?的体积为．
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三．解答题（共1小题）26．如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．
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第8讲立体几何范围与最值问题一．选择题（共34小题）1．在空间中有一棱长为a的正四面体，其俯视图的面积的最大值为( )A．2a B．22a C．234a D．24a2．已知三棱锥P ABC?的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC?满足3AB BC? ?，3AC ?，若该三棱锥体积的最大值为3 34，则其外接球的半径为( )A．1 B．2 C．3 D．23
3．已知三棱锥A BCD?的四个顶点在以AB为直径的球面上，BC CD?，CE BD?于E，1CE ?，若三棱锥A BCD?的体积的最大值为43，则该球的表面积为( )A．12? B．14? C．16? D．18?4．已知球的直径4DC ?，A，B是该球面上的两点，30ADC BDC? ?? ? ?，则三棱锥A BCD?的体积最大值是( )A．2 B．2 3 C．4 D．3 35．如图，正三棱锥P ABC?的侧棱长为a，两侧棱PA、PC的夹角为30?，E、F分别是PA、PC上的动点，则BEF?的周长的最小值是( )
A．2a B．3a C．6a D．5a6．在正三棱锥P ABC?中，PA，PB，PC两两垂直，2PA?，点E在线段AB上，且2AE EB?，过点E作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是( )A．89? B．1118? C．512? D．49?7．如图，在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界）．若1 / /B P平面1ABM，则1C P的最小值是( )
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A．305 B．2 305 C．2 75 D．4 758．在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点1P，2P分别是线段AB，1BD（不包括端点）上的动点，且线段1 2PP平行于平面1 1A ADD，则四面体2 1 1P APB?的体积的最大值是( )A．124 B．112 C．16 D．129．棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点1P，2P分别是线段AB，1BD（不包括端点上的动点，且线段1 2PP平行于平面1 1A ADD，则四面体1 2 1PP AB的体积的最大值是( )A．124 B．112 C．16 D．1210．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球
表面积最小时，它的高为( )A．3 B．2 2 C．2 3 D．3 311．已知正四棱锥S ABCD?中，2 3SA?，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )A．1 B．3 C．2 D．312．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若2AB CD? ?，则四面体ABCD的体积的最大值为( )A．2 33 B．4 33 C．2 3 D．8 3313．如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．E，F，G，H
为圆O上的点，EAB?，FBC?，GCD?，HDA?分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起EAB?，FBC?，GCD?，HDA?，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥．当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积（单位：3)cm的最大值为( )
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A．3 3 B．8 53 C．3 5 D．16 5314．如图1，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．点E，F，G，H为圆O上的点，ABE?，BCF?，CDG?，ADH?分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE?，BCF?，CDG?，ADH?，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥P ABCD?（如图2)．当四棱锥P ABCD?的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB与CD所成角的余弦值为( )
A．55 B．22 C．2 55 D．2 3315．如图，在三棱锥P ABC?中，PA?底面ABC，90ACB? ? ?，AE PB?于E，AF PC?于F，若2PA AB? ?，BPC ?? ?，则当AEF?的面积最大时，tan?的值为( )
A．2 B．12 C．2 D．2216．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点P在1AC上运动（包括端点），则BP与1AD所成角的取值范围是( )A．[4?，]3? B．[4?，]2? C．[6?，]2? D．[6?，]3?17．已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若6AD BC? ?，且60ABD ACD? ?? ? ?，则四面体
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ABCD的体积的最大值是( )A．18 2 B．36 2 C．18 D．3618．在直四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，底面ABCD为菱形，E，F分别是1BB，1DD的中点，G为AE的中点且3FG ?，则EFG?的面积的最大值为( )A．32 B．3 C．2 3 D．9 3419．在正四棱锥S ABCD?中，SO ?平面ABCD于O，2SO ?，底面边长为2，点P，Q分别在线段BD，SC上移动，则PQ两点的最短距离为( )A．55 B．2 55 C．2 D．1
20．已知二面角l? ?? ?为60?，动点P，Q分别在面?，?内，P到?的距离为3，Q到?的距离为2 3，则P，Q两点之间距离最小值为( )A．2 B．2 C．4 D．2 321．如果/ /? ?，AB与AC是夹在平面?与?之间的两条线段，AB AC?且2AB ?，直线AB与平面?所成的角为30?，那么线段AC长的取值范围是( )A．2 3( 3，4 3)3 B．[1，)?? C．2 3(1, )3 D．2 3[ 3，)??22．正三棱柱1 1 1ABC ABC?中，各棱长均为2，M为1AA中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是( )
A．10 B．11 C．4 3? D．4 2?23．在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，2AB ?，1 1BC AA? ?，点M为1AB的中点，点P为对角线1AC上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP PQ?的最小值为( )A．22 B．32 C．34 D．124．在ABC?中，90ACB? ? ?，2BC ?，3AC ?，点D在斜边AB上，以CD为棱把它折成直二面角A CD B? ?，折叠后AB的最小值为( )A．6 B．7 C．2 2 D．325．在平面四边形ABCD中，2AD AB? ?，5CD CB? ?，且AD AB?，现将ABD?沿着对角线BD翻
折成△A BD?，则在△A BD?折起至转到平面BCD内的过程中，直线AC?与平面BCD所成的最大角为()
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A．30? B．45? C．60? D．90?26．已知三棱锥ABCD中，AB CD?，且AB与平面BCD成60?角．当BCDACDSS??的值取到最大值时，二面角A CD B? ?的大小为( )A．30? B．45? C．60? D．90?27．已知三棱锥P ABC?的所有顶点都在表面积为16?的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ABC?的体积最大时，设二面角P AB C? ?的大小为?，则sin (? ? )A．23 B．53 C．63 D．7328．在正方体
1 1 1 1ABCD ABC D?中，2AB ?，P是底面正方形ABCD内一点，M是1CC中点若1PA，PM与底面所成角相等，则1tan APA?最大值为( )A．2 B．3 C．3 24 D．3 3429．已知ABC?的顶点A?平面?，点B，C在平面?同侧，且2AB ?，3AC ?，若AB，AC与?所成角分别为3?，6?，则线段BC长度的取值范围为( )
A．[2 3?，1] B．[1，7] C．[ 7，7 2 3]? D．[1，7 2 3]?30．如图，空间直角坐标系Oxyz中，正三角形ABC的顶点A，B分别在xOy平面和z轴上移动．若2AB ?，则点C到原点O的最远距离为( )
A．3 1? B．2 C．3 1? D．331．棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移
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动，则点1C到原点O的最远距离为( )A．2 2 B．2 3 C．5 D．432．如图在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中E为BC的中点，点P在线段1D E上，点P到直线1CC的距离的最小值为( )
A．5 B．2 55 C．52 D．5533．若点A，B，C是半径为2的球面上三点，且2AB ?，则球心到平面ABC的距离最大值为( )A．22 B．32 C．2 D．334．二面角l? ?? ?的平面角为120?，在面?内，AB l?于B，2AB ?在平面?内，CD l?于D，3CD ?，1BD ?，M是棱l上的一个动点，则AM CM?的最小值为( )A．6 B．32 C．26 D．5二．多选题（共1小题）35．已知三棱锥A BCD?中，BC CD?，2AB AD? ?，1BC ?，3CD ?，则( )
A．三棱锥的外接球的体积为43?B．三棱锥的外接球的体积为83?C．三棱锥的体积的最大值为36D．三棱锥的体积的最大值为3三．填空题（共14小题）36．已知三棱锥A BCD?满足3AB BD DC CA? ? ? ?，则该三棱锥体积的最大值为．37．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC?为等边三角形且其面积为9 3，则三棱锥D ABC?体积的最大值为．
38．点P在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的侧面1 1BCC B及其边界上运动，并保持1AP BD?，若正方体边长为2，则| |PB的取值范围是．
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39．如图，在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点M是AD中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），使四面体1ABMP体积为23，则1C P的最小值是．40．棱长为1的正方体ABCD EFGH?如图所示，M，N分别为直线AF，BG上的动点，则线段MN长
度的最小值为．41．如图，在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点P是线段1BD上的动点．当PAC?在平面1DC，1BC，AC上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为
1S，2S，3S．( )i当33BP ?时，1S 2S（填“?”或“?”或“?”)；1 2 3( )ii S S S? ?的最大值为．42．在棱长为1的正方体
1 1 1 1ABCD ABC D?中，点M是棱AD的中点，点P是线段1CD上的动点，点Q是线段CM上的动点，设直线PQ与平面ABCD所成的角为?，则tan?的最大值为．43．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，DBC?，ECA?，FAB?分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC?，ECA?，FAB?，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当所得三棱
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锥体积（单位：3)cm最大时，ABC?的边长为( )cm．44．在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E为线段1BC的中点，F是棱1 1C D上的动点，若点P为线段1BD上的动点，则PE PF?的最小值为．
45．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，M为棱1AA的中点，且9 2MC ?，点P为底面1 1 1 1ABC D所在平面上一点，若直线PM，PC与底面1 1 1 1ABC D所成的角相等，则动点P的轨迹所围成的几何图形的面积为．46．如图，在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E为BC的中点，点P在线段1D E上，点Q在线段1CC上，则线段PQ长的最小值为．
47．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为a，点E为1AA的中点，在对角面1 1BB D D上取一点M，使AM ME?最小，其最小值为．
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48．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为AC的中点，P在线段DM上，则2( )AP BP?的最小值为．49．在棱长均为1的正四面体ABCD中，M为AC的中点，P为DM上的动点，则PA PB?的最小值为．四．解答题（共1小题）50．如图所示，正三棱锥A BCD?的底面边长为a，侧棱长为2a，点E，F分别为AC、AD上的动点，求截面BEF?周长的最小值和这时点E，F的位置第9讲立体几何截面和交线问题
一．选择题（共13小题）1．在棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E，F分别为1 1AD，1 1DC的中点，则过B，E，F三点的平面截该正方体，所得截面的周长为( )A．5 2 B．6 2 C．2 2 13? D．2 4 13?2．已知圆2 2:( 2) 4M x y? ? ?，过点(1,1)的直线中被圆M截得的最短弦长为2 2，类比上述方法：设球O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O的截面，则最小截面的面积为( )A．3? B．4? C．5? D．6?3．已知正方体
1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为2，M为1CC的中点，若AM ?平面?，且B?平面?，则平面?截正方体所得截面的周长为( )A．3 2 2 5? B．4 4 2? C．2 2 2 5? D．6 24．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?棱长为4，M，N，P分别是棱1 1AD，1A A，1 1DC的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为( )
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A．2 3 B．4 3 C．6 3 D．12 35．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方体所得截面面积的最大值为( )A．3 34 B．2 33 C．3 24 D．326．体积为18 3的正三棱锥A BCD?的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且: 2:3R BC ?，点E为线段BD上一点，且2DE EB?，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )
A．[4?，12 ]? B．[8?，16 ]? C．[8?，12 ]? D．[12?，16 ]?7．圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为?弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则?的取值范围是( )A．[ 2 ,2 )? ? B．[ , 2 ]? ? C．{ 2 }? D．2[ , )2? ?8．如图，已知四面体ABCD为正四面体，1AB ?，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面?去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为( )
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A．14 B．24 C．34 D．19．设四棱锥P ABCD?的底面不是平行四边形，用平面?去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面(? )
A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个10．如图，在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的对角线1AC上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP x?，记该球面与正方体表面的交线的长度和为( )f x，则函数( )f x的图象最有可能的是()
A．B．
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C．D．11．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )
A．56? B．23? C．? D．76?12．已知三棱锥P ABC?的棱AP、AB、AC两两垂直，且长度都为3，以顶点P为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( )A．23? B．56? C．? D．32?13．已知底面为正方形的四棱锥O ABCD?，各侧棱长都为2 3，底面面积为16，以O为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O ABCD?相交部分的体积是( )A．29? B．89? C．169? D．43?二．多选题（共2小题）
14．如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是( )
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A．点1C，1D到平面PMN的距离相等B．PN与QM为异面直线C．90PNM? ? ?D．平面PMN截该正方体的截面为正六边形15．如图，棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱1CC的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有( )
A．存在点G，使OD垂直于平面EFGB．对于任意点G，/ /OA平面EFGC．直线EF的被球O截得的弦长为2D．过直线EF的平面截球O所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2?三．填空题（共17小题）16．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为4，E，F分别是BC和1 1C D的中点，经过点A，E，F的平面把正方体1 1 1 1ABCD ABC D?截成两部分，则截面的周长为．17．如图正方体
1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为2，P为BC的中点，Q为线段1CC的中点，过点A，P，Q的平面?截该正方体所得的截面的周长为．
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18．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为2，M为1CC的中点，若AM ?平面?，且B?平面?，则平面?截正方体所得截面的周长为．19．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线1 2OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为．20．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?棱长为4，M，N，P分别是棱1 1AD，1A A，1 1DC的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为．21．已知棱长为2的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?，球O与该正方体的各个面相切，则平面1ACB截此球所得的截面的面积为．
22．球O为正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的内切球，2AB ?，E，F分别为棱AD，1CC的中点，则直线EF被球O截得的线段长为．23．如图，动点P在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的对角线1BD上，过点P作垂直于平面1 1BB D D的直线，与正方体表面相交于M，N两点，设BP x?，MN y?，则函数( )y f x?的图象大致是．（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）
24．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和? ?( )GF EF?等于．
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25．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，以顶点A为球心，2 33为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．26．已知正三棱锥P ABC?侧棱长为1，且PA、PB、PC两两垂直，以顶点A为球心，2 33为半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为．27．以棱长为2的正方体中心点O为球心，以(1 3)r r? ?为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是．28．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?棱长为2，以其体对角线的交点O为球心，213为半径的球与正方体表面的交
线长为．29．已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以4 2为球的半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为．30．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）①当10 2CQ? ?时，S为四边形②当12CQ ?时，S为等腰梯形
③当34CQ ?时，S与1 1C D的交点R满足1 1 13C R ?④当3 14 CQ? ?时，S为四边形⑤当1CQ ?时，S的面积为62
31．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，若10 2CQ? ?，则S的面积取值范围是．
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32．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当1CQ ?时，S的面积为．四．解答题（共5小题）33．如图，在正三棱锥A BCD?中，30BAC? ? ?，AB a?，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC
、CA于点E、F、G、H．（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由．（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC ?平面EFGH，请给出证明．
34．如图所示，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，点G在棱1 1DC上，且1 1 114DG DC?，点E、F、M分别是棱1AA、AB、BC的中点，P为线段1B D上一点，4AB ?．（Ⅰ）若平面EFP交平面1 1DCC D于直线l，求证：1/ /l AB；（Ⅱ）若直线1B D ?平面EFP．( )i求三棱锥1B EFP?的表面积；( )ii试作出平面EGM与正方体1 1 1 1ABCD ABC D?各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱1 1AD交于点Q，求三棱锥Q EFP?的体积．
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35．如图，在棱长都等于1的三棱锥A BCD?中，F是AC上的一点，过F作平行于棱AB和棱CD的截面，分别交BC，AD，BD于E，G，H．（1）证明截面EFGH是矩形；（2）F在AC的什么位置时，截面面积最大，说明理由．
36．如图，已知三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1AA ?底面ABC，90BAC? ? ?，1 1AA ?，3AB ?，2AC ?，E，F分别为棱1CC，BC的中点．（1）求异面直线EF与1AB所成角的大小；（2）若G为线段1AA的中点，试在图中作出过E，F，G三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值．
37．已知三棱锥A BCD?中，ABC?与BCD?均为等腰直角三角形，且90BAC? ? ?，6BC CD? ?，E为AD上一点，且CE ?平面ABD．（1）求证：AB CD?；（2）过E作一平面分别交AC，BC，BD于F，G，H，若四边形EFGH为平行四边形，求多面体ABEFGH的表面积．
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第10讲立体几何翻折与旋转问题一．选择题（共9小题）1．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：① AC BD?；② ADC?是正三角形；③ AB与CD成60?角；④ AB与平面BCD成60?角．则其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，已知四面体ABCD为正四面体，1AB ?，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面?去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面
积最大值为( )A．14 B．24 C．34 D．1
3．矩形ABCD中，3AB ?，1BC ?，将ABC?与ADC?沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为( )A．[0, ]6? B．[0, ]3? C．[0, ]2? D．2[0, ]3?
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4．已知矩形ABCD，1AB ?，2BC ?．将ABD?沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直5．在Rt ABC?中，2C ?? ?，1AC ?，3BC ?，D是AB边上的动点，设BD x?，把BDC?沿DC翻折为△B DC?，若存在某个位置，使得异面直线B C?与AD所成的角为3?，则实数x的取值范围是( )
A．3 30 2x ?? ? B．3 3 22 x? ? ? C．2 30 2x ?? ? D．2 2 22 x? ? ?6．如图，在Rt ABC?中，1AC ?，BC x?，D是斜边AB的中点，将BCD?沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD?，则x的取值范围是( )A．(0，3] B．2( 2，2] C．( 3，2 3] D．(2，4]
7．如图，在直二面角A BD C? ?中，ABD?、CBD?均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD中点E，将ABE?沿BE翻折到△1ABE，在ABE?的翻折过程中，下列不可能成立的是( )A．BC与平面1ABE内某直线平行B．/ /CD平面1ABEC．BC与平面1ABE内某直线垂直D．1BC AB?
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8．如图，在ABC?中，90ACB? ? ?，CAB ?? ?，M为AB的中点．将ACM?沿着CM翻折至△A CM?，使得A M MB? ?，则?的取值不可能为( )A．9? B．6? C．5? D．3?
9．在斜边长为5的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上运动，将CBD?沿BD翻折到△1C BD位置，且使得三棱锥1C ABD?体积最大，则AD长为( )A．2 B．52 C．3 D．4
二．填空题（共7小题）10．将边长为2，锐角为60?的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F，G分另AC，BD，BC的中点，则下列命题中正确的是．（将正确的命题序号全填上）① / /EF AB；② EF是异面直线AC与BD的公垂线；③ / /CD平面EFG；④ AC垂直于截面BDE．11．在ABC?中，已知2 3AB ?，2 6BC ?，45ABC? ? ?，D是边AC上一点，将ABD?沿BD折起，得到三棱锥A BCD?，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM x?，则x的取值范围为．
12．如图，矩形ABCD中，2AB AD?，E为边AB的中点，将ADE?沿直线DE翻折成△1ADE．若M为线段1AC的中点，则在ADE?翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM的长是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使1DE AC?；
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④存在某个位置，使/ /MB平面1ADE．13．如图，在ABC?中，90ACB? ? ?，CAB ?? ?，M为AB的中点，将ACM?沿着CM翻折至△A CM?，使得A M MB? ?，则?的取值可能为（填上正确的所有序号）① 9? ② 7? ③ 6? ④ 3?
14．如图，矩形ABCD中，3AB ?，4BC ?，沿对角线BD将ABD?折起得到△1ABD，且点1A在平面BCD上的射影O落在BC边上，记二面角1C AB D? ?的平面角的大小为?，则sin?的值等于．15．已知ABC?中，90C? ? ?，tan 2A?，M为AB的中点，现将ACM?沿CM折成三棱锥P CBM?，当二面角P CM B? ?大小为60?时，ABPB ?．
16．已知直角梯形ABCD，AB AD?，CD AD?，2 2 2AB AD CD? ? ?，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为；当三棱锥外接球的体积最小时，三棱锥的体积为．三．解答题（共15小题）17．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC?折起，使点C
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到达点P的位置，且PF BF?．（1）证明：平面PEF ?平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．18．如图，在矩形ABCD中，2, 2 3AB AD? ?，ABPCDFEE，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕
把CDF?折起，点C到达点P的位置，使1PE ?．（1）证明：平面PEF ?平面ABFD；（2）求二面角P DF E? ?的正弦值．
19．如图，四边形ABCD中，/ /AD BC，90BAD? ? ?，2AB BC? ?，2 2AD ?，E，F分别是线段AD，CD的中点．以EF为折痕把DEF?折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点．（1）证明：平面/ /GAC平面PEF；（2）若平面PEF ?平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值．
20．已知D，E分别为边AB，AC上的一点，/ /DE BC且| | (0 1)| |ADAB ? ?? ? ?，如图所示，将ADE?沿DE
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折起为△1ADE，使A点位于1A点的位置，连接1A A，1AB，1AC．（1）当12? ?时，记平面1ABC与平面1ADE的交线为l，证明：1l AA?；（2）若ABC?为直角三角形，2ABC ?? ?，且将ADE?沿DE折成直二面角，求当?为何值时，平面1ABC与平面1ADE所成的二面角为3?．
21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足1AD ?，DE AB?．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?为直二面角，连接1AB，1AC．（1）求二面角1C AB D? ?的余弦值；（2）线段1AE上是否存在点P，使得直线CP与平面1ABC所成的角为60?？若存在，求出1AP的长；若不存在，请说明理由．
22．已知直角三角形ABC中，6AC ?，3BC ?，90ABC? ? ?，点D，E分别是边AC，AB上的动点（不含A点），且满足32ADAE ?（图1)．将ADE?沿DE折起，使得平面ADE ?平面BCDE，连结AB、AC（图2)．( )I求证：AD ?平面BCDE；( )II求四棱锥A BCDE?体积的最大值．
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23．等边三角形ABC的边长为3，点D，、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA? ?．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连接1AB、1AC．（1）求证：1AD ?平面BCED；（2）求
1AE与平面1ABC所成角的正弦值．（3）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为60?？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．24．如图1，ABC?是等腰直角三角形，3 2AB AC? ?，D，E分别是AC，AB上的点，2CD BE? ?将ADE?沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE??，使得2 3A B A C? ?? ?．（1）证明：平面A BC? ?平面BCD；（2）求A B?与平面A CD?所成角的余弦值．
25．如图1，ABC?是等腰直角三角形3 2AB AC? ?，D，E分别是AC，AB上的点，2CD BE? ?．将ADE?沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE??，使得2 3A B AC? ? ? ?．（1）证明：平面A BC? ?平面BCD；
（2）求A B?与平面ACD?所成角的正弦值．26．已知如图一Rt ABC?，4AC BC? ?，90ACB? ? ?，D，E分别为AC，AB的中点，F在BC上，且
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3BF FC?，G为DC中点，将ADE?沿DE折起，BEF?沿EF折起，使得A，B重合于一点（如图二），设为P，（1）求证：EG ?平面PDF；（2）求二面角C PF E? ?的大小．
27．等边ABC?的边长为3，点D，E分别为AB，AC上的点，且满足2AE BDEC DA? ?（如图① )，将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连接1AB，1AC（如图② )．（1）求证：1AD ?平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P（不包括端点），使直线1PA与平面1ABD所成的角为60?？若存在，求出1AP的长，若不存在，请说明理由．
0x?28．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA? ?（如图1)．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连结1AB、1AC（如图2)．
（1）求证：1AD ?平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为60?？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
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29．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA? ?（如图1)．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连结1AB、1AC（如图2)．（Ⅰ）求证：
1AD ?平面BCED；（Ⅱ）若点P在线段BC上，52PB ?，求直线1PA与平面1ABD所成的角．30．如图，ABC?中，2AB ?，1BC ?，90ABC? ? ?，D，E分别为AB，AC上的点，/ /DE BC，将ADE?沿DE折到△A DE?的位置，使平面A DE? ?平面BCED．（1）当D为AB的中点时，设平面A BC?与平面A DE?所成的二面角的平面角为(0 )2?? ?? ?，直线A C?与平面A DE?所成角为?，求tan( )? ??的值；（2）当D点在AB边上运动时，求四棱锥A BCED??体积的最大值．
31．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12AD CEDB EA? ?（如图1)．将ADE?沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1A DE B? ?成直二面角，连结1AB、1AC（如图2)．（Ⅰ）求证：1AD ?平面:BCED
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（Ⅱ）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角的正弦值为32？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．第11讲非常规空间几何体为载体一．选择题（共1小题）1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，4AC BC? ?，4 2PA?，则二面角A PB C? ?的大小的正弦值为( )
A．22 B．23 C．63 D．33二．解答题（共19小题）2．如图，AB是圆的直径，PA?圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC ?平面PBC；（Ⅱ）若2AB ?，1AC ?，1PA?，求二面角P BC A? ?的大小．
3．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆0上异于A，B的点，（1）求证：BC ?平面PAC；（2）设Q，M分别为PA，AC的中点，问：对于线段OM上的任一点G，是否都有/ /QG平面PBC？并说明理由．
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4．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1PO OB? ?，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC ?平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P ABC?体积的最大值；（Ⅲ）若2BC ?，点E在线段PB上，求CE OE?的最小值．
5．如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在平面，且1PO OB? ?．（1）D为线段AC的中点，求证：AC ?平面PDO；（2）当三棱锥P ABC?的体积最大时，求异面直线PB与AC所成的角．6．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且6PO OB? ?．D
为线段AC的中点，（Ⅰ）求证：平面PAC ?平面PDO；（Ⅱ）若点E在线段PB上，且2PE EB?，求三棱锥E POC?体积的最大值．
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7．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120?得到的，G是弧DF的四等分点，且靠近F．（1）设P是?CE上的一点，且AP BE?，求CBP?的大小；（2）当3AB ?，2AD ?时，求二面角E AG C? ?的余弦值的大小．
8．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转150?得到的，（1）设P是?CE上一点，且AP BE?，若BC中点为H，求证：平面APH ?平面ABC；（2）若2AB AD? ?，G为?DF上的一点，且60GAD? ? ?，求二面角E AG C? ?的余弦值．
9．如图，已知四棱锥P ABCD?，PAD?是以AD为斜边的等腰直角三角形，/ /BC AD，CD AD?，2 2PC AD DC CB? ? ?，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：/ /CE平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
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10．如图，在平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D?中，1AA ?平面ABCD，且2AB AD? ?，1 3AA ?，120BAD? ? ?．（1）求异面直线1AB与1AC所成角的余弦值；（2）求二面角1B AD A? ?的正弦值．11．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O?直径，FB是圆台的一条母线．
（1）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：/ /GH面ABC；（2）已知1 22EF FB AC? ? ?，AB BC?，求二面角F BC O? ?的余弦值．12．如图，已知圆柱内有一个三棱锥A BCD?，AD为圆柱的一条母线，DF，BC为下底面圆O的直径，2AD CD? ?
，1BD ?．（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点E，使得/ /EF平面ABC？证明你的结论．（Ⅱ）设点M为棱AC的中点，2DN NC????? ????，求平面ABD与平面BMN所成锐二面角的余弦值．
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13．如图，已知圆柱内有一个三棱锥A BCD?，AD为圆柱的一条母线，DF，BC为下底面圆O的直径，2AD BC? ?．（Ⅰ）在圆柱的上底面圆内是否存在一点E，使得/ /EF平面ABC？证明你的结论．（Ⅱ）设点M为棱AC的中点，2DN NC????? ????，求四棱锥B ADNM?体积的最大值．
14．如图，在三棱台DEF ABC?中，2AB DE?，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：/ /BD平面FGH；（Ⅱ）若CF ?平面ABC，AB BC?，CF DE?，45BAC? ? ?，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．
15．如图，在四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，侧棱1A A?底面ABCD，AB AC?，1AB ?，1 2AC AA? ?，
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5AD CD? ?，且点M和N分别为1BC和1D D的中点．（1）求证：/ /MN平面ABCD；（2）求平面1ACD与平面1ACB的夹角的余弦值；（3）设E为棱1 1AB上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为13，求线段1AE的长．
16．如图，在四棱锥A EFCB?中，AEF?为等边三角形，平面AEF ?平面EFCB，/ /EF BC，4BC ?，2EF a?，60EBC FCB? ?? ? ?，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO BE?；（Ⅱ）求二面角F AE B? ?的余弦值；（Ⅲ）若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为2 65，求实数a的值．
17．如图，在四棱锥A EFCB?中，AEF?为等边三角形，平面AEF ?平面EFCB，/ /EF BC，4BC ?，2EF a?，60EBC FCB? ?? ? ?，O为EF的中点．（Ⅰ）求证：AO BE?．（Ⅱ）求二面角F AE B? ?的余弦值；（Ⅲ）若BE ?平面AOC，求a的值．
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18．如图，在四棱锥P ABCD?中，平面PAD ?平面ABCD，PA PD?，PA PD?，AB AD?，1AB ?，2AD ?，5AC CD? ?．（1）求证：PD ?平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3）设(0 1)AM AP? ??????? ???? ? ?，是否存在实数?使得/ /BM平面PCD？若存在，求?的值；若不存在，说明理由．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED ?平面ABCD，/ /EF AB，2AB ?，1BC EF? ?，6AE ?，3DE ?，60BAD? ? ?，G为BC的中点．（1）求证：/ /FG平面BED；（2）求证：BD ?平面AED；（3）求点F到平面BED的距离．
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20．已知：平行四边形ABCD中，45DAB? ? ?，2 2 2AB AD? ?，平面AED ?平面ABCD，AED?为等边三角形，/ /EF AB，2EF ?，M为线段BC的中点．（1）求证：直线/ /MF平面BED；（2）求证：平面BED ?平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值．第12讲立体几何空间轨迹问题
一．选择题（共14小题）1．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，在正方体的侧面1 1BCC B上的点P到点A距离为2 33的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是( )A．B．
C．D．2．如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，P是侧面1 1BBC C内一动点，若P到直线BC与直线1 1C D的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
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A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线3．如图，在棱长为1的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，P为棱1 1AB中点，点Q在侧面1 1DCC D内运动，若PBQ PBD? ??，则动点Q的轨迹所在曲线为( )
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线4．在棱长为3的正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E是1AA的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设1PD，PE与底面ABCD所成的角分别为1?，2 1(? ?，2?均不为0)，若1 2? ??，则三棱锥1 1P BBC?体积的最小值是( )A．92 B．52 C．32 D．545．如图，在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E是1AA的中点，P为地面ABCD内一动点，设1PD、PE与地面ABCD所成的角分别为
1?、2 1(? ?、2?均不为0)，若1 2? ??，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分( )A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
6．如图，在四棱锥P ABCD?中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ?底面ABCD，
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M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP MC?，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )A．B．
C．D．7．如图，在长方形ABCD中，3AB ?，1BC ?，E为线段DC上一动点，现将AED?沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为()A．32 B．2 33 C．2? D．3?
8．已知平行六面体1 1 1 1ABCD ABC D?，1AA与平面1 1 1 1ABC D垂直，且AD AB?，E为1CC中点，P在对角面1 1BB D D所在平面内运动，若EP与AC成30?角，则点P轨迹为( )A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．在正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E为1AA的中点，点P在其对角面1 1BB D D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是( )A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分
10．如图，长方体ABCD A B C D? ? ? ? ?中，2AB BC? ?，3AA??，上底面A B C D? ? ? ?的中心为O?，当点E在线段CC?上从C移动到C?时，点O?在平面BDE上的射影G的轨迹长度为( )
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A．23? B．33 ? C．3? D．36?11．如图，若三棱锥A BCD?的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到点A的距离之比为正常数?，且动点P的轨迹是抛物线，则二面角A BC D? ?平面角的余弦值为( )
A．? B．21 ?? C．1? D．211 ??12．如图，正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，点M在棱AB上，且13AM ?，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线1 1AD的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是( )
A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线13．一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt PAB?，其中6PA ?，则该椭圆的长轴长为( )
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A．6 B．8 C．4 3 D．314．平面?、?、?两两互相垂直，点A ??，点A到?、?的距离都是3，P是?上的动点，P到?的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点到?的距离的最小值是( )A．3 3? B．3 2 3? C．6 3? D．3二．填空题（共7小题）15．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，在正方体的侧面1 1BCBC上到点A距离为2 33的点的集合形成一条直线，那么这条曲线的形状是，它的长度
是．若将“在正方体的侧面1 1BCC B上到点A距离为2 33的点的集合”改为在正方体表面上与点P的距离为2 33的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．16．已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为1，动点P在正方体的表面上运动，且与点A的距离为33．动点P的集合形成一条曲线，这条曲线在平面1 1ABB A上部分的形状是；此曲线的周长是．
17．如图，已知正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的棱长为( 2)a a ?，长度为2的线段MN的一个端点M在1DD上运
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动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为．18．正方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，E、F分别是棱1 1AB，BC上的动点，且1AE BF?，P为EF的中点，则
点P的轨迹是．19．在长方体1 1 1 1ABCD ABC D?中，8AB ?，6BC ?，在线段BD，1 1AC上各有一动点P，Q，则PQ的中点M的轨迹图形的面积为．20．如图，在棱长为2的正四面体A BCD?中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且| | 3EF ?．若记EF中点P的轨迹为L，则| |L等于．（注:| |L表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，| |L分别对应长度、面积、体积．)
21．点M为正方体1 1 1 1ABCD ABC D?的内切球O球面上的动点，点N为1 1BC上一点，1 12NC NB?，DM BN?，若球O的体积为9 2?，则动点M的轨迹的长度为．
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第13讲立体几何空间角的大小比较一．选择题（共17小题）1．如图，已知ABC?，D是AB的中点，沿直线CD将ACD?折成△ACD?，所成二面角A CD B?? ?的平面角为?，则( )
A．ADB ?? ? ? B．ADB ?? ? ? C．ACB ?? ? ? D．ACB ?? ? ?2．如图，已知正四面体D ABC?（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP PB?，2BQ CRQC RA? ?，分别记二面角D PR Q? ?，D PQ R? ?，D QR P? ?的平面角为?、?、?，则( )
A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?3．如图，正四面体ABCD中，P、Q、R在棱AB、AD、AC上，且AQ QD?，12AP CRPB RA? ?，分别记二面角A PQ R? ?，A PR Q? ?，A QR P? ?的平面角为?、?、?，则( )
A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?
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4．已知四棱锥S ABCD?的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为?，SE与面ABCD所成的角为?，二面角S AB C? ?的平面角为?，则( )A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?
5．设三棱锥V ABC?的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为?，直线PB与平面ABC所成角为?，二面角P AC B? ?的平面角为?，则( )A．? ??，? ?? B．? ??，? ?? C．? ??，? ?? D．? ??，? ??6．如图，三棱锥V ABC?的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为?，二面角P AC B? ?的平面角为?，则? ??不可能是( )
A．34? B．23? C．2? D．3?7．如图，P是ABC?边AB上一点，将ACP?沿CP折成直二面角A CP B?? ?，要使| |A B?最短，则CP是()A．ABC?中AB边上的中线B．ABC?中AB边上的高线
C．ABC?中ACB?的平分线D．要视ABC?的具体情况而定8．如图，正四棱锥P ABCD?．记异面直线PA与CD所成角为?，直线PA与面ABCD所成角为?，二面
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角P BC A? ?的平面角为?，则( )A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?9．已知正四面体P ABC?，Q为ABC?内的一点，记PQ与平面PAB、PAC，PBC所成的角分别为?、?、?，则下列恒成立的是( )
A．2 2 2sin sin sin 2? ? ?? ? ?B．2 2 2cos cos cos 2? ? ?? ? ?C．2 2 2tan tan tan 1? ? ?? ? ?D．2 2 21 1 1 1tan tan tan? ? ?? ? ?10．已知三棱锥S ABC?的底面ABC为正三角形，SA SB SC? ?，平面SBC、SCA、SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为1?、2?、3?，则( )A．1 2? ?? B．1 2? ?? C．2 3? ?? D．2 3? ??
11．如图，已知三棱锥D ABC?满足AC AB BC? ?，D在底面的投影O为ABC?的外心，分别记直线DO与平面ABD、ACD、BCD所成的角为?，?，?，则( )
A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?12．在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是边长为2的正方形，AD?侧面PCD，120PDC? ? ?，若侧面PAB，PBC，PAD与底面ABCD所成的二面角分别为?，?，?，则下列的结论成立的是( )
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A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?13．如图，三棱锥S ABC?中，SA SB SC? ?，90ABC? ? ?，AB BC?，E，F，G分别是AB，BC，CA的中点，记直线SE与SF所成的角为?，直线SG与平面SAB所成的角为?，平面SEG与平面SBC所成的锐二面角为?，则( )
A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?14．已知三棱柱1 1 1ABC ABC?的所有棱长均相等，侧棱1AA ?平面ABC．过1AB作平面?与1BC平行，设平面?与平面1 1ACC A的交线为l，记直线l与直线AB，BC，CA所成锐角分别为?，?，?，则这三个角的大小关系为( )
A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?15．已知长方体1 1 1 1ABCD ABC D?的底面AC为正方形，1AA a?，AB b?，且a b?，侧棱1CC上一点E满足1 3CC CE?，设异面直线1A B与1AD，1A B与1 1D B，AE与1 1D B的所成角分别为?，?，?，则( )A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?16．如图，矩形ABCD中，1AB?，3BC ?，F是线段BC上一点且满足1BF ?，E是线段FC上一动点，把ABE?沿AE折起得到△1AB E，使得平面1B AC ?平面ADC，分别记1B A，1B E与平面ADC所成角为?，?，平面1B AE与平面ADC所成锐角为?，则( )
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A．? ? ?? ? B．? ? ?? ? C．? ? ?? ? D．? ? ?? ?17．如图，矩形中ABCD，1AB?，3BC ?，E是线段BC（不含点)C上一动点，把ABE?沿AE折起得到△AB E?，使得平面B AC? ?平面ADC，分别记B A?，B E?与平面ADC所成角为?，?，平面B AE?与平面ADC所成锐角为?，则( )
A．? ? ?? ? B．2? ?? C．2? ?? D．tan 2tan? ??第14讲立体几何存在性问题一．解答题（共12小题）1．在四棱锥P ABCD?中，PD ?平面ABCD，/ /AB DC，AB AD?，1DC AD? ?，2AB ?，45PAD? ? ?，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足0CF BD ????? ?????．（Ⅰ）求证：/ /DE平面PBC；（Ⅱ）求二面角F PC B? ?的余弦值；
（Ⅲ）在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是63，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．
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2．如图，已知长方形ABCD中，2AB ?，1AD ?，M为DC的中点．将ADM?沿AM折起，使得平面ADM ?平面ABCM．（1）求证：AD BM?；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E AM D? ?的余弦值为55．
3．如图，在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为菱形且60DAB? ? ?，O为AD中点．（Ⅰ）若PA PD?，求证：平面POB ?平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD ?平面ABCD，且2PA PD AD? ? ?，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M BO C? ?的大小为30?，如存在，求PMPC的值，如不存在，说明理由．4．如图，在四棱锥S ABCD?中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA?底面ABCD，AB垂直于AD
和BC，M为棱SB上的点，3SA AB? ?，2BC ?，1AD ?．（1）若M为棱SB的中点，求证：/ /AM平面SCD；（2）当SM MB?，3DN NC?时，求平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．
5．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，平面1ABC ?侧面1 1ABB A，且1 2AA AB? ?．
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（1）求证：AB BC?；（2）若直线AC与平面1ABC所成的角为6?，请问在线段1AC上是否存在点E，使得二面角A BE C? ?的大小为23?，请说明理由．
6．如图，在直三棱柱1 1 1ABC ABC?中，平面1ABC ?侧面1 1A ABB，且1 2AA AB? ?．（1）求证：AB BC?；（2）若直线AC与平面1ABC所成的角为6?，求锐二面角1A AC B? ?的大小．
7．如图，在平行四边形ABCD中，1AB ?，2AD ?，3ABC ?? ?，四边形ACEF为矩形，平面ACEF ?平面ABCD，1AF ?，点M在线段EF上运动，且EM EF??????? ????．（1）当12? ?时，求异面直线DE与BM所成角的大小；（2）设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为(0 )2?? ?? ?，求cos?的取值范围．
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8．如图，在四棱锥P ABCD?中，PD ?平面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC ?，6 3BD ?，E是PB上任意一点．（1）求证：AC DE?；（2）当AEC?面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由．
9．在四棱柱1 1 1 1ABCD ABC D?中，底面ABCD是正方形，且1 2BC BB? ?，1 1 60A AB A AD? ?? ? ?．（1）求证：1BD CC?；（2）若动点E在棱1 1C D上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面1BDB所成角的正弦值为714．
10．如图，五面体ABCDE中，正ABC?的边长为1，AE ?平面ABC，/ /CD AE，且12CD AE?．( )I设CE与平面ABE所成的角为?，( 0)AE k k? ?，若[ , ]6 4? ???，求k的取值范围；（Ⅱ）在( )I和条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．
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11．如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，90ADC BAD? ?? ? ?．F为PA中点，2PD ?，1 12AB AD CD? ? ?．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．（Ⅰ）求证：/ /AC平面DEF；（Ⅱ）求二面角A BC P? ?的大小；（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6?？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由．
12．如图，在四边形ABCD中，/ /AB CD，30ABD? ? ?，2 2 2AB CD AD? ? ?，DE ?平面ABCD，/ /EF BD，且2BD EF?．（Ⅰ）求证：平面ADE ?平面BDEF；（Ⅱ）若二面角C BF D? ?的大小为60?，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．第15讲立体几何折叠问题
一．解答题（共13小题）1．如图，矩形ABCD中，2 4AD AB? ?，E为BC的中点，现将BAE?与DCE?折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．
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（1）求证：/ /BC平面ADE；（2）求二面角A BE C? ?的余弦值．2．如图，在直角梯形ABCD中，/ /AD BC，AB BC?，且2 4BC AD? ?，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE CF?，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD?平面EBCF；（2）若BD EC?，求二面角F BD C? ?的余弦值．
3．如图1，在平行四边形1 1ABB A中，1 60ABB? ? ?，4AB?，1 2AA ?，C、1C分别为AB、1 1AB的中点，现把平行四边形1 11ABB A沿1CC折起如图2所示，连接1BC、1B A、1 1B A．（1）求证：1 1AB CC?；（2）若1 6AB ?，求二面角1 1C AB A? ?的正弦值．
4．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，, 3, 15, 3 3BE AD BC AD BE? ? ? ?．把ABE?沿BE折起，使得6 2AC ?，得到四棱锥A BCDE?．如图2所示．
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（1）求证：面ACE ?面ABD；（2）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．5．如图1，菱形ABCD的边长为12，60BAD? ? ?，AC与BD交于O点．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B ACD?，点M是棱BC的中点，6 2DM ?．（Ⅰ）求证：平面ODM ?平面ABC；（Ⅱ）求二面角M AD C? ?的余弦值．
6．如图1，已知在菱形ABCD中，120B? ? ?，E为AB的中点，现将四边形EBCD沿DE折起至EBHD，如图2．
（1）求证：DE ?面ABE；（2）若二面角A DE H? ?的大小为23?，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．7．如图1，四边形ABCD中AC BD?，2 2 2 2CE AE BE DE? ? ? ?，将四边形ABCD沿着BD折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD?，其中AB CD?．（Ⅰ）证明：平面ACD ?平面BAD；（Ⅱ）若F为CD中点，求二面角C AB F? ?的余弦值．
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8．如图1，在直角梯形ABCD中，/ /AD BC，AB BC?，BD DC?，点E是BC边的中点，将ABD?沿BD折起，使平面ABD?平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB?平面ADC；（Ⅱ）若1AD?，二面角C AB D? ?的平面角的正切值为6，求二面角B AD E? ?的余弦值．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，4AB?，2 2BC ?，45ABC? ? ?，点E是CD边的中点，将DAE?沿AEE折起，使点D到达点P的位置，且2 6PB ?．（1）求证：平面PAE ?平面ABCE；（2）若平面PAE和平面PBC的交线为l，求二面角B l E? ?的余弦值．
10．已知长方形ABCD中，1AB?，2AD ?，现将长方形沿对角线BD折起，使AC a?，得到一个四面体A BCD?，如图所示．（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由．
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（2）当四面体A BCD?体积最大时，求二面角A CD B? ?的余弦值．11．如图，在长方形ABCD中，AB ??，2AD?，E、F为线段AB的三等分点，G、H为线段DC的三等分点．将长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面，AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径．
（1）证明：平面ADHF ?平面BCHF；（2）求二面角A BH D? ?的余弦值．
12．在菱形ABCD中，2AB?且60ABC? ? ?，点M，N分别是棱CD，AD的中点，将四边形ANMC沿着AC转动，使得EF与MN重合，形成如图所示多面体，分别取BF，DE的中点P，Q．（1）求证：/ /PQ平面ABCD；（2）若平面AFEC ?平面ABCD，求多面体ABCDFE的体积．
13．已知等腰直角△S AB?，4S A AB? ? ?，S A AB? ?，C，D分别为S B?，S A?的中点，将△S CD?沿CD折到SCD?的位置，2 2SA?，取线段SB的中点为E．
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( )I求证：/ /CE平面SAD；（Ⅱ）求二面角A EC B? ?的余弦值．第16讲立体几何作图问题一．解答题（共15小题）1．如图，三棱柱1 1 1ABC ABC?的各棱长均相等，1AA ?底面ABC，E，F分别为棱1AA，BC的中点．（1）过1FA作平面?，使得直线/ /BE平面?，若平面?与直线1BB交于点H，指出点H所在的位置，并说明理由；
（2）求二面角1B FH A? ?的余弦值．2．如图，三棱柱
1 1 1ABC ABC?中，1 1 1 1 60B A A C A A? ?? ? ?，1 4AA AC? ?，2AB ?，P，Q分别为棱1AA，AC的中点．（1）在平面ABC内过点A作/ /AM平面1PQB交BC于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）若侧面1 1ACC A ?侧面1 1ABB A，求直线1 1AC与平面1PQB所成角的正弦值．
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3．如图，在四棱锥P ABCD?中，PA?底面ABCD，AD AB?，/ /DC AB，1PA?，2AB ?，2PD BC? ?．（1）求证：平面PAD ?平面PCD；（2）试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为2:1；（3）在（2）的条件下，求二面角E AC P? ?的余弦值．
4．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ADE?，BCF?均为等边三角形，/ /EF AB，12EF AD AB? ?．（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得/ /AF平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．5．如图，三棱柱
1 1 1ABC ABC?中，四边形1 1AC CA为菱形，1 1 1 1 60B A A C A A? ?? ? ?，4AC ?，2AB ?，平面1 1ACC A ?平面1 1ABB A，Q在线段AC上移动，P为棱1AA的中点．（1）若Q为线段AC的中点，H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：/ /AD平面1B PQ；（2）若二面角1 1B PQ C? ?的平面角的余弦值为1313，求点P到平面1BQB的距离．
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6．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱1 1 1ABC ABC?中，1 3AA AB?，四边形1 1BC CB为矩形，过1AC作与直线1BC平行的平面1ACD交AB于点D．（Ⅰ）证明：CD AB?；（Ⅱ）若1AA与底面1 1 1ABC所成角为60?，求二面角1 1B AC C? ?的余弦值．
7．如图，四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为梯形，/ /AB DC，1 12BC DC AB? ? ?．O是AB的中点，PO ?底面ABCD．O在平面PAD上的正投影为点H，延长PH交AD于点E．（1）求证：E为AD中点；（2）若90ABC? ? ?，2PA?，在棱BC上确定一点G，使得/ /HG平面PAB，并求出OG与面PCD所成角的正弦值．
8．四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是边长为2的菱形，23DAB ?? ?，AC BD O??，且PO ?平面ABCD，
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3PO ?，点F，G分别是线段PB，PD上的中点，E在PA上，且3PA PE?．（Ⅰ）求证：/ /BD平面EFG；（Ⅱ）求直线AB与平面EFG的成角的正弦值；（Ⅲ）请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤．
9．在等腰直角EBC?中，A，D分别为EB，EC的中点，2AD ?，将EBC?沿AD折起，使得二面角E AD B? ?为60?．（1）作出平面EBC和平面EAD的交线l，并说明理由；（2）二面角E CD B? ?的余弦值．
10．如图，在三棱锥P ABC?中，PA，AB，AC两两垂直，3PA AB AC? ? ?，平面/ /?平面PAB，?且与棱PC，AC，BC分别交于1P，1A，1B三点．（1）过A作直线l，使得l BC?，1 1l PA?，请写出作法并加以证明；（2）若?将三棱锥P ABC?分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体1 1 1PABC的体积更小），D为线段1BC的中点，求四棱锥1 1 1A PPDB?的体积．
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11．如图，在三棱锥P ABC?中，PA，AB．AC两两垂直，PA AB AC? ?，平面/ /a平面PAB，?且与棱PC．AC．BC分别交于1P，1A，1B三点．（1）过A作直线l，使得l BC?，1 1l PA?，请写出作法并加以证明；（2）若?将三棱锥P ABC?分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体1 1 1PABC的体积更小），D为线段1tB C的中点，求直线1PD与平面1 1PAB所成角的正弦值．
12．如图，在三棱柱1 1 1ABC ABC?中，2AB AC? ?，90BAC? ? ?，1BC AC?．（Ⅰ）证明：点1C在底面ABC上的射影H必在直线AB上；（Ⅱ）若二面角1C AC B? ?的大小为60?，1 2 2CC ?，求1BC与平面1 1AAB B所成角的正弦值．
13．如图，在四棱锥P ABCD?中，侧棱PD ?底面ABCD，底面ABCD为长方形，且1PD CD? ?，E是PC
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的中点，作EF PB?交PB于点F．（1）证明：PB ?平面DEF；（2）若三棱锥A BDP?的体积为13，求二面角F DE B? ?的正弦值．
14．在如图所示的几何体中，/ /DE AC，AC ?平面BCD，2 4AC DE? ?，2BC ?，1DC ?，60BCD? ? ?．（1）证明：BD ?平面ACDE；（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积．
15．如图，在四棱锥P ABCD?中，/ /AD BC，2 2AB AD BC? ? ?，PB PD?，3PA?．（1）求证：PA BD?；（2）若PA AB?，2 2BD ?，E为PA的中点．( )i过点C作一直线l与BE平行，在图中画出直线l并说明理由；( )ii求平面BEC将三棱锥P ACD?分成的两部分体积的比．
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第17 讲 立体几何建系繁琐问题一、解答题1．如图，已知三棱柱? 1 1 1ABC ABC的底面是正三角形，侧面1 1BBCC是矩形，M，N分别为BC，1 1BC的中点，P为AM上一点．过1 1BC和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：1 / /AA MN，且平面?1AAMN平面1 1EBC F；（2）设O为△1 1 1ABC的中心．若/ /AO平面1 1EBC F，且?AO AB，求直线1BE与平面1AAMN所成角的正弦值．
2． 如图，在锥体 ?P ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且? ? ?60DAB ， ? ? 2PA PD ， ? 2PB ，E ，F 分别是BC，PC 的中点
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（1）证明： ?AD 平面DEF（2）求二面角 ? ?P AD B的余弦值．
3． 如图，?AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E 为·AC的中点，点B和点C 为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F 满足 ? ? 5FB FD a， ? 6EF a．（1）证明： ?EB FD；（2）已知点Q，R为线段FE ，FB上的点， ? 23FQ FE， ? 23FR FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．
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4．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥 ?P ABC 中， ?PA平面ABC ．（1）从三棱锥 ?P ABC 中选择合适的两条棱填空： BC ? ，则三棱锥 ?P ABC 为“鳖臑”；（2）如图，已知 ?AD PB，垂足为D， ?AE PC ，垂足为E ，? ? ?90ABC ．
（ⅰ）证明：平面 ?ADE 平面PAC；（ⅱ）设平面ADE与平面ABC 的交线为l，若 ? 2 3PA ， ? 2AC ，求二面角 ? ?E l C的大小．
5． 已知四面体ABCD， ?AD CD，? ? ? ? ?120ADB CDB ，且平面 ?ABD 平面BCD．（Ⅰ）求证： ?BD AC；（Ⅱ）求直线CA与平面ABD所成角的大小．
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6． 已知四面体ABCD，? ? ? ? ?120ADB CDB ，且平面 ?ABD 平面BCD．（Ⅰ）若 ?AD CD，求证： ?BD AC；（Ⅱ）求二面角 ? ?B CD A的正切值．
第18讲两角相等（构造全等）的立体几何问题一．解答题（共12小题）
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1．如图，在三棱锥A BCD?中，ABC?是等边三角形，90BAD BCD? ?? ? ?，点P是AC的中点，连接BP，DP（1）证明：平面ACD ?平面BDP；（2）若6BD ?，3cos 3BPD? ??，求三棱锥A BCD?的体积．
2．如图，在三棱锥A BCD?中，ABC?是等边三角形，AB AD?，CB CD?，点P是AC的中点，记BPD?、ABD?的面积分别为1S、2S，二面角A BD C? ?的大小为?，证明：（1）平面ACD ?平面BDP；（2）2 21 2222cos S SS? ??．
3．如图，在三棱锥A BCD?中，ABC?是等边三角形，90BAD BCD? ?? ? ?，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD ?平面BDP；（2）若6BD ?，且二面角A BD C? ?为120?，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．
4．如图，在三棱锥A BCD?中，ABD?和BDC?均为等腰直角三角形，且90BAD BDC? ?? ? ?，已知侧面ABD与底面BDC垂直，点E是AC的中点，点F是BD的中点，点G在棱BC上，且4BC BG?，点M是AG
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上的动点．（1）证明：BC MF?；（2）当/ /MF平面ACD时，求二面角G MF E? ?的余弦值．
5．如图，在三棱锥D ABC?中，ABC?为等边三角形，DAC DAB? ??，BCD?面积是ABC?面积的两倍，点M在侧棱AD上．（1）若BM AD?，证明：平面ACD ?平面BCM；（2）若二面角D BC A? ?的大小为23?，且M为AD的中点，求直线BM与平面ACD所成角的正弦值．6．如图，四棱锥F ABCD?中，底面ABCD为边长是2的正方形，E，G分别是CD、AF的中
点，4AF ?，FAE BAE? ??，且二面角F AE B? ?的大小为90?．（1）求证：AE BG?；（2）求二面角B AF E? ?的余弦值．
7．如图，四棱锥E ABCD?中，四边形ABCD是边长为2的菱形，45DAE BAE? ?? ? ?，60DAB? ? ?．
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（Ⅰ）证明：平面ADE ?平面ABE；（Ⅱ）当直线DE与平面ABE所成的角为30?时，求平面DCE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．8．如图所示，在四棱锥E ABCD?中，底面四边形ABCD是边长为4的菱形，60DAB? ? ?，对角线AC与BD相交于O点，ECD ECB? ??，2 3EC ?．
（1）证明：BD AE?；（2）若直线CE与平面ABCD所成角为60?，问在线段DE上是否存在一点F，使二面角F AC D? ?的余弦值为2 1313？若存在，求出DFFE的值：若不存在，请说明理由．
9．如图，在四面体ABCD中，已知60ABD CBD? ?? ? ?，2AB BC? ?，（1）求证：AC BD?；（2）若平面ABD?平面CBD，且52BD ?，求二面角C AD B? ?的余弦值．
10．已知如图，平面ABD?平面BCD，90BAD BCD? ?? ? ?，45ABD? ? ?，30CBD? ? ?．（Ⅰ）异面直线AB、CD所成的角为?，异面直线AC、BD所成的角为?，求证：? ??；（Ⅱ）求二面角B AC D? ?的余弦值的绝对值．
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11．如图，BD是四边形ABCD的外接圆O?的直径，PA?平面ABCD，E为PD的中点，已知60ABD CBD? ?? ? ?，2PA BD? ?．（1）求证：/ /CE平面PAB；（2）求平面PCE与平面BCD所成锐角二面角的余弦值．
12．已知四面体ABCD，120ADB CDB? ?? ? ?，且平面ABD?平面BCD．（Ⅰ）若AD CD?，求证：BD AC?；（Ⅱ）求二面角B CD A? ?的正切值．第19讲利用传统方法找几何关系建系
一．解答题（共20小题）1．如图：长为3的线段PQ与边长为2的正方形ABCD垂直相交于其中心( )O PO OQ?．（1）若二面角P AB Q? ?的正切值为3?，试确定O在线段PQ的位置；
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（2）在（1）的前提下，以P，A，B，C，D，Q为顶点的几何体PABCDQ是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．
2．在四棱锥P ABCD?中，E为棱AD的中点，PE ?平面ABCD，/ /AD BC，90ADC? ? ?，2ED BC? ?，3EB ?，F为棱PC的中点．（Ⅰ）求证：/ /PA平面BEF；（Ⅱ）若二面角F BE C? ?为60?，求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．
3．如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，2AE BF? ?，2 2AB ?，现将梯形沿CB，DA折起，使/ /EF AB且2EF AB?，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．（Ⅰ）求证：/ /MN平面BCF；（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为22，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．
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4．三棱柱1 1 1ABC ABC?中，AB AC?，2AB AC? ?，侧面1 1BCC B为矩形，1 23A AB ?? ?，二面角1A BC A? ?的正切值为12．（Ⅰ）求侧棱1AA的长；（Ⅱ）侧棱1CC上是否存在点D，使得直线AD与平面1ABC所成角的正切值为63，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由．
5．如图，在四棱锥P ABCD?中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA?平面ABCD，2PA AC? ?，E是PC的中点，DAC AOB? ??（1）求证：/ /BE平面PAD；（2）若二面角P CD A? ?的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
6．如图，四棱锥P ABCD?中，底面ABCD是边长为2的菱形，且120ABC? ? ?，PD AB?，平面PAB ?平面ABCD，点E，F为棱PB，PC中点，二面角F AD C? ?的平面角的余弦值为3 1313．（1）求棱PA的长；（2）求PD与平面ADFE所成角的正切值．
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7．在如图所示的几何体中，平面ACE ?平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，90ACB? ? ?，/ /EF BC，2 2AC BC EF? ? ?，2AE EC? ?．（Ⅰ）求证：AE EF?；（Ⅱ）求平面ABF与平面BDE所成的锐二面角的正切值；（Ⅲ）若点G在线段DE上，求直线CG与平面ABF所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大值时，多面体ABCDFG的体积．
8．如图，在多面体1 1 1ABC ABC?中，侧面1 1AAB B ?底面1 1 1ABC，四边形1 1AAB B是矩形，1 1 1 1AC AB?，1 1 1 120B AC? ? ?，1 1/ /BC BC，1 1 2BC BC?．（1）求证：1 1 1AC BC?；（2）当二面角1 1C AC B? ?的正切值为2时，求11 1AAAB的值．
9．如图，已知五面体ABCDE，其中ABC?内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC ?平面ABC．（Ⅰ）证明：AD BC?（Ⅱ）若4AB ?，2BC ?，且二面角A BD C? ?所成角?的正切值是2，试求该几何体ABCDE的体积．
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10．如图所示，PA?平面ABCD，CAB?为等边三角形，PA AB?，AC CD?，M为AC中点．（Ⅰ）证明：/ /BM平面PCD；（Ⅱ）若PD与平面PAC所成角的正切值为62，求二面角C PD M? ?的正切值．
11．在等腰梯形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，4AB ?，2CD ?，2AD BC? ?，现将梯形AEFD沿EF折起，并记平面AEFD与平面BEFC所成二面角的平面角为?，BE中点为G．（1）当60? ? ?时，求证：AG ?平面AEFC；（2）当三棱锥D CFG?的体积取得最大值时，求DG与平面AEFD所成角的正切值．
12．已知直角三角形ABE，AB BE?，2 4AB BE? ?，C，D分别是AB，AE上的动点，且/ /CD BE，将ACD?沿CD折起到位置1ACD，使平面1ACD与平面BCD所成的二面角1A CD B? ?的大小为?，设
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CDBE ??，(0,1)??．（1）若2?? ?且1A E与平面BCD所成的角的正切值为22，求二面角1A DE B? ?的大小的正切值；（2）已知12? ?，G为1A E的中点，若1BG AD?，求cos?的取值．13．已知ABC?和DBC?是两个有公共斜边的直角三角形，并且2AB AD AC a? ? ?，6CD a?．（1）若P是AC边上的一点，当PBD?的面积最小时，求二面角P BD A? ?的平面角的正切值；（2）能否找到一个球，使A，B，C，D都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接圆柱的表面积的最大值．
14．如图，已知四棱锥P ABCD?，底面ABCD为菱形，2AB?，120BAD? ? ?，PA?平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AM ?平面PAD；（Ⅱ）若H为45ADH? ? ?上的动点，2PA?与平面PA?所成最大角的正切值为62，求二面角M AN C? ?的余弦值．
15．在三棱锥A BCD?中，AB?平面BCD，BC CD?，点E在棱AC上，且BE AC?．
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（1）试证明：BE ?面ACD；（2）若2AB BC CD? ? ?，过直线BE任作一个平面与直线AD相交于点P，得到三棱锥A BCD?的一个截面BEP?，求BEP?面积的最小值；（3）若2AB BC CD? ? ?，求二面角B AD C? ?的正弦值．
16．如图1所示，在边长为12的正方形1 1ADD A中，点B，C在线段AD上，且3AB?，4BC ?，作1 1/ /BB AA，分别交1 1AD，1AD于点1B，P，作1 1/ /CC AA，分别交1 1AD，1AD于点1C，Q，将该正方形沿1BB，1CC折叠，使得1DD与1AA重合，构成如图2所示的三棱柱1 1 1ABC ABC?．（1）求证：AB?平面1 1BCC B；（2）若点E为四边形BCQP内一动点，且二面角E AP Q? ?的余弦值为33，求| |BE的最小值．
17．如图，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB? ? ?．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF AC?，EF AC O??．沿EF将CEF?翻折到PEF?的位置，使平面PEF ?平面ABFED，点Q满足( 0)AQ QP? ?? ????? ????．（1）求证：BD?平面POA；（2）求PB的最小值，并探究此时直线OQ与平面PBD所成的角是否一定大于4?？
18．在Rt ABC?中，4AC ?，3BC ?，90C? ? ?，D，E分别为AC，AB边上的点，且/ /DE BC，沿DE
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将ADE?折起（记为△1 )ADE，使二面角1A DE B? ?为直二面角．（1）当E点在何处时，1A B的长度最小，并求出最小值；（2）当1A B的长度最小时，求二面角1A BE C? ?的大小．19．如图，在四棱锥P ABCD?中，PD?面ABCD，四边形ABCD是菱形，6AC ?，6 3BD ?，E是PB
上任意一点（1）求证：AC DE?；（2）当AEC?面积的最小值是9时，求PD的长（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点G，使EG与面PAB所成角的正切值为2？若存在，求出BG的值，若不存在，说明理由．
20．如图，在四棱锥P ABCD?中，底面ABCD为菱形，PA?平面ABCD，2AB?，60ABC? ? ?，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）证明：AE PD?；（Ⅱ）设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为5，求直线PD与平面AEF所成的角的余弦值．
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第20讲立体几何综合问题一．解答题（共14小题）1．如图，直线AQ ?平面?，直线AQ ?平行四边形ABCD，四棱锥P ABCD?的顶点P在平面?上，7AB ?，3AD ?，AD DB?，AC BD O??，/ /OP AQ，2AQ ?，M，N分别是AQ与CD的中点．（1）求证：/ /MN平面QBC；（2）求二面角M CB Q? ?的余弦值．
2．如图，四边形ABCD为菱形，120ABC? ? ?，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE ?平面ABCD，DF ?平面ABCD，2BE DF?，AE EC?．( )I证明：平面AEC ?平面AFC；( )II求二面角B CE F? ?的余弦值．
3．如图，四棱锥S ABCD?中，/ /AB CD，BC CD?，侧面SAB为等边三角形．2AB BC? ?，1CD SD? ?．（1）证明：SD ?平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．
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4．如图，四棱锥S ABCD?中，底面ABCD为矩形，SD ?底面ABCD，2AD ?，2DC SD? ?，点M在侧棱SC上，60ABM? ? ?．（Ⅰ）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S AM B? ?的余弦值．
5．如图，四棱锥P ABCD?的底面ABCD为直角梯形，/ /BC AD，且2 2 2AD AB BC? ? ?，90BAD? ? ?，PAD?为等边三角形，平面ABCD?平面PAD；点E、M分别为PD、PC的中点．（1）证明：/ /CE平面PAB；（2）求三棱锥M BAD?的体积；（3）求直线DM与平面ABM所成角的正弦值．
6．如图，在平行四边形ABCD中，1AB?，2AD?，3ABC ?? ?，四边形ACEF为矩形，平面ACEF ?平面ABCD，1AF ?，点M在线段EF上运动，且EM EF??????? ????．（1）当12? ?时，求异面直线DE与BM所成角的大小；
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（2）设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为(0 )2?? ?? ?，求cos?的取值范围．7．如图，在四棱锥P ABCD?中，侧面PAD?底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中/ /AB CD，90CDA? ? ?，2 2CD AB? ?，3AD?，5PA?，2 2PD ?，点E在棱AD上且1AE ?，点F为棱PD
的中点．在棱AD上且1AE ?，点F位棱PD的中点．（1）证明：平面BEF ?平面PEC；（2）求二面角A BF C? ?的余弦值的大小．
8．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF?和一个正四棱锥P ABCD?组合而成，AD AF?，2AE AD? ?．（Ⅰ）证明：平面PAD?平面ABFE；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD?的高h，使得二面角C AF P? ?的余弦值是2 23．
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9．如图，在四棱锥A BCFE?中，四边形EFCB为梯形，/ /EF BC，且34EF BC?，ABC?是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且3FG ?，212CF ?，52BF ?．（1）证明：平面FGB?平面ABC；（2）求二面角E AB F? ?的余弦值．
10．如图，在斜三棱柱1 1 1ABC ABC?中，侧面1 1ACC A与侧面1 1CBBC都是菱形，1 1 1 60ACC CC B? ?? ? ?，2AC ?．( )I求证：1 1AB CC?；( )II若1 6AB ?，求平面1 1 1ABC和平面1ACB所成锐二面角的余弦值．
11．在如图所示的空间几何体中，平面ACD ?平面ABC，ACD?与ACB?是边长为2的等边三角形，2BE ?，BE和平面ABC所成的角为60?，且点E在平面ABC上的射影落在ABC?的平分线上．（1）求证：/ /DE平面ABC；（2）求二面角E BC A? ?．
12．如图，在四面体ABCD中，已知60ABD CBD? ?? ? ?，2AB BC? ?，（1）求证：AC BD?；
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（2）若平面ABD?平面CBD，且52BD ?，求二面角C AD B? ?的余弦值．13．三棱柱1 1 1ABC ABC?的底面ABC是等边三角形，BC的中点为O，1AO ?底面ABC，1AA与底面ABC所
成的角为3?，点D在棱1AA上，且32AD ?，2AB?．（1）求证：OD ?平面1 1BBC C；（2）求二面角1 1B BC A? ?的平面角的余弦值．
14．如图，将矩形ABCD沿AE折成二面角1D AE B? ?，其中E为CD的中点，已知2AB?，1BC ?．1 1BD CD?，1F为1D B的中点．（1）求证：/ /CF平面1AD E；（2）求AF与平面1BD E所成角的正弦值．
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